রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 সরলরেখার y অক্ষের ছেদাংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c  যেখানে, সরলরেখার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x + (- 4/3).................(১)

(১) নং সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
প্রদত্ত সরলরেখার,
y অক্ষের ছেদাংশ, c = - 4/3

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তকে দুটি সমান অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে।

​• ব্যাস (Diameter):
​ - ব্যাস হলো একটি বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা। এটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে দীর্ঘতম সংযোজক রেখাংশ।
​- একটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে, কিন্তু ব্যাস হলো সেই নির্দিষ্ট জ্যা যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
​- ব্যাসের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের (radius) দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
​- ব্যাস বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে, যাদেরকে অর্ধবৃত্ত (semicircle) বলা হয়।

​• জ্যা (Chord) হলো বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ব্যাস একটি বিশেষ ধরনের জ্যা।

​• ব্যাসার্ধ (Radius) হলো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব।

​• চাপ (Arc) হলো বৃত্তের পরিধির একটি অংশ।

​• পরিধি:
​-  পরিধি হলো কোনো বৃত্তের বাইরের সম্পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ, একটি বৃত্তের একপ্রান্ত থেকে শুরু করে পুরো বৃত্তাকার পথে ঘুরে আবার সেই একই প্রান্তে ফিরে এলে যে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়, তাকেই ঐ বৃত্তের পরিধি বলা হয়। একে ইংরেজিতে Circumference বলা হয়।

প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে y° এর মান কত?
 

সমাধান: 
x° + 2x° = 180°
বা, 3x° = 180°
বা, x° = 60°

আবার,
x° = 60° = 2y°
বা, y° = 60°/2
∴ y° = 30° 

চাকাটি 60 সেকেন্ডে ঘুরে 12 বার।
∴ চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে (12X1)/60 = 1/5 বার।
যেহেতু চাকাটি বৃত্তাকার সেহেতু চাকাটি 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 ডিগ্রি।
∴ 1/5 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 X (1/5) ডিগ্রি।
= 72 ডিগ্রি।

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠BOC = 60° হলে ∠BDC = ?


সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চিত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 60°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC =  60°/2 = 30°

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৬ : ৮ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ক ও ৮ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৬ক)^২ : π(৮ক)^২
= ৩৬πক^২ : ৬৪πক^২
= ৯ : ১৬

বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
সুতরাং, উৎপন্ন কোণটি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক°
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক)°

শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ২৪
⇒ ক - ৯০ + ক = ২৪
⇒ ২ক = ২৪ + ৯০
⇒ ২ক = ১১৪
⇒ ক = ১১৪/২
∴ ক = ৫৭

∴ কোণটির মান ৫৭°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থকোণগুলো তৈরি হয়, সেই তিনটি বহিঃস্থকোণের যোগফল কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
যে কোনো ত্রিভুজে, একটি কোণ এবং তার বহিঃস্থকোণ সমষ্টি = 180°।

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো A, B, C
তাহলে তাদের বহিঃস্থকোণগুলো হবে 180° - A, 180° - B এবং 180° - C।

∴ তাদের সমষ্টি = (180 - A) + (180 - B) + (180 - C)
= 540 - (A + B + C) 

যেহেতু ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি = 180°
⇒ 540 - (A + B + C) = 180°
⇒ A + B + C = 540° - 180° 
∴ A + B + C = 360°

∴ তিনটি বহিঃস্থকোণের সমষ্টি = 360°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল/পরিধি = πr²/২πr
⇒ πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
⇒ r = ২৭৭২/১৩২
⇒ r = ২১ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে? 

সমাধান:
একবার পূর্ণ ঘূর্ণন = 360°
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরে, 

প্রতি মিনিটে মোট ডিগ্রী ঘুরবে = 90 × 360°
1 সেকেন্ডে চাকা ঘুরবে = (90 × 360°)/60   [এখন 1 মিনিট = 60 সেকেন্ড]
= 540° 

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
সুতরাং শর্তমতে, 2πr = ৮ মিটার এবং πr² = ১৬ বর্গমিটার‌।
সুতরাং πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r/২ = ২
বা, r = ৪

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে। 

অন্যদিকে, 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 120 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 120
⇒ 2r(π - 1) = 120
⇒ r = (120/2)/{(22/7) - 1}
⇒ r = 60/{(22 - 7)/7}
⇒ r = (60 × 7)/15
∴ r = 28

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 28 সে.মি.

ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভূজে A + C = 180°
∴ C = 180° - A = 70°
∴ ∠C কোণের পূরক কোণ = 90° - 70° = 20°

প্রশ্ন: (4, 10) এবং (8, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (4, 10)
এবং (x₂, y₂) = (8, 26)।

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(8 - 4)
= 16/4
= 4
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।
 

বৃত্তের সমীকরণ,
4x² + 4y² = 100
বা, x² + y² = 25
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 5² = 25π

৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ = ৩৭°
∴ ৩৭° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৭°
= ৫৩°

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = 6 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (2/3) × ত্রিভুজটির উচ্চতা 
= (2/3) × 6
= 4 সে.মি.

নোট:
বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু/√3

প্রশ্ন: 77 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহু = 77 সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (4 × 77) সে.মি.
= 308 সে.মি.

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
⇒ 2πr = 308
⇒ r = 308/(2π)
⇒ r = 154/π
⇒ r = 154/(22/7)
⇒ r = (154 × 7)/22
⇒ r = 7 × 7
⇒ r = 49 সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 49 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ = r, 
ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r
নতুন ক্ষেত্রফল = π(2r)²
= π × 4r²
= 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 4πr² - πr²
= 3πr²

∴ ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল 3 গুণ বৃদ্ধি পাবে 

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 104°
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
= (1/2) × 104°
= 52°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস (Diameter) বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 60
⇒ 2r(π - 1) = 60
⇒ 2r{(22/7) - 1} = 60
⇒ 2r{(22 - 7)/7} = 60
⇒ 2r(15/7) = 60
⇒ r = (60 × 7)/(2 × 15)
⇒ r = 420/30
∴ r = 14

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সেমি।

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব c₁c₂ = 4 + 5
= 9 সে.মি 

প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ। 

∴ ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৩২)°
= ১৪৮° । 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1 + 2 + 2 + 3
= 8
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

প্রশ্ন:

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BAC = 40^° এবং ∠ABC = 90°

এখন,
∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180° - 40° - 90°
= 180° - 130°
= 50°