বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন, যা তার বর্গের থেকে ৭২ কম।

 সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² - x = 72
⇒ x² - x - 72 = 0
⇒ x² - 9x + 8x - 72 = 0 
⇒ x(x - 9) + 8(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 8) = 0
হয়, 
x - 9 = 0
∴ x = 9   ; [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা,
x + 8 = 0
∴ x = - 8   ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সংখ্যাটি হলো 9।

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৭২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের একতৃতীয়াংশ = ৭২/৩ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের একচতুর্থাংশ = ২৪/৪ = ৬

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৭২) + ৬
= ১৭২৮ + ৬
= ১৭৩৪

সুতরাং, ভাজ্য = ১৭৩৪।

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১)(২ + ১)(১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

প্রশ্ন: ৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩ ।

অর্থাৎ,  ৭৫ থেকে ১২০ এর মধ্যে মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট, ৭৭৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৯৯৯ - ক = ক - ৭৭৭
⇒ ৯৯৯ + ৭৭৭ = ক + ক
⇒ ১৭৭৬ = ২ক
⇒ ক = ১৭৭৬/২
∴ ক = ৮৮৮

অতএব, সংখ্যাটি = ৮৮৮

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২৪/৩৫। এদের একটি ৮/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২৪/৩৫
একটি ভগ্নাংশ = ৮/৫

∴ অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
= (২৪/৩৫) ÷ (৮/৫)
= (২৪/৩৫) × (৫/৮)
= ৩/৭

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।

তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।
∴ সংখ্যাটি ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩০ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৫০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক 

প্রশ্নমতে, 
৩০ - (ক/৩) = ৪(৭৫ - ক) - ৫০ 
⇒ (৯০ - ক)/৩ = ৩০০ - ৪ক - ৫০ 
⇒ ৯০ - ক = ৩(২৫০ - ৪ক)
⇒ ৯০ - ক = ৭৫০ - ১২ক 
⇒ ১১ক = ৬৬০ 
⇒ ক = ৬৬০/১১ 
∴ ক = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬০  
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৬০ এবং ১৫

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২/৯। একটি ভগ্নাংশ ৪/৩ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২/৯
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = (২/৯) ÷ (৪/৩)
= (২/৯) × (৩/৪)
= ৬/৩৬
= ১/৬

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২০ দ্বারা ভাগ করলে সর্বদা ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ৮, ১২, ১৬ এবং ২০ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ বেশি

৮, ১২, ১৬ এবং ২০ এর ল.সা.গু = ২৪০

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২৪০ + ৫ = ২৪৫

প্রশ্ন: x, y ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যখন x কে y দ্বারা ভাগ করা হয় তখন 5 অবশিষ্ট থাকে । যদি x/y = 5.20 হয়, x এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি, 
x = ny + 5 .......... (1) [যখন x কে y দ্বারা ভাগ করা হয়, 5 অবশিষ্ট থাকে]
এবং
x/y = 5.2
⇒ x =  5.2y
∴ x = 5y + 0.2y .......(2)
এখন, (1) এবং (2) তুলনা করে পাই, 
n = 5 এবং
 ⇒ 0.2y = 5
⇒ y = 5/0.2 = 25
∴ y = 25

(1) নং হতে পাই, 
x = ny + 5 = 5 × 25 + 5 = 125 + 5 = 130
∴ x = 130

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১১ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ১১ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৪ × ৩^২ = ১৬ × ৯ = ১৪৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ১৪৪ + ১১ 
= ১৫৫ 

প্রশ্ন: যদি x একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
ধরি,
x = 4 (জোড় সংখ্যা)
ক) x³ = 4³ = 64 ; যা জোড় সংখ্যা

খ) 5(x + 2) = 5 × (4 + 2) = 40 ; যা জোড় সংখ্যা

গ) (2x + 2) = 2 × 4 + 2 = 10 ; যা জোড় সংখ্যা

ঘ) (7x + 3) = 7 × 4 + 3 = 31  ইহা জোড় সংখ্যা নয়।

সঠিক উত্তর ঘ) (7x + 3)

প্রশ্ন: ৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
প্রথমে ৫৬০৫-এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় করি।
৭৪^২ = ৫৪৭৬
৭৫^২ = ৫৬২৫
∴ ৫৬২৫ - ৫৬০৫ = ২০ 
অর্থাৎ, যদি আমরা ২০ যোগ করি, তাহলে ৫৬০৫ + ২০ = ৫৬২৫ হবে।
এবং ৫৬২৫ = ৭৫^২, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে 4 যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ৪ = (ক/২)
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ৪
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ৪
⇒ ক/৬ = ৪
⇒ ক = ২৪

অতএব, সংখ্যাটি = ২৪।

প্রশ্ন: ০.০২৮৯ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
√(০.০২৮৯)
= √{(০.০২৮৯ × ১০০০০)/১০০০০}
= √(২৮৯/১০০০০)
= ১৭/১০০
= ০.১৭ 

প্রশ্ন: সরল করুন:  {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × {৩ ÷ ৩}
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১ 
= ১

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১৪ = ২ × ৭
২৫ = ৫ × ৫ 

১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪, ২৫ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৮ এবং ল.সা.গু ৫০৪০। একটি সংখ্যা ৬৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৬৩০ × অপর সংখ্যা = ৫০৪০ × ১৮
⇒ অপর সংখ্যা = (৫০৪০ × ১৮)/৬৩০
∴ অপর সংখ্যা = ১৪৪

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৪৪।

প্রশ্ন: ২৮৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
২৮৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ২ × (৩ × ৩)

এখানে, ২ জোড়া বিহীন
∴ ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ মাটির নিচে, ১/৫ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৪ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = X মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (২/৫ + ১/৫) × X অংশ
= (৩X/৬) অংশ 

আবার,
পানির উপরে আছে = {X - (৩X/৫)} = (২X/৫) অংশ 

প্রশ্নমতে,
২X/৫ = ৪
বা, ২X = ২০
বা, X = ২০/২
∴ x = ১০

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার।

প্রশ্ন: যদি x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি, x = 1 এবং y = 3
তাহলে, 
ক) x + y + xy
= 1 + 3 + 1 × 3
= 4 + 3
= 7 ; বিজোড় সংখ্যা

খ) x + y 
= 1 + 3 
= 4 ; জোড় সংখ্যা

গ) x + y + 1 
= 1 + 3 + 1
= 5 ; বিজোড় সংখ্যা

ঘ) x² + y² + 1 
= (1)² + (3)² + 1
= 1 + 9 + 1
= 11 ; বিজোড় সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) x + y

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) হলো যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √৪৯ = ৭; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।
খ) √(১৬/২৫) = ৪/৫; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।
গ) ০.৬২৫ = ৬২৫/১০০০ = ৫/৮; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১৮ = √(৯ × ২) = ৩√২; যেহেতু ২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১৮ একটি অমূলদ সংখ্যা। 

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) √১৮

প্রশ্ন: ৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ৭টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট = (৬ × ২) + (৫ × ৩)
= ১২ + ১৫
= ২৭ টাকা

৭ টি ৫ টাকার নোট = (৭ × ৫) = ৩৫ টাকা
অতএব, ২৭/৩৫ = ২৭/৩৫ অংশ

প্রশ্ন: ৩২৪ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩২৪ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
= ২^২ × ৩^৪ 

এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৪।
এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৪ + ১)
= ৩ × ৫
= ১৫ 

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১৫।

প্রশ্ন: ২/৩, ৩/৫ ও ৪/৭ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে,
লব ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ১২ 
এবং হর ৩, ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু. = ১

∴ ল.সা.গু. = ১২/১ = ১২ 

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 8 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে 77 বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = P

শর্তমতে,
(P/2) + 8 = 3P - 77
⇒ 3P - (P/2) = 77 + 8
⇒ (6P - P)/2 = 85
⇒ 5P/2 = 85
⇒ 5P = 85 × 2
⇒ 5P = 170
⇒ P = 170/5
∴ P = 34

∴ সংখ্যাটি 34 ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যা?

সমাধান:
সঠিক উত্তর - π
কারণ, π একটি অমূলদ সংখ্যা এবং সকল অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। 

প্রশ্ন: (০.০১)^২ এর মান কোন ভগ্নাংশটির সমান?

সমাধান:
(০.০১)^২
= (১/১০০)^২
= (১/১০০) × (১/১০০)
= ১/১০০০০

সমাধান:
মনে করি, সুলেমানের মোট সম্পত্তির পরিমান = ১ অংশ

জমি ক্রয় করেন = ৩/৭ অংশ টাকা দিয়ে
এবং বাড়ি ক্রয় করেন = (৩/৭) × (১/৩) = ১/৭ অংশ টাকা দিয়ে।

∴ জমি ও বাড়ি ক্রয় করার পর অবশিষ্ট রইল = ১ - (৩/৭) - (১/৭) অংশ
= {(৭ - ৩ - ১)/৭}
= (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭ অংশ

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

সমাধান:
√০.৩ = ০.৫৪
 ০.৩ = ০.৩
১/৩ = ০.৩৩
১/৫ = ০.২

সুতরাং, √০.৩ সংখ্যাটি বৃহত্তম। 

প্রশ্ন: কোনটি বাস্তব সংখ্যা নয়?  

সমাধান: 
খ) √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়। 
কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা।
অর্থাৎ,
√- ১৬ 
= √(১৬ × i^২)
= ৪i  ; যা একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা। 

প্রশ্ন: আলীর এর কাছে ৫২০ টাকা আছে। এর সাথে কত টাকা যোগ করলে সে সমস্ত টাকাকে ৪, ৫ অথবা ৬ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিতে পারবে?

সমাধান:
৪, ৫, ৬ এর লসাগু = ৬০

৫২০ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৪০ থাকে।

∴ যোগ করতে হবে = ৬০ - ৪০ = ২০  

প্রশ্ন:
 


সমাধান:

সঠিক উত্তর: ক 

প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭৫ × ২০) = ১৫০০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৮৫ × ৩০) = ২৫৫০
মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১৫০০ + ২৫৫০ = ৪০৫০

সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৪০৫০/৫০
= ৮১

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৮১।

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান: 
১১৫ এর গুণিতক ৫, ২৩
এবং ১৩৫ এর গুণিতক ৫, ২৭

∴ ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

অতএব, ৫ জন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।