নৌকা, ট্রেন, সময় ও গতিবেগ সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি নৌকায় নদীর স্রোতের অনুকূলে ৪৮ কি.মি. পথ যেতে ৪ ঘণ্টা সময় লেগেছে। নৌকার প্রকৃত গতি ঘণ্টায় ৯ কি.মি. হলে ফিরে আসার সময় নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ৪৮ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে সময় = ৪ ঘণ্টা
নৌকার প্রকৃত গতি = ৯ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪৮/৪
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি + স্রোতের গতি
⇒ ১২ = ৯ + স্রোতের গতি
⇒ স্রোতের গতি = ১২ - ৯ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি - স্রোতের গতি
= ৯ - ৩
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ফিরে আসার সময় = দূরত্ব/স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ
= ৪৮/৬
= ৮ ঘণ্টা

অতএব, ফিরে আসার সময় নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০ সেকেন্ড সময় লাগে, ঐ ট্রেনের ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ১৫০ + ২৫০ = ৪০০ মিটার
এবং সময় ৩০ সেকেন্ড।

আমরা জানি, 
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪০০/৩০
= ৪০/৩ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০/৩) × (১৮/৫) কি.মি./ঘণ্টা   ; [১ মিটার/সেকেন্ড = ১৮/৫ কি.মি./ঘণ্টা] 
= (৪০ × ১৮)/(৩ × ৫)
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের বেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি ৬০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলেছে। ট্রেনটি রাস্তার পাশের একটি খুঁটি অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৩৬ কি.মি. = (৩৬ × ১০০০) মিটার
= ৩৬০০০ মিটার

১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
= (৬০ × ৬০) সেকেন্ড
= ৩৬০০ সেকেন্ড

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে
ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৬০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে
= ৬ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের দ্বিগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১৫ ঘণ্টা সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে?

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

∴ মোট যাতায়াতের সময় = x + ২x = ১৫
⇒ ৩x = ১৫
⇒ x = ১৫ ÷ ৩
∴ x = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির ৫ ঘণ্টা সময় লাগে।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় ৮ : ২৫ মিনিট হলে প্রকৃত সময় কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় এবং প্রকৃত সময়ের যোগফল সর্বদা ১২ : ০০ (অথবা ১১ : ৬০) হয়।

∴ প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ - আয়নার দেখা সময়
= ১১ : ৬০ - ৮ : ২৫
= ৩ : ৩৫

∴ প্রকৃত সময় হল ৩ : ৩৫ মিনিট।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় m কিমি গতিতে হাঁটতে পারে। তিনি n কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে কত মিনিট সময় নেবেন?

সমাধান:
m কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ১ ঘণ্টা বা ৬০ মিনিট
∴ ১ কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ৬০/m মিনিট
∴ n কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ৬০n/m মিনিট

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি/ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির যত সময় লাগে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার তিনগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = ক 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = (৬ + ক) কি.মি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = (৬ - ক) কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬ + ক) = ৩(৬ - ক)
⇒ ৬ + ক = ১৮ - ৩ক
⇒ ৩ক + ক = ১৮ - ৬
⇒ ৪ক = ১২
⇒ ক = ১২/৪ = ৩ 

অতএব, স্রোতের  বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির 3 : 30 মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?  

সমাধান: 
মধ্যবর্তী কোণ: = |(11 M - 60 H)/2|   [এখানে, M = 30 মিনিট, H = 3 ঘণ্টা]
= |{(11 × 30) - (60 × 3)}/2|
= |(330 - 180)/2|
= |150/2|
= 75°

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১৫ কি. মি./ঘণ্টা ও ৫ কি. মি./ঘণ্টা। নদীপথে ৬০ কি. মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার গতি = ১৫ কি. মি./ঘণ্টা
স্রোতের গতি = ৫ কি. মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতি = ১৫ + ৫ = ২০ কি. মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের বিপরীতে গতি = ১৫ - ৫ = ১০ কি. মি./ঘণ্টা

∴ যাওয়ার সময় = ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
∴ ফিরে আসার সময় = ৬০/১০ = ৬ ঘণ্টা

∴মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একজন লোক পূর্ব দিকে n মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ৩ মিনিটে এবং পশ্চিম দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ৩ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত মাইল?

সমাধান:
পূর্বের দিকে ৩ মিনিটে যায় = ১ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০/৩ = ২০ মাইল

আবার
পশ্চিম দিকে পূর্বস্থানে ৩ মাইল ফিরে আসে ১ মিনিটে
১ মাইল ফিরে আসে = ১/৩ মিনিটে
∴ ২০ মাইল ফিরে আসে = ২০/৩ মিনিটে

সুতরাং মোট সময় = ৬০ + ২০/৩ = (১৮০ + ২০)/৩ = ২০০/৩ মিনিট
এবং মোট দূরত্ব = ২০ + ২০ = ৪০ মাইল

এখন,
সে ২০০/৩ মিনিটে যায় = ৪০ মাইল
∴ ১ মিনিটে যায় = (৪০) ÷ (২০০/৩) মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = (৪০ × ৬০) ÷ (২০০/৩) মাইল
= ৪০ × ৬০ × (৩/২০০)
= ৩৬ মাইল

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ৪২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৫৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
৩৬ কিলোমিটার = ৩৬০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড 

৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০/৩৬০০ মিটার 
∴ ৫৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০০০ × ৫৫)/৩৬০০ মিটার 
= ৫৫০ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ৫৫০ মিটার 
⇒ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫৫০ - ৪২০) মিটার 
​ ∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৩০ মিটার।

সুতরাং, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৩০ মিটার।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৫ কিলোমিটার যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৬ ঘণ্টায় একই দূরত্ব ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ১৫ কি.মি. এবং সময় = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে দূরত্ব = ১৫ কি.মি. এবং সময় = ৬ ঘণ্টা

∴ মোট দূরত্ব = ১৫ + ১৫ = ৩০ কি.মি.
∴ মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

∴ গড় গতিবেগ = ৩০/৯
= ১০/৩ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ৮ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা। একজন ব্যক্তি ১০৫ কি.মি. দূরত্বের একটি স্থানে নৌকা বেয়ে যায় এবং আবার শুরুর স্থানে ফিরে আসে। তার মোট সময় কত লাগবে?

সমাধান: 

স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা
দূরত্ব = ১০৫ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে বেগ = ৮ + ২.৫ = ১০.৫ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ৮ − ২.৫ = ৫.৫ কি.মি./ঘণ্টা

যাওয়ার সময় = (১০৫/১০.৫) ঘণ্টা
= ১০ ঘণ্টা
আসার সময় = (১০৫/৫.৫) ঘণ্টা
= ১৯.০৯ ঘণ্টা

মোট সময় = (১০ + ১৯.০৯) ঘণ্টা
= ২৯.০৯ ঘণ্টা (প্রায়)   

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। ২৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৮০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার

আমরা জানি,
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
= (১৫০ + ২৮০) মিটার
 = ৪৩০ মিটার

∴ ট্রেনটিকে ৪৩০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ ১৫ মাইল/ঘন্টা এবং স্রোতের গতিবেগ ৩ মাইল/ঘন্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৪ ঘন্টায় কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ = ১৫ মাইল/ঘণ্টা
স্রোতের গতিবেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা
সময় = ৪ ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী গতিবেগ
= নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৫ + ৩
= ১৮ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
 দূরত্ব = গতিবেগ × সময়
= ১৮ × ৪
= ৭২ মাইল
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘণ্টায় নৌকাটি ৭২ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কিমি গতিতে চলমান ১০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ১৪০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজকে কত সময়ে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ১৪০ মিটার
ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘন্টা
= ৭২ × (১০০০/৩৬০০) = ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ১০০ + ১৪০ = ২৪০ মিটার।

সময় = দূরত্ব/ গতিবেগ = ২৪০/২০ = ১২ সেকেন্ড

সুতরাং, ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে ১২ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: 240 মিটার, লম্বা একটি ট্রেন 120 মিটার লম্বা একটি সেতুকে 24 সেকেন্ড অক্রিম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 240 মিটার
সেতুর দৈর্ঘ্য = 120 মিটার
অতিক্রমের সময় = 24 সেকেন্ড
এবং, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = 240 + 120 
= 360 মিটার

∴ 24 সেকেন্ড অতিক্রম করে = 360 মিটার
∴ 1 সেকেন্ড অতিক্রম করে = 360/24 মিটার
∴ 3600 সেকেন্ড অতিক্রম করে = (360 × 3600)/24 মিটার
= 54000 মিটার
= 54000/1000 = 54 কি.মি. 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = 54 কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং ঢাকা হতে সকাল ৭ টান ছেড়ে দিয়ে বিকাল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৩০০ কিলোমিটার
ঢাকা থেকে ছাড়ে সকাল ৭:০০ টায়
এবং চট্টগ্রাম পৌঁছায় বিকাল ৩:০০ টায় 

∴ মোট সময় = ৮ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়   
= ৩০০/৮
= ৭৫/২ ; [৪ দ্বারা ভাগ করে পাই]
= ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন:  দুটি ট্রেন, প্রতিটি ২০০ মিটার লম্বা, সমান গতিতে বিপরীত দিকে গতিশীল অবস্থায় ১০ সেকেন্ড সময়ে পরস্পরকে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটির গতিবেগ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার + ২০০ মিটার = ৪০০ মিটার
এবং একে অপরকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে সময় = ১০ সেকেন্ড

এখন, 
যেহেতু দুটি ট্রেনের গতি সমান, তাই প্রতিটির গতি = v মিটার/সেকেন্ড

∴ আপেক্ষিক গতি = v + v = ২v মিটার/সেকেন্ড ; [বিপরীত দিকে হওয়ায়] 

আমরা জানি, 
সময় = দূরত্ব/আপেক্ষিকগতি
​⇒ ১০ = ৪০০/২v
⇒ ২০v = ৪০০
⇒ v = ৪০০/২০ 
⇒ v = ২০ মিটার/সেকেন্ড
⇒ v = ২০ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
∴ v = ৭২ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং, প্রতিটি ট্রেনের গতিবেগ ৭২ কিমি/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: লঞ্চের গতি ও স্রোতের গতি যথাক্রমে ২০ কিমি/ঘণ্টা এবং ৪ কিমি/ঘণ্টা। নদীপথে ৪৮ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= (২০ + ৪) কিমি
= ২৪ কিমি

∴ স্রোতের অনুকূলে ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ ঘণ্টা
= ২ ঘণ্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= (২০ - ৪) কিমি
= ১৬ কিমি

∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/১৬ = ৩ ঘণ্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = (২ + ৩) ঘণ্টা
= ৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৬০ সেকেন্ডে একটি ৪২০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ৪৫ সেকেন্ডে ২৭০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪২০)/৬০ = (ক + ২৭০)/৪৫

⇒ ৪৫(ক + ৪২০) = ৬০(ক + ২৭০)
⇒ ৪৫ক + ১৮৯০০ = ৬০ক + ১৬২০০
⇒ ৬০ক - ৪৫ক = ১৮৯০০ - ১৬২০০
⇒ ১৫ক = ২৭০০
⇒ ক = ২৭০০/১৫

∴ ক = ১৮০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ২১ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ২৪ কি.মি./ঘণ্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত ছিল?

সমাধান: 
মনে করি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০ 
বা, ক/৪২ + ক/৪৮ = ১০ 
বা, ৮ক + ৭ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ১৫ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ক = (১০ × ৩৩৬)/১৫ 
∴ ক = ২২৪ কি.মি. 
​
∴ ​মোট দূরত্ব = ২২৪ কি.মি. 

প্রশ্ন: ৩০ সেকেন্ডে একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে, এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৯। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪২০ কি.মি. যায়, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান:
গতিবেগের অনুপাত = ৭ : ৯

ধরি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৭ ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ ক

প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৪২০ ÷ ৬ = ৭০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৭ ক  = ৭০
∴ ক = ১০

∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ × ১০ = ৯০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: যশোর থেকে খুলনা যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১০০ কি.মি./ঘণ্টা এবং খুলনা থেকে যশোর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ১৫০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ = ২ × x × y/(x + y)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/(১০০ + ১৫০)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/২৫০ 
= ১২০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক থেকে গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে  লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে  ১১০০ ফুট। লক্ষবস্তুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
ধরি, লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x ফুট

x ফুট যেতে বুলেটের সময় লাগে = x/১৫৪০ সেকেন্ড
এবং x ফুট আসতে শব্দের সময় লাগে = x/১১০০  সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,  (x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
⇒ (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
⇒ ১২x = ৭৭০০ × ৩
⇒ x = (৭৭০০ × ৩)/১২
∴ x = ১৯২৫

প্রশ্ন: ২০০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি. বেগে চলে। রাস্তার পাশে দাঁড়িয়ে থাকা একজন ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মি
গতি = ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৩৬ × (১০০০/৩৬০০)
= ১০ মি/সে

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতি
= ২০০ ÷ ১০
= ২০ সেকেন্ড

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা । স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, স্রোতের অনুকূলে ৬০ কি.মি. যেতে নৌকাটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
 স্থির পানিতে,
একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে বেগ, a = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ( ১০ + ৫ ) কি.মি./ঘণ্টা 
= ১৫ কি.মি./ঘণ্টা

তাহলে,
 স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির ১৫ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে ১ ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির ১ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে (১/১৫) ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির  ৬০ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে = (১/১৫) × ৬০ ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৪ কি.মি.। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৩ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। একই দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে,
নৌকাটির গতিবেগ = দূরত্ব/সময় = (১৮/৩) কি.মি./ঘণ্টা = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের বেগ = স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্থির পানিতে নৌকার বেগ
= (৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

ফিরে আসার সময়,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ
= (৪ - ২)কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, স্রোতের প্রতিকূলে,
২ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ১ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১/২ ঘণ্টা
∴ ১৮ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = (১ × ১৮)/২ ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + (২৪০ - ক)/৪০ = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ সে ৮০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১৬০ কি.মি গিয়েছিল।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ কি.মি ও ৩ কি.মি । স্রোতের অনুকূলে ৪৫ কি.মি পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১২ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১২ + ৩) = ১৫ কি.মি/ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১২ - ৩) = ৯ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ ৪৫ কি.মি পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৫/১৫ = ৩ ঘণ্টা 

এবং 
৪৫ কি.মি পথ পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৪৫/৯ = ৫ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: রায়হান গড়ে প্রতি ঘন্টায় ৪ কি.মি. গতিতে একটি পথ অতিক্রম করতে ক ঘন্টা সময় নেয়। ফারুক একই পথ ক/২ ঘন্টায় শেষ করে। তাহলে ফারুকের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
এখানে,
রায়হান গড়ে ঘণ্টা প্রতি ৪ কি.মি. গতিতে একটি ট্রিপ শেষ করতে ক ঘণ্টা সময় নেয়।
∴ রায়হানের দূরত্ব = ৪ × ক = ৪ক কি.মি.

ফারুক একই পথ অতিক্রম করতে সময় নেয় = ক/২ ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = দূরত্ব/সময়
= ৪ক ÷ (ক/২) = ৪ক × ২/ক = ৮ কি.মি./ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = ৮ কি.মি./ঘন্টা

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে খুলনার দূরত্ব প্রায় ২২০ কিলোমিটার। একটি বাস ৪ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে খুলনা চলে আসলে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ২২০ কিলোমিটার
সময় = ৪ ঘণ্টা

বাসটির গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব)/(মোট সময়)
= ২২০/৪ 
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪৫ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৫০ সেকেন্ডে পার হলো। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে, 
৪৫ কিলোমিটার = (৪৫ × ১০০০) মিটার  
= ৪৫০০০ মিটার

আমনা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ মিনিট

৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ৪৫০০০ মিটার
∴ ৫০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৪৫০০০ × ৫০)/৩৬০০ = ৬২৫ মিটার

 আমরা জানি,
সেতু অতিক্রম করার জন্য ট্রেনকে তার নিজের দৈর্ঘ্য ও সেতুর দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য = (৬২৫ - ২৫০) মিটার
= ৩৭৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২৪ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে?

​সমাধান:
আমরা জানি, 
​ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা 
​অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট = ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।
​
এখন, 
​২৪ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/২৪ দিনে
= ৩০ দিনে
​
​অতএব, ঘড়িটি ৩০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

প্রশ্ন: ৪০ মিনিট আগে ঘড়িতে সময় ছিলো ২ : ৩৫ মিনিট। ৪ টা বাজতে এখন আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

সমাধান:
৪০ মিনিট আগে সময় ছিলো = ২ : ৩৫ মিনিট
​বর্তমান সময় = ২ : ৩৫ মিনিট + ০ : ৪০ মিনিট = ৩ : ১৫ মিনিট
​
∴ ​৪ টা বাজতে বাকি আছে = (৪ : ০০ - ৩ : ১৫) মিনিট = ৪৫ মিনিট

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার এক-তৃতীয়াংশ সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ২০ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ক ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩ক ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক = ২০
⇒ ৪ক = ২০
⇒ ক = ২০/৪ 
∴ ক = ৫

∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে = ৫ × ৩ = ১৫ ঘণ্টা 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে ১৫ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৫ মাইল বেগে কোন স্থানে গেল, এবং ঘন্টায় ৩ মাইল বেগে ফিরে আসল, যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যাওয়ার বেগ = ৫ মাইল/ঘণ্টা
ফেরার বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = ২xy/(x + y)
= (২ × ৫ × ৩)/(৫ + ৩)
= ৩০/৮
= ১৫/৪ 
= ৩.৭৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ যাতায়াতে তার গড় গতি ৩.৭৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা

প্রশ্ন: রফিক একটি রাস্তার ১/৩ অংশ ঘণ্টায় ১২ কি.মি. বেগে এবং বাকি ২/৩ অংশ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. বেগে অতিক্রম করে। পুরো পথ অতিক্রম করতে তার ৭ ঘন্টা সময় লাগে। রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট দূরত্ব = ক কি.মি.

এখানে,
প্রথম ১/৩ পথ = (ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১২ কি.মি./ঘন্টা

বাকি ২/৩ পথ = (২ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১৮ কি.মি./ঘন্টা

∴ প্রথম অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (ক/৩)/১২
= ক/৩৬ ঘন্টা

∴ দ্বিতীয় অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (২ক/৩)/১৮
= ক/২৭ ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩৬) + (ক/২৭) = ৭
⇒ (৩ক + ৪ক)/১০৮ = ৭
⇒ ৭ক = ৭ × ১০৮
⇒ ক = (৭ × ১০৮)/৭ 
∴ ক = ১০৮

∴ রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য = ১০৮ কি.মি.।

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতিত হয়?

সমাধান: 
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ঘণ্টায় ১ বার সমাপতিত হয়।
তবে প্রতি ১২ ঘণ্টায় ১১ বার সমাপতিত হয়, কারণ ১১ টা থেকে ১২ টা এর মধ্যে কাঁটা দুইটি দুইবারের পরিবর্তে ১ বার সমাপতিত হয়।
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতিত হয় = (১১ × ২) বার
= ২২ বার।

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ৯ কি.মি. ও ৩ কি.মি.। নদীপথে ৩৬ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ৯ + ৩ = ১২ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ৯ - ৩ = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

 ∴ মোট সময় = (৩৬/১২) + (৩৬/৬) ঘণ্টা
= (৩ + ৬) ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা 

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩৬ কি.মি = (৩৬ × ১০০০) মিটার 
= ৩৬০০০ মিটার 

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

এখন, 
ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৫০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৫০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
= ৫ সেকেন্ডে 

∴ খুঁটিকে ট্রেনটি ৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: দুইটি নৌকা একই গতিবেগে একই দিকে স্রোতের অনুকূলে যাচ্ছে। শুরুতে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার। ১ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যকার দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
দুটি নৌকার গতিবেগ একই এবং দিকও একই।
∴ একটি নৌকার তুলনায় অন্য নৌকার আপেক্ষিক গতিবেগ = ০

অর্থাৎ, যত সময়ই যাক না কেন, দুটি নৌকার মধ্যবর্তী দূরত্ব কখনোই পরিবর্তন হবে না।
শুরুতে দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার
∴ ১ ঘণ্টা পরেও দূরত্ব = ৭০ মিটার