রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
অর্থ্যাৎ, প্রতিটি কোণ সুক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ।
- সুতরাং রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা দুইটি।

বি:দ্র:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা একটি।

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বাড়ালে উৎপন্ন দুটি বহিঃস্থ কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
 
ধরি, ABC একটি ত্রিভুজ যার BC বাহুকে উভয় দিকে D এবং E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটি হলো ∠ABD এবং ∠ACE।
শর্তমতে, ∠ABD = ∠ACE
আমরা জানি, একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি কোণের সমষ্টি 180° (এক সরলকোণ)।
অতএব, অন্তঃস্থ ∠ABC = 180° - ∠ABD
এবং অন্তঃস্থ ∠ACB = 180° - ∠ACE
যেহেতু ∠ABD = ∠ACE, সেহেতু তাদের সম্পূরক কোণগুলোও পরস্পর সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ACB
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহু দুটিও সমান হয় (AB = AC)।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি অবশ্যই একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

∴ সঠিক উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণকে কী বলা হয়?  

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: ২৫৫° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ব কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৫৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ব কোণ।

একটি কোণ = ৬৫°
∴ অপর কোণটি = ৯০° - ৬৫° = ২৫°
∴ অপর কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ২৫° = ১৫৫°

বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = ১০০π
বা, r = ১০
বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো প্রতিটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (উচ্চতা)²/ √৩
= (১০)²/ √৩ = ১০০/√৩
৬টি সমবাহু ত্রিভুজের বা ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = (৬ x ১০০)/√৩ = ২০০√৩

প্রশ্ন: একই সমতলে অবস্থিত দুটি রেখা যদি কখনোই পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে তাদের কী বলা হয়?

সমাধান:
সমান্তরাল রেখা: দুটি সরলরেখা যদি একই সমতলে থাকে এবং উভয় দিকে অনন্ত পর্যন্ত বিস্তৃত হওয়া সত্ত্বেও কখনো পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ মিলিত না হয়, তাহলে তাদের সমান্তরাল রেখা বলে।

বৈশিষ্ট্য:
দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বত্র সমান থাকে।
যদি একটি তির্যক রেখা (transversal) দুটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তাহলে সম্পূরক কোণ, অনুরূপ কোণ ইত্যাদি সমান হয়।

উদাহরণ:
⋅ রেললাইনের দুটি পাত (যতদূর দেখা যায়)।
⋅ খাতার সমান্তরাল রুলিং লাইন।
⋅ সড়কের দুই পাশের লেনের মাঝের লাইন (যদি সোজা হয়)।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°)
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০° । 

প্রদত্তরেখা 2x + 3y - 12 = 0
x -অক্ষের ছেদবিন্দুতে y = 0
∴ 2x - 12 = 0
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (6, 0)

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকায় ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
চাকার কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = ৩৬০°

∴ ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে,

মোট স্পোকের সংখ্যা = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি

∴ সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট ২৪টি স্পোক লাগানো আছে।

BC = CD = BD হওয়াতে ΔACD হলো সমবাহু।
∴ ∠BCD = ∠BDC = ∠DBC = 60°
∴∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 90° - 60° = 30°
আবার, ∠ABD = ∠ABC  - ∠CBD = 120°
∴ ΔABD এর ∠BAD = 30°
∴ ΔABD এর BD = AB = 1
∴ ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD
এখন, ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AD² = AC² - DC² = 4 -1 = 3
AD = √3
∴ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD = 1 + 1 + √3 = 2 + √3

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × 3.1416 × 7²
= (49/6) × 3.1416
= 25.656
= 25.66 বর্গ সে. মি.

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল প্রায় 25.66 বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: ১৮০ ডিগ্রি কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।
যেমন, ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ হলো  ৭০° , কারণ ১১০° + ৭০° = ১৮০°

অতএব, যদি একটি কোণ ১৮০° হয়, তাহলে তার সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১৮০° = ০°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

​সমাধান:
​প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ১৯০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ১৯০° < ৩৬০°)।
​∴ ১৯০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
​• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
​• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
​• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
​• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

বৃত্তের ব্যাস = 2r,
সুতরাং ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ = 3r
সুতরাং, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে, π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। 
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে। 
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। 

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোন ধরনের কোণ? 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বর্গের কর্ণ AC = বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 16π
বা, r² = 16
∴ r = 4
∴ বর্গের কর্ণ AC = 2r = 8
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = 8/√2 সে.মি.
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × AB × BC
= 1/2 × 8/√2 × 8/√2
= 1/4 × 64
= 16 বর্গ সে.মি.

প্রদত্ত চিত্রে,
PQ = PR

সুতরাং, PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°

সুতরাং, ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে x² + y² = 9 একটি বৃত্ত।
উপবৃত্তের সমীকরণ, 4x2 + 9y2 = 36

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π X ৩^২ : π X ২^২
= ৯ : ৪

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
রৈখিক মানে সোজা 180°।
সুতরাং 75° কোণের রৈখিক সম্পূরক কোণের পরিমাপ = 180° - 75° = 105°।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গএকক এবং পরিধি = 2πr একক।
প্রশ্নমতে, πr²/2πr = 16/8
=> r/2 = 2/1
=> r = 4

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ানো হলে, এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়বে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 50% বাড়লে, নতুন ব্যাসার্ধ = r + r এর 50%
= r + (50r/100)
= (3r)/2

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r/2)²
= π × (9r²/4)
= 9πr²/4

∴  ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (9πr²/4) - πr²
= (5πr²)/4

∴  শতকরা বৃদ্ধি = {(5πr²/4)/(πr²)} × 100%
= 125%

আমরা জানি দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
এখন প্রশ্নমতে,√{(-5 - 0)² + (5 - 0)²} = √{(5 - 0)² + (k - 0)²}
⇒50 = 25 + k²
⇒ k = 5

প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (14 × 2) = 28 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (28)²
= 784/2
= 392 বর্গ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 392 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

অন্যদিকে,
- রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
- এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 
- দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
- দুটি সমান্তরাল রেখা কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না কারণ তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
- ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, সমান্তরাল রেখাগুলি অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হলেও মিলিত হয় না। সুতরাং, তাদের ছেদ বিন্দুর সংখ্যা শূন্য। 

যদি কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় উক্ত সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।


চিত্রে, একই শীর্ষবিন্দু O-তে দুইটি কোণ ∠AOC এবং ∠BOC। কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মি OC এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। ∠AOC এবং ∠BOC কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

CosC = BC/AC
= BC/2BC
= 1/2
= Cos60°
∴ C = 60°

প্রশ্ন: যদি দুইটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তবে ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো কেমন হয়?

সমাধান:

যখন দুটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তখন তারা একটি ছেদবিন্দুতে চারটি কোণ তৈরি করে। এই কোণগুলোর মধ্যে বিপরীত দিকে মুখ করা কোণগুলোকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

এই বিপ্রতীপ কোণগুলো সবসময় সমান হয়।

প্রশ্ন: x = 2 সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:
x = 2 সরলরেখাটি একটি উল্লম্ব (vertical) রেখা, যা x-অক্ষের সাথে 90 ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে।
যেহেতু এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সম্পূর্ণভাবে লম্ব, তাই কোণটি 90° হবে।