বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: চারটি ইলেকট্রনিক যন্ত্র যথাক্রমে ১, ৫/৪, ৩/২ এবং ৭/৪ মিনিট অন্তর অন্তর সংকেত দেয়। তারা একত্রে সংকেত দেওয়ার কতক্ষণ পর পুনরায় একত্রে সংকেত দেবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু 

এখন, 
লব(১, ৫, ৩, ৭) এর ল.সা.গু = ১ × ৫ × ৩ × ৭ = ১০৫ 
এবং (১, ৪, ২, ৪) এর গ.সা.গু = ১ 

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু = ১০৫/১ = ১০৫ মিনিট
∴ ১০৫ মিনিটকে ঘণ্টায় প্রকাশ করে পাই = (৬০ + ৪৫) মিনিট = ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট 

অতএব, যন্ত্রগুলো পুনরায় একত্রে ১০৫ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট পর সংকেত দেবে।

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০, ৪/১৫, ১/৬ এর গড় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা

এখন, 
চারটি ভগ্নাংশ যোগ করে পাই,
(২/৫) + (৩/১০) + (৪/১৫) + (১/৬)
= (১২ + ৯ + ৮ + ৫)/৩০ 
= ৩৪/৩০ 
= ১৭/১৫

∴ গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা
= (১৭/১৫)/৪ 
= ১৭/৬০ 

প্রশ্ন: √5/(√15 + 5) = কত?

সমাধান: 
√5/(5 + √15)
= √5/{√5(√5 + √3)}
= 1/(√5 + √3)
= (√5 - √3)/(√5 + √3)(√5 - √3)
= (√5 - √3)/{(√5)² - (√3)²}
= (√3 - √2)/(5 - 3)
= (√5 - √3)/2

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১ 

এখানে,
২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ৩, এবং ৫ এর সূচক ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখায় = (৩ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৪ × ২
= ৩২

∴ ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক ৩২ টি।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৭/১২ = ০.৫৮৩
১১/১৮ = ০.৬১১
৩/৫ = ০.৬০০
১১/২০ = ০.৫৫০

∴ অপশন (ঘ) ১১/২০ = ০.৫৫০ এর মান সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/3​ হয় এবং ভগ্নাংশটির হর-এর সাথে 8 যোগ করলে এর মান 1/4 হয়।  ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = a/b

এখন, ১ম শর্তমতে, 
(a - 1)/b = 1/3
⇒ b = 3a - 3 .......(১)

আবার,
a/(b + 8) = 1/4
⇒ b + 8 = 4a
⇒ b = 4a - 8

∴ 3a - 3 = 4a - 8
⇒ 4a - 3a = 8 - 3
∴ a = 5

a এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
b = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
∴ b = 12

∴ ভগ্নাংশটি = 5/12 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণ, তৃতীয় সংখ্যাটির ৩/২ গুণের থেকে ৪ বেশি। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম জোড় সংখ্যা = ক
২য় জোড় সংখ্যা = ক + ২
৩য় জোড় সংখ্যা = ক + ৪

প্রশ্নমতে,
১ম সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩/২ × (৩য় সংখ্যা) + ৪
⇒ ২ক = ৩/২ × (ক + ৪) + ৪
⇒ ৪ক  = ৩(ক + ৪) + ৮  [উভয়পক্ষকে ২দ্বারা গুণ]
⇒ ৪ক = ৩ক + ১২ + ৮
⇒ ৪ক - ৩ক = ২০
∴ ক = ২০

সুতরাং,
১ম সংখ্যা = ২০
২য় সংখ্যা = ২০ + ২ = ২২
৩য় সংখ্যা = ২০ + ৪ = ২৪

অতএব, দ্বিতীয় সংখ্যাটি ২২।

প্রশ্ন: একটি জলাধারের তিন পঞ্চমাংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং এতে আরো ৩০ লিটার পানি ঢাললে জলাধারটি ৮০% পানিপূর্ণ হয়। জলাধারটির পানি ধারণক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি, জলাধারের ধারণক্ষমতা = x লিটার
শুরুতে পানি ছিল = ৩/৫ অংশ = ৬০% (যেহেতু ৩/৫ × ১০০ = ৬০)
৩০ লিটার পানি যোগ করার পর হয় = ৮০%

শর্তমতে,
(৮০% - ৬০%) = ৩০ লিটার
⇒ ২০% = ৩০ লিটার
⇒ ১০০% = (৩০ × ১০০)/২০ লিটার
∴ ১০০% = ১৫০ লিটার

সুতরাং, জলাধারের ধারণক্ষমতা ১৫০ লিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ১০০৮ সংখ্যাটির মোট ভাজকের সংখ্যা নির্দেশ করে?

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটি ও কম বেশী হবে না?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭ = ৭
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

সুতরাং, সর্বমোট ২১০টি গাছ হলে বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে লাগালে একটিও গাছ কম-বেশি হবে না।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলো সম-লববিশিষ্ট হলে ক্ষুদ্রতম হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশটি বৃহত্তম হবে। 

এখন, 
২/৩ > ২/৭ > ২/১১ > ২/১৩ 

সঠিক উত্তর খ) ২/৩ 

প্রশ্ন: ৯০ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার = ?

সমাধান: 

ধরি, সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
⇒ ২ক/৩ = ৯০ 
⇒ ক = (৯০ × ৩)/২ 
⇒ ক = ৪৫ × ৩
∴ ক = ১৩৫ 

সুতরাং, সংখ্যাটি ১৩৫

প্রশ্ন: (2/5), (3/5) ও (6/15) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে: 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 

এখন, 
ভগ্নাংশগুলোর লব(2, 3, 6) এর ল.সা.গু = 6
ভগ্নাংশগুলোর হর(5, 5, 15) এর গ.সা.গু = 5

∴ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = 6/5

অতএব, (2/5), (3/5) ও (6/15) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে 6/5.

প্রশ্ন: ৮০ থেকে বড় এবং ১০০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
৮০ থেকে বড় এবং ১০০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৮৩, ৮৯ এবং ৯৭

∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৮৩ + ৮৯ + ৯৭ = ২৬৯

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের ল.সা.গু ১২/৭ ও গ.সা.গু ১/১৪ ; সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
= (১২/৭) × (১/১৪)
= ৬/৪৯

প্রশ্ন: x ও y দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোন সংখ্যাটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরা যাক, x = 3 এবং y = 5 (দুটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) x + y = 3 + 5 = 8 → জোড় সংখ্যা
খ) x - y = 3 - 5 = - 2 → জোড় সংখ্যা
গ) xy = 3 × 5 = 15 → বিজোড় সংখ্যা
ঘ) x + y + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 → জোড় সংখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৩৪৮ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ৩৪৮ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু বের করে ৩৪৮ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু = ১৮০

৩৪৮ কে ১৮০ দ্বারা ভাগ করলে,
১৮০ × ১ = ১৮০
∴ অবশিষ্ট = ৩৪৮ - ১৮০ = ১৬৮

যেহেতু ১৮০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১৮০ - ১৬৮ = ১২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫, বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = x এবং ছোট সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে,
x + y = ১৫ ...... (১)
x - y = ১৩ ....... (২)

সমীকরণ (১) + সমীকরণ (২) ⇒ 
(x + y) + (x - y) = ১৫ + ১৩
 বা, ২x = ২৮
বা, x = ১৪

সমীকরণ (১) থেকে পাই,
১৪ + y = ১৫
বা, y = ১

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫০ থেকে যত ছোট, ৩৫০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
৪৫০ - ক = ক - ৩৫০
⇒ ক + ক = ৪৫০ + ৩৫০
⇒ ২ক = ৮০০
⇒ ক = ৮০০/২
∴ ক = ৪০০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৪০০। 

শর্টকাট: 
সংখ্যাটি = (৪৫০ + ৩৫০)/২ = ৮০০/২ = ৪০০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৬৮ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ১৭, ৩৪, ৬৮

৮০ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০

১২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৫, ২৫, ১২৫

২২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ২৫, ৪৫, ৭৫, ২২৫

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৮০ সংখ্যাটির ভাজক সবচেয়ে বেশি অর্থাৎ ১০ টি।

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে ১০ জন সদস্যের গড় বয়স ২৫ বছর। নতুন একজন সদস্য যুক্ত হওয়ায় সবার গড় বয়স ৪% বৃদ্ধি পেল। নতুন সদস্যের বয়স কত?

সমাধান:
১০ জন সদস্যের মোট বয়স = ১০ × ২৫ = ২৫০ বছর।
নতুন সদস্যসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ১০ + ১ = ১১ জন।

গড় বয়স বৃদ্ধি পায় ৪%
∴ নতুন গড় = ২৫ + (২৫ এর ৪%) = ২৫ + (২৫ এর ৪/১০০)
= ২৫ + ১ = ২৬ বছর।
১১ জনের মোট বয়স = ১১ × ২৬ = ২৮৬ বছর।

∴ নতুন সদস্যের বয়স = ২৮৬ - ২৫০ = ৩৬ বছর।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৭২। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
সংখ্যা দুটির গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ৩৬ × ক = ১২ × ৭২
⇒  = (১২ × ৭২)/৩৬
∴ ক = ২৪ 

প্রশ্ন: ০.০০২৯১৬ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:
√০.০০২৯১৬
= √(২৯১৬/১০০০০০০)
= √(৭২৯/২৫০০০০)
= √(২৭^২/৫০০^২)
= ২৭/৫০০
= ০.০৫৪

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/২ + ১/৩) × x অংশ
= (৫x/৬) অংশ
এবং পানির উপরে আছে = (x - ৫x/৬) 
= (x/৬) অংশ 

প্রশ্নমতে, 
x/৬ = ২ 
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 15 এবং ল.সা.গু. 225, একটি সংখ্যা 45 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = 15
ল.সা.গু. = 225
একটি সংখ্যা = 45
ধরি, অপর সংখ্যা = x

প্রশ্নমতে,
45 × x = 15 × 225
⇒ x = 3375/45
∴ x = 75

সুতরাং, অপর সংখ্যা হলো 75।

প্রশ্ন: নিচের দশমিক সংখ্যাগুলোর বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল কত হবে?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা ০.১ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ০.০০০৯

∴ গুণফল = ০.১ × ০.০০০৯
= ০.০০০০৯

প্রশ্ন: ৪৩২১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩৪) ৪৩২১ (১২৭ 
       ৩৪ 
_____________
         ৯২
         ৬৮ 
______________
           ২৪১ 
           ২৩৮
______________ 
                ৩ 
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৪ - ৩ = ৩১

প্রশ্ন: (০.০০৪)^২= ?

সমাধান:
(০.০০৪)^২ = ০.০০৪ × ০.০০৪
= ০.০০০০১৬

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ১০ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১৪ বেশি হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ১০ = ক + ১৪
বা, ২ক - ক = ১৪ - ১০
∴  ক = ৪ 

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(৮০ × x) = ১২ × ১৮০
⇒ x = (১২ × ১৮০)/৮০
= ২৭

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটির গড় কত?

সমাধান:
৪০ ও ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯

এদের মধ্যে
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৫৯

∴ সংখ্যা দুটির গড়
= (৪১ + ৫৯)/২
= ১০০/২
= ৫০

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ২৫ যোগ করলে তা সংখ্যাটির ২/৩ অংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২৫ = ২ক/৩
বা, (২ক/৩) - (ক/৩) = ২৫
বা, (২ক - ক)/৩ = ২৫
বা, ক/৩ = ২৫
বা, ক = ২৫ × ৩
∴ ক = ৭৫

∴ সংখ্যাটি হলো ৭৫

প্রশ্ন: x/y এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

সমাধান: 
ধরি,
যোগ করতে হবে k
তাহলে, 
x/y + k = 2y/x
⇒ k = 2y/x - x/y
⇒ k = (2y² - x²)/ xy

∴ যোগ করতে হবে = (2y² - x²)/ xy

Question: The average of 10 numbers is 560. The average of the first four numbers is 520, and the average of the last five numbers is 512. Find the value of the fifth number.

Solution:
Given,
First 10 number average is 560
So, sum of first 10 number= 560 × 10 = 5600

First 4 number average is 520
Sum of first 4 number = 520 × 4 = 2080

Last 5 number average is 512
Sum of last 5 number = 512 × 5 = 2560

So,
Sum of all 10 numbers= (sum of first 4) + 5th number + (sum of last 5)
5th number = Sum of all 10 numbers - (sum of first 4) -  (sum of last 5)
= 5600 - 2080 - 2560
= 5600 - 4640
= 960

∴ 5th number is 960

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর এবং মা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। মায়ের বয়স ৪৫ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
​পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর
​∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ২) বছর = ৭০ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর
​∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩০ × ২) বছর = ৬০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৬০ - ৪৫) বছর = ১৫ বছর

∴ পিতার বয়স = (৭০ - ১৫) বছর = ৫৫ বছর

অতএব, পিতার বয়স ৫৫ বছর।

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০০ হলে, প্রথম ও শেষ সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা ৫টি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২, ক + ৩ এবং ক + ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ + ক + ৩ + ক + ৪ = ১০০
⇒ ৫ক + ১০ = ১০০
⇒ ৫ক = ৯০
∴ ক = ১৮

অতএব, প্রথম ও শেষ সংখ্যার সমষ্টি = ক + ক + ৪
= ১৮ + ১৮ + ৪
= ৪০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান:
সহমৌলিক সংখ্যা( Co-Prime Numbers): যদি দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হয় তাহলে তাদেরকে পরস্পর Co-Prime বা সহ মৌলিক সংখ্যা বলে।

অপশনগুলোর মধ্যে 'ঘ' এর ৫২ ও ৯৭ সংখ্যাটির মধ্যে ৯৭ সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ায় ৫২ ও ৯৭ এর গ.সা.গু ১। কারণ এদের মধ্যে কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই। কিন্তু অপর তিনটি অপশনের সংখ্যাদ্বয়ের সাধারণ গুণনীয়ক ৩।

প্রশ্ন: ৩ বছর পূর্বে স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২৯ বছর। ৫ বছর পূর্বে স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২৩ বছর। স্বামীর বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান:
৩ বছর পূর্বে - 
স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২৯ × ৩) বছর 
= ৮৭ বছর 
∴ স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৮৭ + (৩ × ৩)} বছর
= ৯৬ বছর 

আবার, ৫ বছর পূর্বে -
স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২৩ × ২) বছর
= ৪৬ বছর
∴ স্ত্রী এবং সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৪৬ + (৫ × ২)} বছর
= ৫৬ বছর

∴ স্বামীর বর্তমান বয়স = (৯৬ - ৫৬) বছর
= ৪০ বছর। 

প্রশ্ন: ৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৬৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৬

∴ এদের অন্তর = ৬৪২০ - ২০৪৬ = ৪৩৭৪

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৫ক এবং ৬ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/৩০ = ১২
∴ সংখ্যা দুটি ৫ × ১২ = ৬০ এবং ৬ × ১২ = ৭২

অতএব সংখ্যা দুইটি ৬০ ও ৭২