সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶
= 6 log_aa
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3²   ; [ plog_kM = log_kM^p]
= log₁₀ {(5² × 6²)/3²}  ; [log_kM + log_kN = logk(MN), log_kM - log_kN = log_k(M/N)]
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2.1
= 2

প্রশ্ন: (200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (200 × 1) + 1
= 1 + 200 + 1
= 202

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2² . 2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

a^x√x = (a^√x)^x
বা, a^x√x = a^x√x
বা, x^√x = x√x
বা, x^√x = x^3/2
বা, √x = 3/2
∴ x = 9/4

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

সমাধান:
= 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1}
= 5.2ⁿ - 10.(2ⁿ/2)
= 5.2ⁿ - 5.2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 5)
= 2ⁿ × 0
= 0

(2^{x + 4} - 4.2^{x + 1})/2^{x + 2}
= (2^x.2⁴ - 2².2^x.2)/2^x.2²
= (16.2^x - 8.2^x)/4.2^x
= (16 - 8)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: (x ^{- 1} + y ^-1) ^{- 1} = কত? 

সমাধান: 
 (x ^{- 1} + y ^-1) ^{- 1} 
= {(1/x) + (1/y)}^{- 1}
= {(x + y)/xy}^{- 1}
= 1/{(x + y)/xy}
= 1 ×{xy/(x + y)}
= xy/(x + y)

log₂64= log₂2⁶=6

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 3} = 81 হয়, তবে 4^{x + 2} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 3} = 81
⇒ 3^{x + 3} = 3⁴
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 - 3
∴ x = 1

∴ 4^{x + 2} = 4^{1 +2}
= 4³
= 64

2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 8.2^x
= 2³.2^x
= 2^3+x
= 2^x+3

প্রশ্ন: log₈ 0.25 = কত? 

সমাধান:
ধরি, log₈ 0.25 = x
⇒ 8^x = 0.25 [log_aM = x হলে, a^x = M হয়]
⇒ 8^x = 25/100
⇒ 8^x = 1/4
⇒ (2³)^x = 2^{- 2}
⇒ (2)^3x = 2^{- 2} 
⇒ 3x = - 2
∴ x = - 2/3

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x√(0.36) = 9
⇒ x(√36/100) = 9
⇒ x√{(6/10)²} = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ 6x/10 = 9
⇒ 6x = 9 × 10
⇒ x = (9 × 10)/6
∴ x = 15

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হলে, x এর মান কত? 
​
সমাধান: 
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{3 - x}
⇒ x - 1 = 3 - x
⇒ x + x = 3 + 1
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

প্রশ্ন: x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁶ = 729
⇒ x⁶ = 3⁶
∴ x = 3

এখন,
log₃x
= log₃3
= 1

x⁰ + y^x0
= 1 + y¹ (x⁰ = 1)
= 1 + y

প্রশ্ন: log₃(1/9) = ?

সমাধান: 
log₃(1/9)
= log₃9^{- 1}
= (- 1) log₃9
= (- 1) log₃3²
= (- 1)(2) log₃3
= - 2 × 1
= - 2

³√5 . ³√5
= 5^1/3 . 5^1/3
= 5^{(1/3 + 1/3)}
= 5^2/3
= ³√5²
= ³√25

দেওয়া আছে,
r^c = p
(q^b)^c = p [r = q^b]
(p^a)^bc = p
p^abc = p¹
abc = 1

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
                                          = log₂2⁵
                                          = 5log₂2
                                          = 5 .1 
                                          = 5 

(0.24×10^p)/(0.3×10^q)=8×10⁷ 
⇒0.8×10^p-q=8×10⁷
⇒10^p-q=10⁸
⇒p-q=8
⇒q-p=-8

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

= log₁₆(4¹ × 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log₁₆16^2/3
= (2/3) × log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

সমাধান: 
log_x(1/256) = - 4
⇒ x^-4 = 1/256
⇒ 1/x⁴ = 1/256
⇒ x⁴ = 256
⇒ x⁴ = 4⁴
∴ x = 4

প্রশ্ন: log_a√343 = 3/2 হলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log_a√343 = 3/2
⇒ a^3/2 = √343 
⇒ a^3/2 = (7³)^1/2
⇒ a^3/2 = 7^3/2
∴ a = 7

log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_aM/N = log_aM - Log_aN]
= log_ax³ + log_ay² - log_az [log_aMN = log_aM + log_aN]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 7 - 3
= 4

log₂512
= log₂2⁹
= 9 log₂2
= 9 × 1 [log₂2 = 1]
= 9

প্রশ্ন: যদি x = 10^1.4, y = 10^0.7 এবং x^z = y³ হলে, z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 10^1.4, y = 10^0.7
এবং
x^z = y³
⇒ (10^1.4)^z = (10^0.7)³
⇒ 10^1.4z = 10^2.1
⇒ 1.4z = 2.1
⇒ z = 2.1/1.4
⇒ z = 21/14
⇒ z = 3/2
∴ z = 1.5

(1 - x²/4)⁸
= 1.1 - 8(- x²/4) + (8.7/2)(- x²/4)² - (8.7.6/2.3)(- x²/4)³ +………
= 1 – 2x² + 7x⁴/4 – 7x⁶/8 +…………
x⁶ এর সহগ – 7/8

n = log₈₁3
= log₈₁(81)^1/4
= 1/4log₈₁81
= 1/4.1
= 1/4

log_a400 = 4
a⁴ = 400 = (2√5)⁴
a = 2√5
400 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি = 2√5

প্রশ্ন: log2 log√aa2 = ?

সমাধান:
log₂ log_√aa² 
= log₂ log_√a(√a)⁴
= log₂ (4 log_√a√a)
= log₂ (4 × 1)
= log₂ 4
= log₂ 2²
= 2 log₂ 2
= 2 . 1
= 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে,
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10¹
বা, 10^x = 10¹
∴ x = 1

প্রশ্ন: log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3x
⇒ 3log_ba = 3x
⇒ log_ba = x

আবার,
log_ab⁵ = 5y
⇒ 5log_ab = 5y
⇒log_ab = y

∴ xy = log_ba × log_ab 
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₆x = 0.75 = 75/100
⇒ log₁₆x = 3/4
⇒ x = 16^3/4
⇒ x = (2⁴)^3/4
⇒ x = 2³ 
∴  x = 8

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^x + 3^x + 3^x = 9⁹
⇒ 3^x(1 + 1 + 1) = (3²)⁹
⇒ 3^x × 3 = 3¹⁸
⇒ 3^{x + 1} = 3¹⁸
⇒ x + 1 = 18
⇒ x = 18 - 1
∴ x = 17

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ)
= {7ⁿ.7² + (5 × 7) × 7^{n - 1}}/(6 × 7ⁿ)
= (49 × 7ⁿ + 5 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= (54 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= 9