বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল কী হব? 

সমাধান:
মনে করি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + 1, x + 2, x + 3
ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
= x(x + 3){(x + 1)(x + 2)} + 1
= (x² + 3x)(x² + 3x + 2) + 1

ধরি, 
x² + 3x = a

প্রদত্ত রাশি, 
a(a + 2) + 1
= a² + 2a + 1
= (a + 1)²
= (x² + 3x + 1)² ; [a এর মান বসিয়ে]
যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে প্রত্যেকে ২০ টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৪০ টাকা হয়। ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সদস্য সংখ্যা = ক জন

প্রত্যেকে ২০ টাকা করে দিলে মোট চাঁদা = ২০ × ক = ২০ক টাকা

প্রশ্নমতে, ২০ক = ৯৪০
⇒ ক = ৯৪০/২০
= ৪৭

∴ সদস্য সংখ্যা = ৪৭ জন

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

শর্তমতে, 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১ 
⇒ (ক + ১২)/২ = ২ক - ২১ 
⇒ ক + ১২ = ২ × (২ক - ২১) 
⇒ ক + ১২ = ৪ক - ৪২ 
⇒ ৪ক - ক = ১২ + ৪২ 
⇒ ৩ক = ৫৪ 
⇒ ক = ৫৪/৩ 
∴ ক = ১৮ 

∴ সংখ্যাটি = ১৮

প্রশ্ন: ৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতকের গড় কত?

সমাধান:
৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫
∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ১৫ + ২৫ + ৩৫ + ৪৫ 
= ১২৫

∴ নির্ণেয় গড় = ১২৫/৫
= ২৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৯৬০ হলে তাদের  ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ক 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৫ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৫ক × ক = ৯৬০
⇒  ১৫ক^২ = ৯৬০ 
⇒  ক^২ = ৬৪  
⇒ ক^২ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ 

∴ ল.সা.গু = ১৫ × ৮ = ১২০ 

প্রশ্ন: ৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৪২০
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৮

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৮৪২০ + ২০৪৮)/২
= ১০৪৬৮/২
= ৫২৩৪

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৩/৪ অংশ থেকে ৫ বিয়োগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে,
(৩x/৪) - ৫ = x/২
বা, (৩x/৪) - (x/২) = ৫
বা, (৩x - ২x)/৪ = ৫
বা, x/৪ = ৫ 
বা, x = ৫ × ৪ 
∴ x = ২০

∴ সংখ্যাটি = ২০ ।

প্রশ্ন: ৪৫ থেকে ৭৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
 
সমাধান: 
৪৫ থেকে ৭৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩

সুতরাং, ৪৫  থেকে ৭৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৭ টি। 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ৮টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৪টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪টির গড় ২১। সম্মিলিতভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪০ × ৮) = ৩২০
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ২১) = ৮৪

∴ ১২টি সংখ্যার গড় = (৩২০ + ৮৪) / ১২ = ৩৩.৬৭ (প্রায়)

উত্তর- ৩৩.৬৭ (প্রায়)

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-চতুর্থাংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ। ভাগফল ৯৬ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের এক চতুর্থাংশ = ৯৬/৪ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = ২৪/৩ = ৮

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৯৬) + ৮
= ২৩০৪ + ৮ 
= ২৩১২

প্রশ্ন: একটি ভ্রমণকারী দলের ৫ জনের গড় বয়স ২৫ বছর। ঐ দলে নতুন ১ জন যোগ দিলে দলের সদস্যদের গড় বয়স হয় ২৭ বছর। ষষ্ঠ জনের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫ জনের গড় বয়স = ২৫ বছর
∴ ৫ জনের মোট বয়স = (৫ × ২৫) বছর = ১২৫ বছর

মনে করি, ষষ্ঠ জনের বয়স = ক বছর
ষষ্ঠ জন যোগ দিলে ৬ জনের মোট বয়স = (১২৫ + ক) বছর

প্রশ্নমতে,
(১২৫ + ক)/৬ = ২৭
বা, ১২৫ + ক = ১৬২
বা, ক = ১৬২ - ১২৫
বা, ক = ৩৭

∴ ষষ্ঠ জনের বয়স = ৩৭ বছর

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ১২০৪৫৮: শেষ অঙ্ক ৮, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ০ + ৪ + ৫ + ৮ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ১৩৫৭৯২: শেষ অঙ্ক ২, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ২ = ২৭, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ১৪৮৬১০: শেষ অঙ্ক ০, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৪ + ৮ + ৬ + ১ + ০ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ১৬২৮৪৪: শেষ অঙ্ক ৪, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৬ + ২ + ৮ + ৪ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ অপশন (খ) ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩.৫?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক/৩ - ক/৪ = ৩.৫
বা, (৪ক - ৩ক)/১২ = ৩.৫
বা, ক/১২ = ৩.৫
বা, ক = ৩.৫ × ১২
∴ ক = ৪২

প্রশ্ন: একটি ৪৫ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-সপ্তমাংশ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = ক এর (২/৭) ফুট
 = ২ক/৭ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৭) = ৪৫
⇒ (৭ক + ২ক)/৭ = ৪৫
⇒ ৯ক = ৪৫ × ৭
⇒ ক = (৪৫ × ৭)/৯
⇒ ক = ৩৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২/৭) × ৩৫ = ১০ ফুট

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে, 
১৫x = ১২০ 
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮ 

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন, 
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার, 
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
 = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

প্রশ্ন: ৩২৪১৬ টি গাছের চারাকে বর্গাকারে রোপণ করতে গিয়ে দেখা যায় ১৬ চারা অবশিষ্ট আছে। প্রতি সারিতে কতটি করে গাছ রোপণ করা হয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু ১৬ টি চারা অবশিষ্ট রয়েছে, 
সুতরাং রোপণ করা চারার সংখ্যা = ৩২৪১৬ - ১৬ = ৩২৪০০ টি 

আবার,
চারাগুলো বর্গাকারে রোপণ করায় সারির সমান সংখ্যক চারা রোপণ করা হয়েছে।
ধরি,
প্রতি সারিতে রোপণ করা চারার সংখ্যা = ক টি 

∴ ক^২ = ৩২৪০০
⇒ ক = ১৮০ টি 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৪ অংশ স্ত্রীকে দিলেন এবং অবশিষ্ট সম্পত্তি তার ২ মেয়ের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। যদি স্ত্রী ও ১ মেয়ের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট মূল্য ৩,৭৫,০০০ টাকা হয়, তবে মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সম্পত্তি = ক টাকা
স্ত্রী পান = ক/৪ টাকা
∴ অবশিষ্ট = (ক) - (ক/৪) = ৩ক/৪ টাকা
∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = (৩ক/৪) ÷ ২ = ৩ক/৮ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + (৩ক/৮) = ৩,৭৫,০০০
⇒ (২ক + ৩ক)/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক = ৩,৭৫,০০০ × ৮
⇒ ক = (৩,৭৫,০০০ × ৮)/৫
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ মোট সম্পত্তির পরিমাণ ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: রোমান সংখ্যায় MMDCCL = ?

সমাধান:
রোমান সংখ্যায়, 
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50

∴ সমষ্টি = (2 × 1000) + 500 + (2 × 100) + 50
= 2000 + 500 + 200 + 50
= 2750

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪ → একটি সসীম দশমিক, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √২৮৯ = ১৭, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৩/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; এটি পূর্ণসংখ্যা নয় এবং p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

∴ √১২ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬৬/৩) + ১ = ২২ + ১
= ২৩ বার

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে যোগফল ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

সমাধান: 
আমরা জানি, 
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ 
৫ ও ৭ এর লসাগু = ৩৫

এখন, 
১০০০ কে ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৮ এবং ভাগশেষ থাকে ২০

৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০ এর সাথে ৩৫ - ২০ = ১৫ যোগ করলে তা ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে।

যেমন, ১০১৫ ÷ ৫ = ২০৩ বা ১০১৫ ÷ ৭ = ১৪৫ 

প্রশ্ন: একটি তেলের ট্যাংকের ১/৬ অংশ পূর্ণ আছে। ট্যাংকের ৪/৬ অংশ পূর্ণ করতে আরও ৩০ লিটার তেল প্রয়োজন। ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
৩০ লিটার তেল দ্বারা পূর্ণ হয় ট্যাংকের (৪/৬ - ১/৬) অংশ
= ৩/৬ অংশ

ট্যাংকের ৩/৬ অংশের ধারণক্ষমতা = ৩০ লিটার
∴ সম্পূর্ণ ১ অংশের ধারণক্ষমতা = (৩০ × ৬)/৩ লিটার
= ৬০ লিটার

অতএব, ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা = ৬০ লিটার।

প্রশ্ন: (৩/৪) এর (২/৫) ÷ (৬/৫) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল ১ হবে?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি = ক

এখন,
৩/৪ এর ২/৫ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ × ৫/৬
= ১/৪

প্রশ্নমতে,
১/৪ + ক = ১
বা, (১ + ৪ক)/৪ = ১
বা, ১ + ৪ক = ৪
বা, ৪ক = ৩
∴ ক = ৩/৪

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/৩ অংশ খাবারে এবং ১/৬ অংশ যাতায়াতে ব্যয় করার পর তার কাছে আরও ৩০০০ টাকা অবশিষ্ট আছে। তার মোট আয় কত?

সমাধান: 
ধরি মোট আয় = ক টাকা
খাবারে খরচ = ক/৩
এবং যাতায়াতে খরচ = ক/৬

প্রশ্নমতে, 
ক - (ক/৩ + ক/৬) = ৩০০০ 
⇒ (৬ক - ২ক - ক)/৬ = ৩০০০ 
⇒ ৩ক/৬ = ৩০০০
⇒ ক/২ = ৩০০০
⇒ ক = ৩০০০ × ২ 
∴ ক = ৬০০০ টাকা 

সুতরাং, তার মোট আয় ৬০০০ টাকা

প্রশ্ন: √10 এবং 7 এর মধ্যে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান: 
পূর্ণসংখ্যা: পূর্ণসংখ্যা হলো এমন সব সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নেই। এতে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম এবং এটিকে সাধারণত 'Z' অক্ষর দিয়ে বোঝানো হয়। 
যেমন, ....- 2, - 1, 0 , 1, 2, ......

আমরা জানি, 
√10 = 3.162

সুতরাং, √10 এবং 7 এর মাঝে থাকা পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো, 
4, 5, 6

অর্থাৎ মোট 3টি পূর্ণসংখ্যা আছে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮.৫ শতাংশ সমান ৬৮?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮.৫% = ৬৮
⇒ ক × (৮.৫/১০০) = ৬৮
⇒ ক × (৮৫/১০০০) = ৬৮
⇒ ক = (৬৮ × ১০০০)/৮৫
∴ ক = ৮০০

প্রশ্ন: ৭/৯, ২/৩ এবং ১৪/১৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু) 

এখন, লবগুলো হলো ২, ৭, ১৪ এর গ.সা.গু = ১ 
হরগুলো ৩, ৯, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫ 

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু)
= ১/৪৫ 

প্রশ্ন: জাকির ও রুবেলের বেতনের অনুপাত = ৩ : ৪। জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি এবং রুবেলের বেতন ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন অনুপাত কত হবে? 

সমাধান:
জাকির : রুবেল = ৩ : ৪
জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি, রুবেলের ১০%
ধরি,
বেতন = ৩x এবং ৪x
তাহলে বৃদ্ধি,
জাকির = 3x × 1.25 = 3.75
রুবেল = 4x × 1.10 = 4.4

নতুন অনুপাত = 3.75 : 4.4 = 375 : 440 = 75 : 88

∴ নতুন অনুপাত = ৭৫ : ৮৮

প্রশ্ন: ৩২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৩২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
= ২^৬ × ৫^১

এখানে, ২-এর ঘাত হলো ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা। কিন্তু ৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।
৩২০ × ৫ = ১৬০০ = ৪০^২

সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

প্রশ্ন: আটটি সংখ্যার গড় ২০। যদি তাদের মধ্যে থেকে একটি সংখ্যা বাদ দেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ১৮ হয়। যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি কত?

সমাধান:
আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৮ × ২০ = ১৬০ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দেওয়ার পর সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৭ × ১৮ = ১২৬

∴ বাদ দেওয়া সংখ্যাটি = (আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি) - (সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি)
= ১৬০ - ১২৬ = ৩৪

∴ যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি হলো ৩৪।

প্রশ্ন: ২ হতে ৪০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি গুণনীয়ক ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই।

এখন, 
২ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ১২টি।

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে, তার গড় রান ৮৭ হবে?

সমাধান: 
তিনটি খেলায় মোট রান = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
চারটি খেলায় মোট রান = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮

∴ চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় ৮৯ রান করতে হবে। 

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০,০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯,৯৯৯
∴ পার্থক্য = ১০০,০০০ - ৯৯,৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ৪/৯, ২/৫ ও ৪/৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ৪, ২ ও ৪ এর গ.সা.গু. = ২
এবং হর ৯, ৫ ও ৯ এর ল.সা.গু. = ৪৫

∴ গ.সা.গু. = ২/৪৫

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৭ এবং ল.সা.গু ৭১৪ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?  

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৭ক এবং ১৭খ  ; [কারণ গ.সা.গু = ১৭]

তাহলে,
১৭কখ = ৭১৪ 
⇒ কখ = ৭১৪/১৭ 
⇒ কখ = ৪২ 

এখন ৪২-এর সহমৌলিক গুণনীয়ক জোড়াগুলো, 
(১, ৪২), (২, ২১), (৩, ১৪), (৬, ৭)

∴ তিন অঙ্কের সংখ্যা গুলো হলো,
১৭ × ৬ = ১০২ এবং ১৭ × ৭ = ১১৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ১০২ + ১১৯ = ২২১