সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ১ / ৩২ · ১–১০০ / ৩,১৭২

১.

log_x 1/8 = -2 হলে, x = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) √2
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

log_x 1/8 = -2
বা, x^-2 = 1/8
বা, 1/x² = 1/8
বা, x² = 8
∴ x = 2√2

২.

log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶= 6 log_aa
= 6 × 1
= 6

৩.

2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

ক
8
খ
16
গ
2
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3
= log₁₀5² + log₁₀6²- log₁₀3² ; [ plog_kM = log_kM^p]
= log₁₀ {(5²× 6²)/3²} ; [log_kM + log_kN = logk(MN), log_kM - log_kN = log_k(M/N)]
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²= 2log₁₀10
= 2.1
= 2

৪.

ক
12
খ
16
গ
24
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫.

ক
0
খ
2
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬.

x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 2
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

সমাধান:
2^{4x - 12} = 16
2^{4x - 12} = 2⁴
4x - 12 = 4
4x = 12 + 4
4x = 16
x = 4

৭.

k এর মান কত হলে 2^{4k - 12} = 256 হবে?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে 2^{4k - 12} = 256 হবে?

সমাধান:
2^{4k - 12}= 256
⇒ 2^{4k - 12}= 2⁸
⇒ 4k - 12 = 8
⇒ 4k = 8 + 12
⇒ k = 20/4
∴ k = 5

৮.

(200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ এর মান কত?

ক
200
খ
1
গ
202
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (200 × 1) + 1
= 1 + 200 + 1
= 202

৯.

2^x + 2^x + 2^x + 2^x = কত?

ক
ক) 2^(3x+3)
খ
খ) 2^(x+1)
গ
গ) 2^(2x+2)
ঘ
ঘ) 2^(x+2)

ব্যাখ্যা

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2² . 2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

১০.

a^{x^√x} = (a^√x)^x হলে, x = ?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 9/4
গ
গ) 4/9
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

a^{x^√x} = (a^√x)^x
বা, a^{x^√x} = a^x√x
বা, x^√x = x√x
বা, x^√x = x^3/2
বা, √x = 3/2
∴ x = 9/4

১১.

121 = 11^x/5 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 5/2
খ
খ) 10
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 2/5

ব্যাখ্যা

121 = 11^x/5
11² = 11^x/5
2 = x/5
x = 10

১২.

5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

ক
2ⁿ
খ
0
গ
2^{n - 1}
ঘ
5ⁿ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

সমাধান:
= 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1}
= 5.2ⁿ - 10.(2ⁿ/2)
= 5.2ⁿ - 5.2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 5)
= 2ⁿ × 0
= 0

১৩.

{(9^a - 4)/(3^a - 2)} - 2 এর মান কত?

ক
2^a
খ
3^a
গ
4^a
ঘ
6^a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(9^a - 4)/(3^a - 2)} - 2 এর মান কত?

সমাধান:
{(9^a - 4)/(3^a - 2)} - 2
= {(3^2a - 2²)/(3^a - 2)} - 2
= [{(3^a)² - 2²}/(3^a - 2)] - 2
= {(3^a - 2)(3^a + 2)/(3^a - 2)} - 2
= 3^a+ 2 - 2
= 3^a

১৪.

log₁₀₀₀₀₀x = - 1/5 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 1/10
গ
গ) 1/100
ঘ
ঘ) 1/1000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀₀₀₀₀x = - 1/5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀₀₀₀₀x = - 1/5
⇒ x = (100000)^{- 1/5}
⇒ x = (10⁵)^{- 1/5}
⇒ x = 10^{- 1}
∴ x = 1/10

১৫.

log√9/log9 = কত?

ক
1
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
1/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log√9/log9 = কত?

সমাধান:
log√9/log9
= log9^1/2/log9
= {(1/2) log 9}/log 9
= 1/2

১৬.

4^{y + 1} = 2^{y - 2} হলে, y এর মান কত?

ক
3
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{y + 1} = 2^{y - 2} হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
4^{y + 1} = 2^{y - 2}
বা, (2²)^{y + 1} = 2^{y - 2}
বা, 2^{2y + 2} = 2^{y - 2}
বা, 2y + 2 = y - 2
বা, 2y - y = - 2 - 2
∴ y = - 4

১৭.

(2^{x + 4} - 4.2^{x + 1})/2^{x + 2} এর মান কত?

ক
ক) -2
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(2^{x + 4} - 4.2^{x + 1})/2^{x + 2}
= (2^x.2⁴ - 2².2^x.2)/2^x.2²
= (16.2^x - 8.2^x)/4.2^x
= (16 - 8)/4
= 8/4
= 2

১৮.

log_a √2 = 1/6 হলে a এর মান কত?

ক
√2
খ
0
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a √2 = 1/6 হলে a এর মান কত?

সমাধান:

১৯.

(r/s)^{(x - 2)} = (s/r)^{(x - 6)} হলে, x এর মান নির্ণয় করুন।

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (r/s)^{(x - 2)} = (s/r)^{(x - 6)} হলে, x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(r/s)^{(x - 2)} = (s/r)^{(x - 6)}
বা, (r/s)^{(x - 2)} = (r/s)^{-(x - 6)}
বা, x - 2 = 6 - x
বা, x + x = 6 + 2
বা, 2x = 8
∴ x = 4

২০.

log₅(√5 × 25) এর মান কত ?

ক
2/5
খ
5/2
গ
5/4
ঘ
4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅(√5 × 25) এর মান কত ?

সমাধান:
= log₅(√5 × 25)
= log₅(5^½ × 5²)
= log₅5^{(½ + 2)}
= (1/2 + 2 ) log₅5
= (1 + 4 )/ 2
= 5/2

২১.

a^{- 3} = 0.2 হলে, a¹⁵ = কত?

ক
2025
খ
625
গ
1025
ঘ
3125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^{- 3} = 0.2 হলে, a¹⁵ = কত?

সমাধান:
a^{- 3} = 0.2
⇒ 1/a³ = 2/10
⇒ a³ = 10/2
⇒ a³ = 5
⇒ (a³)⁵ = 5⁵
⇒ a¹⁵ = 5⁵
∴ a¹⁵ = 3125

২২.

অ × অ × অ × অ × অ × অ = কত?

ক
অ^৬
খ
অ^৭
গ
অ^৮
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অ × অ × অ × অ × অ × অ = কত?

সমাধান:
অ × অ × অ × অ × অ × অ
= অ^{(১ + ১ + ১ + ১ + ১ + ১)}
= অ^৬

২৩.

(x^{- 1}+ y^-1) ^{- 1} = কত?

ক
ক) 2xy/(x + y)
খ
খ) - xy/(x - y)
গ
গ) xy/2(x + y)
ঘ
ঘ) xy/(x + y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x^{- 1}+ y^-1) ^{- 1} = কত?

সমাধান:
(x^{- 1} + y^-1)^{- 1}
= {(1/x) + (1/y)}^{- 1}= {(x + y)/xy}^{- 1}
= 1/{(x + y)/xy}
= 1 ×{xy/(x + y)}
= xy/(x + y)

২৪.

ক
20
খ
25
গ
45
ঘ
75

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২৫.

যদি 5^x = 1/2 হয়, তাহলে 5^{- 4x} এর মান কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 5
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^x = 1/2 হয়, তাহলে 5^{- 4x} এর মান কত?

সমাধান:
5^x= 1/2

5^{- 4x} = (5^x)^{- 4}
= (1/2)^{- 4}
=1/(1/2)⁴
= 1/(1/16)
= 16

২৬.

যদি 3^3m = 729 হয় তবে 3^m = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^3m = 729 হয় তবে 3^m = কত?

সমাধান:
3^3m = 729
⇒ 3^3m = 3⁶
⇒ 3m = 6
∴ m = 2

এখন,
3^m = 3² = 9

২৭.

যদি 10^x = 1/2 হয়, তাহলে 10^{- 5x}এর মান কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 32
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 10^x = 1/2 হয়, তাহলে 10^{- 5x}এর মান কত?

সমাধান:
10^x = 1/2

10^{- 5x}= (10^x)^{- 5}
= (1/2)^{- 5}
=1/(1/2)⁵
= 1/(1/32)
= 32

২৮.

a^-3 = 0.5 হলে a¹⁸ = কত?

ক
18
খ
12
গ
32
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^-3 = 0.5 হলে a¹⁸ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ a^{- 3} = 0.5
⇒ 1/a³ = 5/10
⇒ a³ = 2
⇒ (a³)⁶ = 2⁶
∴ a¹⁸ = 64

২৯.

a এর মান কত হলে (√5)^{a + 1} = (5^1/3)^{2a - 1} হবে?

ক
1
খ
3
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে (√5)^{a + 1} = (5^1/3)^{2a - 1} হবে?

সমাধান:
(√5)^{a + 1} = (5^1/3)^{2a - 1}
বা, 5^{(a + 1)/2} = 5^{(2a - 1)/3}
বা, (a + 1)/2 = (2a - 1)/3
বা, 4a - 2 = 3a + 3
বা, 4a - 3a = 3 + 2
∴ a = 5

৩০.

যদি 5^{2x - 2} = 625 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^{2x - 2} = 625 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 2} = 625
⇒ 5^{2x - 2} = 5⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

৩১.

৬৪ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) ৫
খ
খ) ৪
গ
গ) ৩
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

log₂64= log₂2⁶=6

৩২.

(log₁₀√3)/(log₁₀3) = কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 1/2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log₁₀√3)/(log₁₀3) = কত?

সমাধান:
(log₁₀√3)/(log₁₀3)
= log₁₀(3)^1/2/(log₁₀3)
= (1/2)log₁₀3/log₁₀3
= 1/2

৩৩.

যদি 3^{x + 3} = 81 হয়, তবে 4^{x + 2} = কত?

ক
16
খ
32
গ
256
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 3} = 81 হয়, তবে 4^{x + 2} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 3} = 81
⇒ 3^{x + 3} = 3⁴
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 - 3
∴ x = 1

∴ 4^{x + 2} = 4^{1 +2}
= 4³
= 64

৩৪.

প্রশ্নকত?

ক
27
খ
243
গ
9
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: = কত?

সমাধান:

= (3^{3 × 1/3})⁵= 3⁵
= 243

৩৫.

2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x = কত?

ক
2^3x+3
খ
2^x+1
গ
2^2x+2
ঘ
2^x+3

ব্যাখ্যা

2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 8.2^x
= 2³.2^x
= 2^3+x
= 2^x+3

৩৬.

log₅ 125 + log₂ 8 = ?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅ 125 + log₂ 8 = ?

সমাধান:
log₅ 125 + log₂ 8
= log₅ 5³ + log₂ 2³
= 3 log₅ 5 + 3 log₂ 2
= (3 × 1) + (3 × 1)
= 3 + 3
= 6

৩৭.

3^{(x + 4)} - 3^{(x + 2)} = 8 হলে, x এর মান কত?

ক
9
খ
- 3
গ
3
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{(x + 4)} - 3^{(x + 2)} = 8 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{(x + 4)} - 3^{(x + 2)} = 8
⇒ (3^x × 3⁴) - (3^x × 3²) = 8
⇒ 3^x × (3⁴ - 3²) = 8
⇒ 3^x × (81 - 9) = 8
⇒ 3^x × 72 = 8
⇒ 3^x = 8/72
⇒ 3^x = 1/9
⇒ 3^x = 3^-2
∴ x = -2

৩৮.

log₈ 0.25=কত?

ক
3/2
খ
2/3
গ
- 2/3
ঘ
- 3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₈ 0.25 = কত?

সমাধান:
ধরি, log₈ 0.25 = x
⇒ 8^x = 0.25 [log_aM = x হলে, a^x = M হয়]
⇒ 8^x = 25/100
⇒ 8^x = 1/4
⇒ (2³)^x = 2^{- 2}⇒ (2)^3x = 2^{- 2}
⇒ 3x = - 2
∴ x = - 2/3

৩৯.

x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত?

ক
10
খ
12
গ
15
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.36) = 9
⇒ x(√36/100) = 9
⇒ x√{(6/10)²} = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ 6x/10 = 9
⇒ 6x = 9 × 10
⇒ x = (9 × 10)/6
∴ x = 15

৪০.

9^{(2x + 5)} = 27^{(x + 25)} হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 50
খ
খ) 65
গ
গ) 70
ঘ
ঘ) 80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{(2x + 5)} = 27^{(x + 25)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
9^{(2x + 5)} = 27^{(x + 25)}
⇒ (3²)^{(2x + 5)}= (3³)^{(x + 25)}
⇒ 3^{(4x + 10)}= 3^{(3x + 75)}
⇒ 4x + 10 = 3x + 75
⇒ 4x - 3x = 75 - 10
∴ x = 65

৪১.

(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
1
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{3 - x}
⇒ x - 1 = 3 - x
⇒ x + x = 3 + 1
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

৪২.

log₂₇3 = ?

ক
3
খ
1/3
গ
- 3
ঘ
- 1/3

ব্যাখ্যা

log₂₇3
= log₂₇(27)^1/3
= 1/3log₂₇27
= 1/3

৪৩.

যদি log₁₀x = -1 হয়, তাহলে নিচের কোনটি x এর মান?

ক
ক) 0.1
খ
খ) 0.01
গ
গ) 1/10000
ঘ
ঘ) 0.001

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,

log₁₀ x = -1

⇒ 10^-1 = x

⇒ x = 1/10

⇒ x = 0.1

৪৪.

x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

ক
-1
খ
3
গ
7
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁶ = 729
⇒ x⁶ = 3⁶
∴ x = 3

এখন,
log₃x
= log₃3
= 1

৪৫.

যদি x, y বাস্তব সংখ্যা এবং x ≠ 0, y ≠ 0 হয়, তবে x⁰ + y^x⁰ কত?

ক
ক) 2
খ
খ) x + y
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1 + y

ব্যাখ্যা

x⁰ + y^x⁰
= 1 + y¹ (x⁰ = 1)
= 1 + y

৪৬.

log₃(1/9) = ?

ক
- 2
খ
4
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/9) = ?

সমাধান:
log₃(1/9)
= log₃9^{- 1}
= (- 1) log₃9
= (- 1) log₃3²
= (- 1)(2) log₃3
= - 2 × 1
= - 2

৪৭.

5^{(x + 3)} = 25^{(3x − 4)} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
7/5
খ
11/5
গ
13/7
ঘ
11/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{(x + 3)} = 25^{(3x − 4)} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{(x + 3)} = 25^{(3x − 4)}⇒ 5^{(x + 3)} = (5²)^{(3x − 4)}
⇒ 5^{(x + 3)} = 5^{(6x − 8)}
⇒ x + 3 = 6x − 8
⇒ 5x = 11
∴ x = 11/5

৪৮.

³√5 . ³√5 এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) ⁶√5
খ
খ) (³√5)³
গ
গ) (√5)³
ঘ
ঘ) ³√25

ব্যাখ্যা

³√5 . ³√5
= 5^1/3 . 5^1/3
= 5^{(1/3 + 1/3)}
= 5^2/3
= ³√5²
= ³√25

৪৯.

p^a = q, q^b = r ও r^c = p হলে abc = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) a^p
ঘ
ঘ) p^a

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
r^c = p
(q^b)^c = p [r = q^b]
(p^a)^bc = p
p^abc = p¹
abc = 1

৫০.

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) ৩
খ
খ) ৪
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
= log₂2⁵
= 5log₂2
= 5 .1
= 5

৫১.

(0.24×10^p)/(0.3×10^q)=8×10⁷ হলে q-p= কত?

ক
ক) 8
খ
খ) -8
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

(0.24×10^p)/(0.3×10^q)=8×10⁷
⇒0.8×10^p-q=8×10⁷
⇒10^p-q=10⁸
⇒p-q=8
⇒q-p=-8

৫২.

x^y = z, y^z = x, z^x = y হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xyz = 0
খ
খ) xy = 1/z
গ
গ) xyz = 1
ঘ
ঘ) খ ও গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^y = z, y^z= x, z^x = y হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x^y = z, y^z = x, z^x = y

এখানে
x^y = z
বা, (y^z)^y= z
বা, y^yz = z
বা, (z^x)^yz= z
বা, z^xyz = z¹
বা, xyz = 1
xy = 1/z

৫৩.

2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

ক
4
খ
3
গ
9
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৫৪.

যদি y = 4 হয় তবে, √y³ এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

ক
1/4
খ
3/2
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = 4 হয় তবে, √y³ এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = 4

√y³ এর 4 ভিত্তিক লগ = log₄√y³
= log₄(y³)^1/2
= log₄(4³)^1/2
= log₄4^3/2
= (3/2) × log₄4
= (3/2) × 1
= 3/2

৫৫.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
8
খ
5
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান :
(a/b)^{x - 3}= (b/a)^{x - 5}
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 3 + 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৫৬.

p = log₆18 - log₆3 হলে p এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
36
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = log₆18 - log₆3 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
p = log₆18 - log₆3
⇒ p = log₆(18/3)
⇒ p = log₆6
∴ p = 1

৫৭.

log_x324 = 4 হলে, x²এর মান কত?

ক
15
খ
18
গ
14
ঘ
12

ব্যাখ্যা

log_x324 = 4
বা, x⁴= 324
বা, x⁴ = (3√2)⁴
বা, x = 3√2

x² = (3√2)²= 9.2 = 18

৫৮.

প্রদত্ত

ক
3/4
খ
4
গ
1/2
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

= log₁₆(4¹ × 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log₁₆16^2/3
= (2/3) × log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

৫৯.

27^{x + 1} = 243 হলে, x এর মান কোনটি?

ক
2
খ
2/3
গ
3
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 1} = 243 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
27^x+1= 243
⇒ 3^{3(x + 1)} = 3⁵
⇒ 3^{3x + 3} = 3⁵
⇒ 3x + 3 = 5
⇒ 3x = 5 - 3
∴ x = 2/3

৬০.

5logx + 5logy = log243 হলে xy এর মান কত?

ক
5
খ
3
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5logx + 5logy = log243 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5logx + 5logy = log243
⇒ logx⁵ + logy⁵ = log3⁵
⇒ log(xy)⁵ = log3⁵
⇒ (xy)⁵ = 3⁵
∴ xy = 3

৬১.

log_x 1/27 = 3 হলে x-এর মান কত?

ক
ক) -1/3
খ
খ) -3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log_x 1/27 = 3
⇒X₃ = 1/27
∴ x= 1/3

৬২.

x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

ক
3
খ
4
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

সমাধান:
log_x(1/256) = - 4
⇒ x^-4 = 1/256
⇒ 1/x⁴ = 1/256
⇒ x⁴ = 256
⇒ x⁴ = 4⁴
∴ x = 4

৬৩.

যদি 3^m = 81 হয়, তবে m³ = ?

ক
ক) 9
খ
খ) 16
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি 3^m = 81 হয়, তবে m³ = ?
সমাধান :
দেওয়া আছে,
3^m = 81
বা, 3^m = 3⁴
বা, m = 4
বা, m³ = 4³
বা, m³ = 64

৬৪.

9 · 3^{x - 1} = 27^x হলে, x এর মান কত?

ক
1/2
খ
1/4
গ
4
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 · 3^{x - 1} = 27^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

৬৫.

log_a√343 = 3/2 হলে a এর মান কত?

ক
7
খ
3
গ
9
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a√343 = 3/2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a√343 = 3/2
⇒ a^3/2 = √343
⇒ a^3/2 = (7³)^1/2
⇒ a^3/2 = 7^3/2
∴ a = 7

৬৬.

(9^{- 2} ÷ 81^{- 1})^{- 2} এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (9^{- 2} ÷ 81^{- 1})^{- 2} এর মান কত?

সমাধান:
(9^{- 2} ÷ 81^{- 1})^{- 2}
= (1/9²) ÷ (1/81)^{- 2}
= (1/81) × (81)^{- 2}
= (1)^{- 2}
= 1/1²
= 1

৬৭.

log_ax = 1, log_ay = 2 এবং log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_aM/N = log_aM - Log_aN]
= log_ax³+ log_ay² - log_az [log_aMN = log_aM + log_aN]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 7 - 3
= 4

৬৮.

512 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম-

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

log₂512
= log₂2⁹
= 9 log₂2
= 9 × 1 [log₂2 = 1]
= 9

৬৯.

64^-2/3 × (1/4)^-2 = কত?

ক
12
খ
4
গ
6
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64^-2/3 × (1/4)^-2 = কত?

সমাধান:
64^-2/3 × (1/4)^-2
= (4³)^-2/3 × (1/4)^-2
= 4³^{× (-2/3)} × (1/4)^-2
= 4^-2 × (1/4)^-2
= (1/4)² × (1/4)^-2
= (1/4)^{2 - 2}
= (1/4)⁰
= 1

৭০.

ক
32
খ
16
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭১.

(16)^3/4 ÷ (16)^1/2 = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (16)^3/4 ÷ (16)^1/2 = কত?

সমাধান:
(16)^3/4 ÷ (16)^1/2
= (16)^{3/4 - 1/2}
= (16)^1/4
= (2⁴)^1/4
= 2

৭২.

যদি x = 10^1.4, y = 10^0.7 এবং x^z = y³ হলে, z এর মান কত?

ক
3
খ
1.5
গ
2
ঘ
2.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = 10^1.4, y = 10^0.7 এবং x^z = y³ হলে, z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 10^1.4, y = 10^0.7
এবং
x^z = y³
⇒ (10^1.4)^z = (10^0.7)³
⇒ 10^1.4z = 10^2.1
⇒ 1.4z = 2.1
⇒ z = 2.1/1.4
⇒ z = 21/14
⇒ z = 3/2
∴ z = 1.5

৭৩.

{1 - (x²/4)}⁸ এর বিস্তৃতির x⁶ এর সহগ নির্ণয় করুন?

ক
ক) 7/8
খ
খ) - 7/8
গ
গ) 7/4
ঘ
ঘ) - 7/4

ব্যাখ্যা

(1 - x²/4)⁸
= 1.1 - 8(- x²/4) + (8.7/2)(- x²/4)² - (8.7.6/2.3)(- x²/4)³ +………
= 1 – 2x² + 7x⁴/4 – 7x⁶/8 +…………
x⁶ এর সহগ – 7/8

৭৪.

log₈₁3 = n হলে n = ?

ক
1/8
খ
1/4
গ
1/2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

n = log₈₁3
= log₈₁(81)^1/4
= 1/4log₈₁81
= 1/4.1
= 1/4

৭৫.

400 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি কত?

ক
2√5
খ
5√2
গ
3√2
ঘ
4√2

ব্যাখ্যা

log_a400 = 4
a⁴ = 400 = (2√5)⁴
a = 2√5
400 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি = 2√5

৭৬.

log3 + log9 + log27 + .......... ধারাটির প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
55log3
খ
210log2
গ
210log3
ঘ
55log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + .......... ধারাটির প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ..........
= log3 + log3² + log3³ + .........
= log3 + 2log3 + 3log3 +........
= (1 + 2 + 3 +.......) × log3
∴ ১ম ২০টি পদের সমষ্টি = {20 × (20 + 1)/2} × log3
= (10 × 21) × log3
= 210log3

৭৭.

যদি (125)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

ক
3
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (125)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(125)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
বা, (5³)^{(2x + 3)} = 5^{(3x + 6)}
বা, 5^{6x + 9} = 5^{(3x + 6)}
বা, 6x + 9 = 3x + 6
বা, 6x - 3x = 6 - 9
বা, 3x = - 3
∴ x = - 1

৭৮.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
ক) 2/3
খ
খ) 1
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ
=log₅5√5
=log₅5 +log₅√5
= 1 + log₅5^1/2
= 1 + (1/2)log₅5
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

৭৯.

5^1/4 × (125)^0.25 = ?

ক
5
খ
1/5
গ
25
ঘ
√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^1/4 × (125)^0.25 = ?

সমাধান:
5^1/4× (125)^0.25
= 5^0.25 × (5³)^0.25
= 5^0.25 × 5^{(3 × 0.25)}
= 5^0.25 × 5^0.75
= 5^{(0.25 + 0.75)}
= 5¹
= 5

৮০.

4^{(2x + 1)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

ক
- 1
খ
2
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{(2x + 1)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4^{(2x + 1)} = 1024
⇒ 2^{2(2x + 1)} = 2¹⁰
⇒ 4x + 2 = 10
⇒ 4x = 10 - 2
⇒ 4x = 8
⇒ x = 8/4
∴ x = 2

৮১.

log₂ log_√a^a² = ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂ log_√a^a² = ?

সমাধান:
log₂ log_√aa²
= log₂ log_√a(√a)⁴
= log₂ (4 log_√a√a)
= log₂ (4 × 1)
= log₂4
= log₂ 2²
= 2 log₂ 2
= 2 . 1
= 2

৮২.

যদি log₂[ log₃( log₂a)] = 1 হয়, তাহলে a এর মান কত?

ক
243
খ
128
গ
64
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₂[ log₃( log₂a)] = 1 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₂[ log₃( log₂a)] = 1
⇒ log₃(log₂a) = 2¹
⇒ log₃(log₂a) = 2
⇒ log₂a = 3²
⇒ log₂a = 9
⇒ a = 2⁹
⇒ a =512

৮৩.

কোন শর্তে x⁰ = 1?

ক
x > 1
খ
x ≠ 0
গ
x < 0
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শর্তে x⁰ = 1?

সমাধান:
x ≠ 0 হলে x⁰ = 1 , x^{- n} = 1/xⁿ

৮৪.

ক
p
খ
√p
গ
0
ঘ
1/p

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৫.

3^{2x - y}= 3^{x + y} = √27 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{2x - y}= 3^{x + y} = √27 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{2x - y} = 3^{x + y}= √27
3^{2x - y}= 3^{x + y} = (3³)1/2
3^{2x - y}= 3^{x + y}= (3)^3/2

3^{2x - y}= 3^3/2
2x - y = 3/2..............(1)

3^{x + y} = 3^3/2
x + y = 3/2 ...............(2)

(1) + (2) ⇒
2x - y + x + y = (3/2) + (3/2)
3x = 3
x = 1

৮৬.

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে, x = ?

ক
-1
খ
0
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে,
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10¹
বা, 10^x = 10¹
∴ x = 1

৮৭.

36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

ক
7/3
খ
3
গ
8/3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

সমাধান:
36 × 2^{3x - 8} = 3²
⇒ 2^{3x - 8} = 9/36
⇒ 2^{3x - 8} = 1/4
⇒ 2^{3x - 8} =1/2²
⇒ 2^{3x - 8} = 2^{- 2}
⇒ 3x - 8 = - 2
⇒ 3x = - 2 + 8
⇒ 3x = 6
x = 2

৮৮.

log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

ক
0
খ
3/5
গ
10ab
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3x
⇒ 3log_ba = 3x
⇒ log_ba = x

আবার,
log_ab⁵ = 5y
⇒ 5log_ab = 5y
⇒log_ab = y

∴ xy = log_ba × log_ab
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

৮৯.

log_x(1/81) = - 4 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) - 1/3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/81) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/81) = - 4
⇒ x^{- 4}= 1/81
⇒ 1/x⁴ = 1/81
⇒ x⁴ = 81
⇒ x⁴ = 3⁴
x = 3

৯০.

log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
2
গ
2/3
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₆x = 0.75 = 75/100
⇒ log₁₆x = 3/4
⇒ x = 16^3/4
⇒ x = (2⁴)^3/4
⇒ x = 2³
∴ x = 8

৯১.

log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab) = কত?

ক
0
খ
1
গ
abc
ঘ
1/abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab) = কত?

সমাধান:
log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab)
= log {(a²/bc)(b²/ac)(c²/ab)}
= log 1
= 0

৯২.

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
2(log₂log_√ee²)
= 2{log₂log_√e(√e)⁴}
= 2{log₂(4log_√e√e}
= 2log₂(4 × 1)
= 2log₂4
= 2log₂2²
= (2 × 2)log₂2
= 4 × 1
= 4

৯৩.

log₃₆X = a হলে, log₆X = ?

ক
√a
খ
a/2
গ
2a
ঘ
a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃₆X = a হলে, log₆X = ?

সমাধান:
মনে করি,
log₃₆X = a
⇒ 36^a = X
⇒ (6²)^a = X
⇒ 6^2a = X

প্রদত্ত রাশি,
log₆X
= log₆6^2a
= 2alog₆6
= 2a

৯৪.

যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত?

ক
21
খ
17
গ
15
ঘ
19/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^x + 3^x + 3^x = 9⁹
⇒ 3^x(1 + 1 + 1) = (3²)⁹
⇒ 3^x × 3 = 3¹⁸
⇒ 3^{x + 1} = 3¹⁸
⇒ x + 1 = 18
⇒ x = 18 - 1
∴ x = 17

৯৫.

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ) = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1/9
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ)
= {7ⁿ.7² + (5 × 7) × 7^{n - 1}}/(6 × 7ⁿ)
= (49 × 7ⁿ + 5 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= (54 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= 9

৯৬.

(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}হলে x³ এর মান কত?

ক
4
খ
16
গ
64
ঘ
128

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}হলে x³ এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}
বা, (m/n)^{x - 3} = (m/n)^{- (x - 5)}
বা, x - 3 = - (x - 5)
বা, x - 3 = 5 - x
বা, x + x = 5 + 3
বা, 2x = 8
∴ x = 4

x³ = 4³ = 64

৯৭.

যদি log(a + 3) + log(a - 3) = 1 হয়, তাহলে a = কত?

ক
√19
খ
19
গ
9
ঘ
√10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a + 3) + log(a - 3) = 1 হয়, তাহলে a = কত?

সমাধান:
log(a + 3) + log(a - 3) = 1
⇒ log{(a + 3)(a - 3)} = 1
⇒ log(a² - 3²) = 1
⇒ log(a² - 9) = log10
⇒ a² - 9 = 10
⇒ a² = 19
∴ a = √19

৯৮.

log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴- এর মান কত?

ক
8
খ
24
গ
6
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴- এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴
= 2log_ba × 3log_cb × 4log_ac
= 24(log_ba × log_cb × log_ac) ;[log_am = log_bm × log_ab]
= 24(log_ca × log_ac) ;[log_ab × log_ba = 1]
= 24 × 1
= 24

৯৯.

log₉27 = কত?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

log₉27
= log₉3³
= log₉(√9)³
= log₉(9^1/2)³
= log₉9^3/2
= (3/2)log₉9
= (3/2) .1
= 3/2

১০০.

x + z = 2y, b²= ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) abc
গ
গ) a^xb^yc^z
ঘ
ঘ) (abc)²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + z = 2y, b²= ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} = কত?

সমাধান:
x + z = 2y
x + z = y + y
x - y = y - z

এখন
a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y}
= a^{x - y}. b^{z - x}.c^{x - y}
= (ac)^{x - y}. b^{z - x}
= (b²)^{x - y} b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x}
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y - 2y}
= b⁰
= 1