অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: একটি রাশি ২৫ যা অপর একটি রাশির ২০% হলে, রাশি দুইটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরা যাক, অপর রাশি = x
২০% = ২০/১০০
= ১/৫

তাহলে অপর রাশিটি,
১/৫ × x = ২৫
⇒ x = ২৫ × ৫
= ১২৫

অতএব অনুপাত,
২৫ : ১২৫
=১ : ৫

∴ রাশি দুইটির অনুপাত ১ : ৫ 

ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩a, ৫a, ৭a
∴ ৭a = ২১
বা, a = ৩
∴ পরিসীমা = ৩a + ৫a + ৭a
= ১৫a
= ১৫ × ৩
= ৪৫ সে.মি.

ধানে চাল ও তুষের অনুপাত = ৩ঃ৭
অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ৩ = ১০
∴ ধানে চালের শতকরা পরিমাণ = ১০০× ৭/১০ = ৭০%

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে, 
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: ক: খ = ৫ : ৬ এবং খ : গ =৩ : ১০ হলে ক : গ =কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৫ : ৬ = ৫ : ৬
খ : গ =৩ : ১০ = ৬ : ২০ [২ দ্বারা গুণ করে]

ক : গ = ৫ : ২০ 

অনুপাতগুলোর যোগফল ৭+৮+১০ = ২৫
∴ টুকরোগুলোর সাইজ = (৭x৫০)/২৫ = ১৪
= (৮x৫০)/২৫ = ১৬
= (১০x৫০)/২৫ = ২০

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৩ : ৪। পিতার বয়স ৫২ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?

সমাধান,
মনেকরি,
পুত্রের বয়স = পিতার বয়সের ৪/১৩ গুণ।

প্রশ্নমতে,
 পুত্রের বয়স = (৫২ এর ৪/১৩) বছর
= ১৬ বছর

শর্টকাট টেকনিকঃ
5x - 2x = 6
বা, x = 2
সুতরাং, পানির পরিমাণ = 2x = 2×2 = 4 লিটার

দেওয়া আছে,
কঃখ = ২ঃ৩ = ৮ঃ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খঃগ = ৪ঃ৫ = ১২ঃ১৫ = (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং কঃখঃগ = ৮ঃ১২ঃ১৫।

মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৩a, ৫a
∴ (৩a - ৪) / (৫a - ৪) = ৪/৭
বা, ২১a - ২৮ = ২০a - ১৬
∴ a = ১২
∴ বড় সংখ্যাটি = ৫ × ১২ = ৬০

প্রশ্ন: রূপা পানির তুলনায় ১৭ গুণ ভারী এবং তামা পানির তুলনায় ৭ গুণ ভারী। এদের কোন অনুপাতে মিশ্রিত করলে একটি সংকর ধাতু পাওয়া যাবে যা পানির তুলনায় ১৩ গুণ ভারী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রূপা পানির তুলনায় ১৭ গুণ ভারী
তামা পানির তুলনায় ৭ গুণ ভারী
মিশ্রণ পানির তুলনায় ১৩ গুণ ভারী

ধরি, রূপার ওজন = ক
তামার ওজন = খ

∴ মিশ্রণের মোট ওজন = ক + খ

প্রশ্নমতে, 
(১৭ক + ৭খ)/(ক + খ) = ১৩
⇒ ১৭ক + ৭খ = ১৩(ক + খ)
⇒ ১৭ক + ৭খ = ১৩ক + ১৩খ
⇒ ১৭ক - ১৩ক = ১৩খ - ৭খ
⇒ ৪ক = ৬খ
⇒ ক/খ = ৬/৪
⇒ ক/খ = ৩/২
∴ ক : খ = ৩ : ২

সুতরাং, রূপা ও তামাকে ৩ : ২ অনুপাতে মিশাতে হবে।

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
= ৩ × ৩
= ৯ ।

প্রশ্ন: ৪৮ কিলোগ্রাম বালি ও পাথরের মিশ্রণে বালির পরিমাণ ২৫%। মিশ্রণে বালির পরিমাণ কত কিলোগ্রাম?

সমাধান: 
বালির পরিমাণ ২৫% 

১০০ কিলোগ্রামে বালি থাকে ২৫ কিলোগ্রাম
∴ ১ কিলোগ্রামে বালি থাকে = (২৫/১০০) কিলোগ্রাম
∴ ৪৮ কিলোগ্রামের মিশ্রণে বালি থাকে = (২৫ × ৪৮)/১০০ কিলোগ্রাম 
= ৪৮/৪ 
= ১২ কিলোগ্রাম 

∴ মিশ্রণে বালির পরিমাণ ১২ কিলোগ্রাম।

প্রশ্ন: যদি (x/y) = (y/z) = (3/4) হয়, তবে x : z এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 3/4
এবং y/z = 3/4

ধারাবাহিক অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী,
x/z = (x/y) × (y/z)
⇒ x/z = (3/4) × (3/4) [মান বসিয়ে পাই]
⇒ x/z = (3 × 3)/(4 × 4)
⇒ x/z = 9/16
∴ x : z = 9 : 16

প্রশ্ন: ৭২০০ টাকা ৫ : ৬ : ৭ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৬ : ৭
অনুপাতগুলোর যোগফল = (৫ + ৬ + ৭) = ১৮

∴ বৃহত্তর অংশ = ৭২০০ × (৭/১৮) = (৪০০ × ৭) = ২৮০০ টাকা
∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ৭২০০ × (৫/১৮) = (৪০০ × ৫) = ২০০০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (২৮০০ + ২০০০) টাকা = ৪৮০০ টাকা

এখানে,
৭২০০ টাকা ৭২০০ টাকার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
১ টাকা ৭২০০ টাকার (১/৭২০০) অংশ
∴ ৪৮০০ টাকা ৭২০০ টাকার (১/৭২০০) × ৪৮০০ অংশ
= ২/৩ অংশ

প্রশ্ন: একটি কম্পিউটার এবং একটি প্রিন্টারের দামের অনুপাত ৭ : ৫। যদি কম্পিউটার প্রিন্টারের চাইতে ৮০০০ টাকা বেশি দামি হয়, তাহলে প্রিন্টারের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
কম্পিউটারের দাম = ৭ক 
 প্রিন্টারের দাম = ৫ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক - ৫ক = ৮০০০ 
⇒ ২ক = ৮০০০ 
⇒ ক = ৮০০০/২ 
∴ ক = ৪০০০ টাকা 

∴  প্রিন্টারের দাম = ৫ × ৪০০০ = ২০০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ৬৪ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ১। ঐ মিশ্রণে কত লিটার পানি মেশালে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৫ হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
মিশ্রণের পরিমাণ = ৬৪ লিটার
এসিড : পানি = ৭ : ১     
∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৭ + ১ = ৮

∴ এসিডের পরিমাণ = ৬৪ এর (৭/৮) = ৫৬ লিটার
 পানির পরিমাণ = ৬৪ এর (১/৮) = ৮ লিটার

মনে করি,
ক লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
৫৬ : (৮ + ক) = ৭ : ৫
⇒ ৫৬/(৮ + ক) = ৭/৫
⇒ ৫ × ৫৬ = ৭ × (৮ + ক)
⇒ ২৮০ = ৫৬ + ৭ক
⇒ ৭ক = ২২৪
∴ ক = ৩২

∴ ৩২ লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: আকাশ ও সজীবের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। সজীব ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। আকাশের আয় ২০০০০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?
 
সমাধান:
আকাশের আয় : সজীবের আয় = ৪ : ৩ = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) = ২০ : ১৫
সজীবের আয় : রবিনের আয় = ৫ : ৪ = (৫ × ৩) : (৪ × ৩) = ১৫ : ১২
∴ আকাশের আয় : সজীবের আয় : রবিনের আয় = ২০ : ১৫ : ১২

এখন, 
আকাশের আয় = ২০ক টাকা 
সজীবের আয় = ১৫ক টাকা 
রবিনের আয় = ১২ক টাকা 

প্রশ্নমতে 
২০ক = ২০০০০
∴ ক = ১০০০  

∴ রবিনের আয় = ১০০০ × ১২ = ১২০০০ টাকা।

ধরি,
 দুধ = ৫ক লিটার,
পানি = ২ক লিটার

∴ ৫ক-২ক = ৬ লিটার
বা, ৩ক = ৬ লিটার
∴ ক = ২ লিটার

∴ পানির পরিমাণ = ২×২ = ৪ লিটার

Let the numbers be 13x and 15x
Then, their LCM = 195x
So, 195x = 39780
x = 204
∴ The numbers are 2652 and 3060

প্রশ্ন: ৯০০০ টাকা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = (৩ + ৪ + ৫) = ১২

∴ বৃহত্তর অংশ = ৯০০০ × (৫/১২) = (৭৫০ × ৫) = ৩৭৫০ টাকা
∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ৯০০০ × (৩/১২) = (৭৫০ × ৩) = ২২৫০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (৩৭৫০ + ২২৫০) টাকা = ৬০০০ টাকা

এখানে,
৯০০০ টাকা ৯০০০ টাকার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
১ টাকা ৯০০০ টাকার (১/৯০০০) অংশ
∴ ৬০০০ টাকা ৯০০০ টাকার (১/৯০০০) × ৬০০০ অংশ
= ২/৩ অংশ

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩+১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২+ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২+ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

৯ঃ৪ এর দ্বিগুণানুপাত = ৯^২ : ৪^২ = ৮১ঃ১৬

প্রশ্ন: কিছু টাকা ক ও খ -এর মধ্যে ৫ : ৩ অনুপাতে ভাগ করায় খ অপেক্ষা ক, ২০ টাকা বেশি পায়। দুজনের মধ্যে কত টাকা ভাগ করা হয়েছিল?

সমাধান:
ক ও খ-এর মধ্যে টাকা ৫ : ৩ অনুপাতে ভাগ করা হয়েছে।
অর্থাৎ, ক পায় = ৫x
খ পায় = ৩x

প্রশ্ন অনুযায়ী, 
৫x = ৩x + ২০
⇒ ৫x - ৩x = ২০
⇒ ২x = ২০
⇒ x = ২০/২ = ১০
∴ x = ১০ 

∴ মোট টাকা = ৫x + ৩x
= ৮x
= ৮ × ১০
= ৮০ টাকা

সুতরাং, দুজনের মধ্যে মোট ভাগ করা হয়েছিল ৮০ টাকা। 

দেওয়া আছে, হাইড্রোজেন : অক্সিজেন = ১  : ২
আবার, হাইড্রোজেন  : কার্বন = ১  : ৩
অর্থাৎ, হাইড্রোজেন  : অক্সিজেন  : কার্বন = ১  : ২  : ৩

১৮০ গ্রাম যৌগে হাইড্রোজেনের পরিমাণ = {১৮০ × ১/(১ + ২ + ৩)} = ৩০ গ্রাম

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ২৫ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম রাশি = ৪
৩য় রাশি = ২৫

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৩য় রাশি = (মধ্য রাশি)^২
⇒ ৪ × ২৫ = (মধ্য রাশি)^২
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ১০০
∴ মধ্য রাশি = √১০০

প্রশ্ন: প : ক = ৩ : ৪ এবং ক : খ = ৫ : ৬ হলে প : খ = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প : ক = (৩ : ৪) × ৫
= ১৫ : ২০

আবার, 
ক : খ = (৫ : ৬) × ৪
= ২০ : ২৪
∴ প : ক : খ = ১৫ : ২০ : ২৪

সুতরাং, প : খ = ১৫ : ২৪ 
= ৫ : ৮ । 

প্রশ্ন: করিম এবং রহিম ২ : ৩ অনুপাতে একটি ব্যবসায় বিনিয়োগ করেন। তাদের মোট লাভের ১০% একটি বিদ্যালয়ে দান করার পর, করিম লাভ হিসাবে ৯০০ টাকা পান। তাহলে রহিম এর লাভ কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট লাভ = ১০০ 

প্রশ্নমতে,
লাভের ১০% একটি বিদ্যালয়ে দান করার পর অবশিষ্ট লাভ
= ১০০% - ১০% = ৯০% 

এখন, 
করিম পেয়েছেন = ৯০% × (২/৫) = ৩৬%

∴ রহিম পেয়েছেন = ৯০% - ৩৬% = ৫৪%

আবার, 
করিম লাভ হিসাবে পেয়েছেন ৯০০ টাকা 
অর্থাৎ,
৩৬% = ৯০০
⇒ ১%= ৯০০/৩৬ = ২৫ 
⇒ ৫৪% = ২৫ × ৫৪ = ১৩৫০ 

∴ রহিম পেয়েছেন ১৩৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি মিশ্রণে আরও ৪ লিটার পানি মেশানো হয়, তবে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত হয় ৫ : ৪। ওই মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২

মনে করি,
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ ৫ক লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ ২ক লিটার

যদি মিশ্রণে আরও ৪ লিটার পানি মেশানো হয়,
তাহলে, মিশ্রণে পানির পরিমাণ (২ক + ৪) লিটার

মিশ্রণে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত = ৫ : ৪

প্রশ্নমতে,
৫ক : (২ক + ৪) = ৫ : ৪
⇒ ৫ক/(২ক + ৪) = ৫/৪
⇒ ২০ক = ১০ক + ২০
⇒ ২০ক - ১০ক = ২০
⇒ ১০ক = ২০
⇒ ক = ২০/১০
∴ ক = ২

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = (৫ × ২) = ১০ লিটার।

প্রশ্ন: ১৫ গ্রাম ওজনের একটি পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১ । এতে আরো কত গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান:
পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ১ = ৫

চামচে তামার পরিমাণ = ১৫ × (৪/৫) = ১২ গ্রাম
এবং
দস্তার পরিমাণ = ১৫ × (১/৫) = ৩ গ্রাম

ধরি,
চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ করতে তামা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

প্রশ্নমতে,
(১২ + ক)/৩ = ৫/১
বা, ১২ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১২
বা, ক = ৩

∴ পিতলের চামচে আরো ৩ গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে।