বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: যদি একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১৫ হয় এবং লব থেকে ৩ বিয়োগ করলে তা হরের অর্ধেক হয়, তবে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴ হর = (১৫ - ক)

প্রশ্নমতে,
ক - ৩ = (১৫ - ক)/২
⇒ ২ × (ক - ৩) = ১৫ - ক
⇒ ২ক - ৬ = ১৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৫ + ৬
⇒ ৩ক = ২১
⇒ ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

লব = ৭ হলে,
হর = ১৫ - ৭ = ৮

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৮

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৯ দিয়ে বিভাজ্য ৩ অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩, তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে মধ্যম অঙ্কটি কত?

সমাধান:
অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অপশন টেস্ট করলে পাই,
৩ + ৬ + ৮ = ১৭ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৭ + ৮ = ১৮ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ + ৮ + ৮ = ১৯ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৯ + ৮ = ২০ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: ৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৭৪০
৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৪০৭৮

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৮৭৪০ + ৪০৭৮)/২
= ১২৮১৮/২
= ৬৪০৯

প্রশ্ন: ৪/৯​, ১০/২১​ এবং ২০/৬৩​ এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = লব গুলোর গ.সা.গু./হর গুলোর ল.সা.গু.​

এখন, 
ভগ্নাংশের লব = ৪, ১০, ২০
∴ গ.সা.গু. = ২

এবং 
ভগ্নাংশের হর = ৯, ২১, ৬৩ 
∴ ল.সা.গু. = ৬৩

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = লব গুলোর গ.সা.গু./হর গুলোর ল.সা.গু.
= ২/৬৩ 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার দুই-পঞ্চমাংশ এবং এক-দশমাংশের পার্থক্য ৪.৫ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) - (ক/১০) = ৪.৫
⇒ (৪ক - ক)/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক = ৪.৫ × ১০
⇒ ৩ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/৩
⇒ ক = ১৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ১৫

প্রশ্ন: a ও b দুটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?

সমাধান:
a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা।

ধরি,
দুটি বিজোড় সংখ্যা, a = 1 , b = 3

অপশন:
ক) a + 2b = 1 + (2 × 3) = 7 ; বিজোড় সংখ্যা
খ) 3a + b = (3 × 1) + 3 = 6 ; জোড় সংখ্যা
গ) ab = 1 × 3 = 3 ; বিজোড় সংখ্যা
ঘ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 ; বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: ৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ এর গুণিতক সংখ্যা কত?

সমাধান:
৪৮ এর সমান বা বড় ৪ এর গুণিতক = ৪৮
১০০ এর সমান বা ছোট ৪ এর গুণিতক = ১০০

এখন, 
৪ এর গুণিতকগুলো: ৪, ৮, ১২,.........

n তম গুণিতক = ৪n

প্রথম গুণিতক = ৪৮
⇒ ৪n_১ = ৪৮
⇒ n_১ = ১২ 
এবং 
শেষ গুণিতক = ১০০ 
⇒ ৪n_২ = ১০০
⇒ n_২ = ২৫ 

∴ মোট গুণিতক = n_২ - n_১ + ১ = ২৫ - ১২ + ১ = ১৪ টি  

নোট: ৪ এর গুণিতকগুলো,
৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২, ৭৬, ৮০, ৮৪, ৮৮, ৯২, ৯৬, ১০০

প্রশ্ন: একটি দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে,
৯৭ সংখ্যাটিতে, ৯ + ৭ = ১৬ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

৩৭ সংখ্যাটিতে, ৩ + ৭ = ১০ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

২৯ সংখ্যাটিতে, ২ + ৯ = ১১  , যা মৌলিক সংখ্যা।

৫৩ সংখ্যাটিতে, ৫ + ৩ = ৮ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

 অর্থাৎ ২৯ মৌলিক সংখ্যাটির  অঙ্কদ্বয়ের  যোগফল হলো ১১ যা নিজেও একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬, ১৫টি সংখ্যার গড় ৪০ এবং ৫টি সংখ্যার গড় ২০। মোট ৩০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১০টি সংখ্যার গড় ৫৬
১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ১০ × ৫৬ = ৫৬০

১৫টি সংখ্যার গড় ৪০
১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৪০ = ৬০০

৫টি সংখ্যার গড় ২০
৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫ × ২০ = ১০০

∴ ৩০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫৬০ + ৬০০ + ১০০) = ১২৬০
∴ ৩০টি সংখ্যার গড় = ১২৬০/৩০ = ৪২

প্রশ্ন: √১৪৪ + √১৬৯ - √২৫৬ = ?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
√১৪৪ + √১৬৯ - √২৫৬
= ১২ + ১৩ - ১৬
= ২৫ - ১৬ 
= ৯  

প্রশ্ন: ১.১৬ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কত?

সমাধান:
১.১৬ 
= ১১৬/১০০ 
= ২৯/২৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ১২ ও ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = ১২, ল.সা.গু = ১৮০ এবং একটি সংখ্যা = ৬০

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু  = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
⇒ ১২ × ১৮০ = ৬০ × ২য় সংখ্যা
⇒ ২য় সংখ্যা = (১২ × ১৮০)/৬০ = ৩৬  
∴ ২য় সংখ্যা = ৩৬ 

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ৩৬

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৪ অংশের সাথে ৭ যোগ করলে, ঐ সংখ্যাটির ৩/৪ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(x/৪) + ৭ = ৩x/৪
⇒ (x + ২৮)/৪ = ৩x/৪
⇒ (x + ২৮) = (৩x/৪) × ৪
⇒ x + ২৮ = ৩x
⇒ ২x = ২৮
∴ x = ১৪

∴ সংখ্যাটি ১৪

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান: 
৭/১২ = ০.৫৮৩
৫/৯ = ০.৫৫৬
৪/৭ = ০.৫৭১
৩/৫ = ০.৬০০

সবচেয়ে ছোট মান = ০.৫৫৬ বা ৫/৯

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৫/৯

প্রশ্ন: ১৪৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৪৫২ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,
১৪৫২ = ২ × ২ × ৩ × ১১ × ১১
= ২^২ × ৩ × ১১^২

এখানে, ৩ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)। সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৪৫২ কে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।
 ১৪৫২ × ৩ = ৪৩৫৬ = ৬৬^২

∴ ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৩ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৩ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০ 

যেহেতু প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ বেশি।
∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৩) জন = ১৮৩ জন।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৭/১২ = ০.৫৮৩৩
খ) ৪/৭ = ০.৫৭১৪
গ) ৫/৯ = ০.৫৫৫৬
ঘ) ৩/৫ = ০.৬

সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৫।

প্রশ্ন: নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে ৫, ৬ এবং ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ এবং ৬ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৫ - ৪ = ১ 
৬ - ৫ = ১ 
৭ - ৬ = ১ 
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু = ২১০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ২১০ - ১ = ২০৯ 

প্রশ্ন: ২/৩, ১/২, ৫/৯, এবং ১/১৮ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = (২/৩) +( ১/২) + (৫/৯) + (১/১৮)
= (১২ + ৯ + ১০ + ১)/১৮  ;  [৩, ২, ৯ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮]
= ৩২/১৮
= ১৬/৯

এখানে মোট ৪টি ভগ্নাংশ আছে।
∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (১৬/৯)/৪
= (১৬/৯) × (১/৪)
= ৪/৯

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
৯-এর নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও বিভাজ্য হবে। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ৩৪৫৬
৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ১৮ ; ৯ দিয়ে বিভাজ্য (৩৪৫৬ ÷ ৯ = ৩৮৪, অবশিষ্ট ০)

খ) ৫৬৭৩
৫ + ৬ + ৭ + ৩ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

গ) ৮৯০৪
৮ + ৯ + ০ + ৪ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

ঘ) ৭৯০১
৭ + ৯ + ০ + ১ = ১৭ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৮)

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ক) ৩৪৫৬

প্রশ্ন: ১৯৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৯৮০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,

১৯৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৩^২ × ৫ × ১১

জোড়া গঠন করে পাই = (২ × ২) × (৩ × ৩) × ৫ × ১১

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ৫ × ১১ = ৫৫

সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৯৮০ কে ৫৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৫৫ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

সমাধান:
১০ ঘন্টা কাজ করলে প্রথম ৮ ঘন্টার জন্য ১০ টাকা হারে = ৮ × ১০ = ৮০ এবং
পরের ২ ঘন্টা ১৫ টাকা হারে মোট = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা
∴ মোট আয় = ৮০ + ৩০ = ১১০ টাকা

∴ ১০ ঘন্টায় গড় আয় = ১১০ ÷ ১০ = ১১ টাকা।

প্রশ্ন: p ও q উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা?

সমাধান:
মনে করি, p = 1 এবং q = 3 (উভয়েই বিজোড় সংখ্যা)।

অপশন ক) p + q = 1 + 3 = 4 ⇒ জোড়

অপশন খ) pq + 1 = (1 × 3) + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ জোড়

অপশন গ) p² + q² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 ⇒ জোড়

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) উপরের সবগুলো 

প্রশ্ন: তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি 40। এই মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল কত? 

সমাধান:
যেহেতু 2 একমাত্র জোড়া মৌলিক সংখ্যা, যদি 2 অন্তর্ভুক্ত করি, বাকি দুটি সংখ্যার যোগ হবে 40 - 2 = 38।
38 কে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এর যোগে লেখা যায়,
7 + 31 (অন্য কোনো জোড়া সম্ভব নয় - যেমন: ৫ + ৩৩ = ৩৮, কিন্তু ৩৩ মৌলিক নয়)
সুতরাং তিনটি সংখ্যা হলো-  2, 7, 31

সুতরাং মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল = 2 × 7 × 31 = 434

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
√x + ৫ = ১২
⇒ √x = ১২ − ৫
⇒ √x = ৭
⇒ x = ৭^২ [বর্গ করে]
∴ x = ৪৯

অতএব, সংখ্যাটি = ৪৯।

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ৭। যদি তাদের মধ্যে থেকে দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ৮ হয়। সরানো সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছয়টি সংখ্যার গড় ৭
সুতরাং, ছয়টি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = ৭ × ৬ = ৪২

দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়ার পর বাকি থাকে = ৬ - ২ = ৪ টি সংখ্যা।

সুতরাং, বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = ৮ × ৪  = ৩২ 

∴ অপসারণ করা দুটি সংখ্যার যোগফল = (প্রথম ছয়টি সংখ্যার যোগফল) - (বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল)
= ৪২ - ৩২ = ১০ 

সুতরাং, যে দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়া হয়েছিল তাদের যোগফল হলো ১০। 

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৪৫, ১৮টি সংখ্যার গড় ৩৫ এবং ১০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৪০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১২টি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ ১২টি সংখ্যার সমষ্টি = ১২ × ৪৫ = ৫৪০

১৮টি সংখ্যার গড় ৩৫
∴ ১৮টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৮ × ৩৫ = ৬৩০

১০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ১০ × ৫০ = ৫০০

∴ ৪০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫৪০ + ৬৩০ + ৫০০) = ১৬৭০

∴ ৪০টি সংখ্যার গড় = ১৬৭০ ÷ ৪০ = ৪১.৭৫

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬০। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৫২০ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৫১২। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬০  
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫৬০ × ১০ = ৫৬০০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৫২০  
∴ প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫২০ × ৪ = ২০৮০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৫১২  
∴ শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫১২ × ৫ = ২৫৬০

এখন,  
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি) + পঞ্চম সংখ্যা + (শেষ ৫টির সমষ্টি)
∴ পঞ্চম সংখ্যা = মোট সমষ্টি - প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি  
= ৫৬০০ - ২০৮০ - ২৫৬০  
= ৫৬০০ - ৪৬৪০  
= ৯৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৯৬০।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪

প্রশ্ন: তিনটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক + ২
তৃতীয় সংখ্যা = ক + ৪

∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল 
= ক + (ক + ২) + (ক + ৪)
= ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৬ = ৯৯
⇒ ৩ক = ৯৯ - ৬
⇒ ৩ক = ৯৩
⇒ ক = ৯৩/৩
∴ ক = ৩১

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩১
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩১ + ২ = ৩৩
তৃতীয় সংখ্যা = ৩১ + ৪ = ৩৫
অতএব, বড় সংখ্যাটি হলো ৩৫।

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুটির গড় কত?

সমাধান:
৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৪১  ও ৫৯।

∴ সংখ্যা দুটির গড় = (৪১ + ৫৯)/২ = ১০০/২ = ৫০ ।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল কী হতে পারে?

সমাধান: 
 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ:
 যখন √2 এবং √8 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদেরগুণফল হলো
√2 × √8 = √16 = 4 যা একটি মূলদ সংখ্যা। 

আবার, 
যখন √2 এবং √3 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদের গুণফল হলো √2 × √3 = √6; যা একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একজন বোলার গড়ে ১৮ রান দিয়ে ৭ টি উইকেট পান। পরবর্তী ইনিংসে গড়ে ১০ রান দিয়ে ৩ টি উইকেট পান। তিনি উইকেট প্রতি গড়ে কত রান দিয়েছেন? 

সমাধান: 
৭ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১৮
∴ ৭ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১৮ × ৭)
= ১২৬ 

আবার, পরবর্তীতে 
৩ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১০
∴ ৩ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১০ × ৩)
= ৩০ 

∴ সর্বমোট রান দেয় = (১২৬ + ৩০) 
= ১৫৬ 
এবং সর্বমোট প্রাপ্ত উইকেট = (৭ + ৩) 
= ১০ 

∴ উইকেট প্রতি গড়ে রান দেয় = ১৫৬/১০ 
= ১৫.৬। 

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৫ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩৫ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ৩) বছর
= ১০৫ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২৭ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২৭ × ২) বছর 
= ৫৪ বছর 

∴ পিতার বয়স = (১০৫ - ৫৪) বছর 
= ৫১ বছর।

প্রশ্ন: এক লিটার খাঁটি দুধে ২০০ মিলি লিটার পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে-

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ লিটার খাঁটি দুধ = ১০০০ মিলি লিটার
পানি মেশানো হলো = ২০০ মিলি লিটারগ্রাম
∴ মোট মিশ্রণ = ১০০০ + ২০০ = ১২০০ মিলি লিটার

∴ মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে = ২০০/১২০০ = ১/৬ অংশ

প্রশ্ন: ৩২, ৪৮, ৫৬ ও ৮০ এর গ. সা. গু কত? 

সমাধান: 
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ 
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 
৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৭ 
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ 

∴ ৩২, ৪৮, ৫৬ ও ৮০ এর গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ = ৮ 

প্রশ্ন: ০.৩ + ০.০১ + ০.০৫ = ?

সমাধান:
০.৩ + ০.০১ + ০.০৫
= ৩/১০ + ১/১০০ + ৫/১০০
= (৩০ + ১ + ৫)/১০০ 
= (৩৬)/১০০
= ৯/২৫

প্রশ্ন:

সমাধান: