রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস  = d

 ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = d/২ 

∴ ক্ষেত্রফল = (d/২)^২ × π = (π × d^২)/৪ 

আবার,
ব্যাস ৪ গুণ করা হলে, নতুন ব্যাস হবে =  ৪d
∴ ব্যাসার্ধ = ৪d/২

∴ নতুন ক্ষেত্রফল =  π × ( ৪d/২)^২ 
= (π × ১৬d^২)/8 = ১৬ × (π × d^২/8)

∴ অর্থাৎ ক্ষেত্রফল বাড়ে ১৬ গুণ।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ২০ বার ঘুরে। চাকাটি ৯ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ২০ বার
১ সেকেন্ডে ঘুরে ২০/৬০ বার
∴ ৯ সেকেন্ডে ঘুরে (৯ × ২০)/৬০ বার
= ৩ বার

∴ চাকাটি ১ বারে ঘুরে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৩ বারে ঘুরে = (৩ × ৩৬০°) = ১০৮০°

অতএব, চাকাটি ৯ সেকেন্ডে ১০৮০° ঘুরবে।

বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
∴ একটি ৮০° হলে অপরটি = ১৮০° - ৮০°
                                         = ১০০°

ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি = ১৮০°
শীর্ষ কোনের মান ৫০° হলে অপর কোনদ্বয়ের মান = (১৮০ – ৫০) বা ১৩০°
তাহলে, প্রত্যেকটি কোন ১৩০/২ = ৬৫°

এখানে, ∠a + ∠b + ∠c = 180° ........(1)
ধরি, a : b : c = x : 3x : 2x
∴ a + b + c = x + 3x + 2x = 6x ......(2)
(1) ও (2) থেকে,
6x = 180°
x = 30°
c কোণের মান 2x = 2 × 30° = 60°

বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৫×২ = ১০ সেমি
আবার, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২(বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখন, (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (১০/√২)² = ৫০ বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার হলে, ঐ বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গমিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4
বা, r = 4 × 2 
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
= (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

যেহেতু, বিন্দুটির কোটি শূন্য (0),
সুতরাং, এর অবস্থান x অক্ষের উপর হবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 50π বর্গসেমি হলে, বৃত্তটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 50π
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
=  2π × 5√2
= 10π√2 সেমি

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি পেলে হবে ৮r
∴ ব্যাসার্ধ = ৮r/২ = ৪r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে
= π(৪r)^২
= ১৬πr^২

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ হবে।

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজে ∠A = ∠B = ∠C = ৬০°
কেন্দ্রঃস্থ ∠BOC = ২ × বৃত্তঃস্থ ∠A
= ২ × ৬০° = ১২০°

প্রশ্ন: POQ একটি সরলরেখা এবং ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে x এর মান কত?

সমাধান:

∠POR + ∠QOR = ∠POQ = সরলকোণ 
⇒ (3x + 20)°+ (4x - 36)° = 180°
⇒ 3x° + 20° + 4x° - 36° = 180°
⇒ 7x° - 16° = 180°
⇒ 7x° = 180° + 16°
⇒ 7x° = 196°
⇒ x° = 196°/7°
⇒ x° = 28° 

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে –

সমাধান: 

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্নমতে,
πr² = 24.64
বা, r = 2.80 m
∴ পরিধি = 2πr = 2π×2.80 = 17.60মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. হলে ঐ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস 
= ২ × ব্যাসার্ধ 
= (২ × ৮) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.

• বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যা-কে ব্যাস বলে।
• কোনো বৃত্তের ব্যাস হলো তার বৃহত্তম জ্যা।
• ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।

প্রশ্ন: ∠A, ∠B এবং ∠C হলো একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ এবং ∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41° হলে, ∠A + ∠B  এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

দেওয়া আছে, 
∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41°
⇒ (5∠A + 5∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + 4∠A + ∠B + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + ∠B + 4∠A + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ ∠A + ∠B + 4(∠A + ∠B + ∠C) = 41° × 20
⇒ ∠A + ∠B + 4 × 180° = 820°
⇒ ∠A + ∠B = 820° - 720°
∴ ∠A + ∠B = 100°

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫০° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫০° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫০° × ২) 
= ১০০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১০০° 

যেহেতু AB⊥OD সেহেতু D, AB এর মধ্যবিন্দু এবং AD = BD = 12
ΔOAD সমকোণী ত্রিভুজ
∴ OA² = AD² + OD²
         = 12² + 5²
         = 169
∴ ব্যাসার্ধ, OA = 13cm.

প্রশ্ন: (- 1, 4) এবং (3, - 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি বিন্দু A(- 1, 4) এবং B(3, - 2)
যেখানে, (x₁, y₂) = (- 1, 4) 
এবং (x₂, y₂) =(3, - 2)

আমরা জানি, 
দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, d = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} 
= √{(3 - (- 1))² + ((- 2) - 4)²}
= √{(3 + 1)² + (- 2 - 4)²}
= √{(4)² + (- 6)²}
= √{16 + 36}
= √52
= √(4 × 13)
= 2√13

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 67° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ 67° হলে, উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ = (180 - 67)°
= 113°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪২ সে.মি. হলে বৃত্তটির পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব AB যা r₁, r₂ এর সমষ্টির সমান
∴ AB = r₁ + r₂

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4) সমকোণ
= (10-4) × 90°
= 6 × 90°
= 540°
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের একটি শীর্ষ কোণ = 540°/5
= 108°

বহিস্থ ∠ACD = ∠A + ∠B
বা, 115° = 60° + ∠B
∴ ∠B = 115° - 60° = 55°

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ২ : ২ : ৩ : ৫  হলে, চতুর্ভুজটির বৃহত্তম কোণের মান বের করুন?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ২ : ২ : ৩ : ৫
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ২ + ৩ + ৫ = ১২

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৫/১২)°
= ১৫০°

AB = ২৪ সেমি
∴ AD = ১২ সেমি
AF² = AD ²+ FD²
∴AF = ১৩ সেমি

এখান,
৮² + ১৫²
= ৬৪ + ২২৫
= ২৮৯
= ১৭²

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস r একক হলে,
ব্যাসার্ধ = r/2 একক

তাহলে ক্ষেত্রফল = πr²
= π(r/2)²
= πr²/4 বর্গএকক

∴ ক্ষেত্রফল = πr²/4 বর্গএকক

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজে ∠BOC =118° হলে ∠BCO = ?

সমাধান:

OC ও OB বৃত্তের ব্যাসার্ধ হওয়ায় OC = OB
∴ ΔBOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
এখন,
ΔBOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ∠OBC = ∠BCO

আবার,
ΔBOC এ,
∠OBC + ∠BOC + ∠BCO = 180°
⇒ ∠BCO + ∠BOC + ∠BCO = 180 [∠OBC = ∠BCO]
⇒ 2 BCO + BOC = 180°
⇒ 2 ∠BCO + 118° = 180°
⇒ 2 ∠BCO = 180° - 118° = 62°
⇒ ∠BCO = 62°/2
⇒ ∠BCO = 31°

প্রশ্ন: 28 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 28 cm
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = (22/7) × 28²
= (22/7) × 784
= 2464

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = 2464/2 = 1232 sq cm

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ 46° এবং AB = AC। যদি E এবং F, AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE = ?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
∠B = 46° এবং AB = AC
সুতরাং, ∠ B = ∠C = 46°
আবার,  EF||BC এবং AC ছেদক
 ∠C = ∠AFE [অনুরূপ কোণ]
অতএব, ∠ AFE = 46°
এখানে, ∠ A +∠ B + ∠C = 180°
→ ∠A + 46° + 46° = 180°
→ ∠A = 180° - 92°
∠A = 88°

সুতরাং ∠A +  ∠AFE = 88° + 46° = 134°

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ^১৮০° হলে, একটি অপরটির সম্পূরক কোণ হয়।

প্রদত্ত কোণটির পরিমাপ = ৬৫°

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬৫° = ১১৫°

∴ সম্পূরক কোণটির পরিমাপ হলো ১১৫°

বর্গাকার কাগজের ক্ষেত্রফল = a² বর্গসেমি:
তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে a/2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(a/2)²
কাগজ বাকি থাকবে = a² - π(a/2)² = (4a² - πa²)/4

প্রশ্ন: ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান: 
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৭২°

আমরা জানি,
(অতিভুজ) ² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
বা, (১৫) ² = (লম্ব)² + (৯)²
বা, লম্ব = ১২ সে.মি.
সুতরাং লম্ব ও ভূমির অন্তর = ১২ - ৯ = ৩ সে.মি.