রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

AB = AC ∴ ∠B = ∠C
এখন, ∠B + ∠C = 180° - 80°
বা, 2∠C = 100°   
∴ ∠C = 50°
বা, ∠ACD = 180° - 50° = 130° 
∴ 1/2∠ACD = 65°

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ × ১০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি. পথ গেলে

মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y = m x
2x + 3y = 0
3y = -2x
y= -2x/3 যা y = mx আকারের যেখানে m = -2/3
সুতরাং, 2x + 3y = 0 রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে সিদ্ধ হয়।
অর্থাৎ, এটি মূলবিন্দুগামী।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?  

সমাধান: 
মনে করি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. হলে 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি. 
এবং
বৃত্তের পরিধি = 2πr সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি. ।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৩^২ : π × ২^২
= ৯ : ৪

একই চাপের উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোণ সমান।
AD চাপের উপর দন্ডায়মান ∠ACD ও ∠ABD পরস্পর সমান।

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি. হলে অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.

আমরা জানি, 
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল  = (1/2)πr²
= (1/2) × (22/7) × 14²
= (11/7) × 14 × 14
= 11 × 2 × 14
= 22 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল 308 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল হল 180°
পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল 90°

এখন,
130° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 130° = 50°
এবং 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

∴ 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ হল 40°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ হলে, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ও ব্যাসার্ধের অনুপাত সমান। 

ধরি, বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r, ৪r
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ /π(৪r)^২ 
= ৯r^২/১৬r^২ 
= ৯/১৬ 
= ৯ : ১৬

সুতরাং, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ১৬

আমরা জানি, পূরক কোণ = 90°
প্রদত্ত চিত্রে, ∠QON = 90°
Or, ∠PON + ∠POQ = 90°
সুতরাং ∠PON এর পূরক কোণ ∠POQ।

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা এবং ছেদক দ্বারা উৎপন্ন--
অনুরূপ কোন জোড়া সমান
ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোন দুইটি পরষ্পর সম্পূরক
একান্তর কোন জোড়া সমান

প্রশ্ন: 
উপরের চিত্রে ∠PSR একটি ____

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
চিত্রে চিহ্নিত ∠PSR প্রবৃদ্ধ কোণ।

অন্যান্য অপশন: 
সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

এখানে,
∠ABC = ১৮০° - ∠ADC
আবার,
∠CDE = ১৮০° - ∠ADC
∴ ∠CDE = ∠ABC

ΔABC - এ সমবাহু
∴ ∠BAC = 60°
আবার,
AB||CE এবং AC ছেদক,
∴ ∠ACE = ∠BAC = 60°
∴ 1/2 ∠ACE = 30°

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16

ΔABC - এ,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
এখন,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
বা, ∠ABC + 80° + ∠ACB = 180°
বা, 2∠ACB = 100°
বা, ∠ACB = 50°
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°

প্রশ্ন: 125 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে 72° কোণ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ = 72°

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (কোণ/360°) × বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (72/360) × 125
= (1/5) × 125
= 25 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 25 বর্গ সে.মি.

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি:বৃত্তের ব্যাস =2πr/2r = π = ২২/৭

ΔABC এর ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180°
⇒∠CBA +105° + 30° =180°
⇒ ∠CBA = 45°
এখন, ΔABD এর BD = AD
∴ ∠DBA = ∠DAB = ∠CBA = ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = 105° - 45°= 60°

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 10 সে.মি. হলে OF = কত? 

সমাধান:
 
দেওয়া আছে,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 10 সে.মি. হলে OF = 10 সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: ৪২° কোণের পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে, তাদের পূরক কোণ বলে।

∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৪২)°
= ৪৮°

বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি (n-2)180° = (5-2) = 3 x 180 = 540°
(n হচ্ছে বাহুর সংখ্যা)

∠ABD + ∠ABC = 180°
∴∠ABD = 180° - 60° = 120°
অনুরূপ ভাবে, ∠ACE + ∠ACB =  180°
∴∠ACE = 180° - 60° = 120°
∴ দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি = ∠ABD +∠ACE = 120° + 120° = 240°

বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 7²
= 49π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫৬° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৫৬° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৫৬°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫৬° + ৫৬° = ১৮০°
⇒ ∠A + ১১২° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ১১২° = ৬৮°
∴ ∠A = ৬৮°

একই চাপের (AD) উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোন সমান।

বৃত্তঃস্থ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রে,
<A + <C = ১৮০°
∴ <C = ১৮০° - ৯৫°
বা, <C = ৮৫°

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 160° হলে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 160°
⇒ ∠ACB = 20°

আবার, ∠A+ ∠B+ ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 20° = 180°
⇒ ∠A + 95° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 95°
∴ ∠A = 85°