বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: 'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ENGLAND শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে N = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার, PANAMA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4 = 120

∴ ENGLAND শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PANAMA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

প্রশ্ন: তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভদ্রলোক (পুরুষ) = ৩ জন
ভদ্রমহিলা (মহিলা) = ৩ জন
মোট প্রার্থী = ৬ জন
ভোট দিতে হবে = ২ জন প্রার্থীকে

মোট উপায় = ^৬C_২ 
= ৬!/২!(৬ - ২)!
= (৬ × ৫ × ৪!) /(২ × ৪!) 
= ১৫ 

অর্থাৎ, একজন ভোটার ১৫ উপায়ে ভোট দিতে পারবে। 

প্রশ্ন: বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার পথ আছে = ৪টি 
এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার পথ আছে = ৩টি 

∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২টি

সুতরাং, বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট ১২টি ভিন্ন পথ আছে।

প্রথম 6 জন থেকে 4 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄
= 6!/(4! × 2!)
= 15 উপায়ে।

পরের 9 জন থেকে 7 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁹C₇
= 9!/(7! × 2!)
= 36 উপায়ে।

টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄ × ⁹C₇
= 15×36
= 540 উপায়ে।

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ^১৮C_২
= ১৮!/২!(১৮ - ২)!
= (১৮ × ১৭ × ১৬!)/(২ × ১৬!)
= ৯ × ১৭
= ১৫৩

7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি 5 অথবা 6 দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ²p₁ = 2 উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
অবশিষ্ট 3টি অংক 3! = 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়
∴ 7000 থেকে ছোট সংখ্যা = 2 × 6
= 12 টি

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2)
= 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359

ORBITAL শব্দে মোট 7টি বর্ণ আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
মধ্যবর্তী স্থানটি স্বরবর্ণ দিয়ে ³p₁ = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট দু'টি শূন্যস্থান 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করা যায় = ⁴p₂ = 12 উপায়ে
∴ শব্দ গঠনের মোট উপায় = 3 × 12
= 36 

প্রশ্ন: 7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?

সমাধান:
7 জন শিক্ষক থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁷C₂
= 7!/(2! × 5!)
= (7 × 6)/(2 × 1)
= 21

5 জন শিক্ষার্থী থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₂
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 21 × 10 = 210

প্রশ্ন: 'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
TIGER শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে E, I দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ³P₂ = 6 উপায়ে
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 3 ঘরে সাজানো যায় ³P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 6 = 36

n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু একত্র নিয়ে (যেখানে উপাদান গুলো একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে) বিন্যাস n^r = 10⁵

5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী গঠিত সংখ্যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট হবে এবং প্রথমে ৫ দ্বারা শুরু হবে। এখানে মোট ৬ টি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক আছে। সুতরাং 5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী সংখ্যা পেতে প্রথমে ৫ স্থির রেখে বাকী ৩ টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যাই নির্ণেয় সংখ্যা।
∴নির্ণেয় সংখ্যা = 5!/(5 - 3)! = 60

QURBANI শব্দটিতে 7টি বর্ণ রয়েছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণ 3টি একত্রে রাখলে 5টি বর্ণ হয় যাদেরকে 5! উপায়ে সাজানো যায় আবার,
স্বরবর্ণ 3টি নিজেদের মধ্যে 3! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং শর্তসাপেক্ষে বর্ণগুলো সাজানোর মোট উপায় = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, 
নামাজীর সংখ্যা = n

যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার শুভেচ্ছা জানায়, তবে মোট শুভেচ্ছার সংখ্যা হবে = ⁿC_r = ⁿC₂ = n!/2!(n - 2)!
= n(n - 1)(n - 2)!/2!(n - 2)! = n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে, 
n(n - 1)/2 = 45 
⇒ n² - n - 90 = 0
⇒ n² - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
হয়, 
n - 10 = 0
∴ n = 10

অথবা, 
n + 9 = 0
∴ n = - 9   ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন। 

প্রশ্ন: 'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'GOOGLE' শব্দে বর্ণ আছে 6 টি।
এর মধ্যে G ও O বর্ণ আছে 2 বার করে । 

∴ মোট সাজানো যাবে = 6!/(2! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2)/4
= 180

যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A.
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶P₃ = 120
দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = 5 × ³P₂ = 15
∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 190 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
ⁿC₂ = 190
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n² - n - 380 = 0
⇒ n² - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0
হয়, (n + 19) = 0
∴ n = - 19  ; [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
n - 20 = 0
∴ n = 20

সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 20 জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)!
= 6!
= 720 উপায়ে

নেকলেসে পাথর লাগানোর উপায় = (7 - 1)!/2 [(a - 1)!/2]
= 720/2
= 360

ⁿc₅ = ⁿc_{n - 5}
∴ ⁿc₅ = ⁿc₇
বা, ⁿc_{n - 5} = ⁿc₇
বা, n - 5 = 7
বা, n = 7 + 5
∴ n = 12

ⁿp₃ = 4 × ⁿp₂
বা, n!/(n - 3)! = 4 × n!/(n - 2)!
বা, 1/(n - 3)! = 4 × 1/(n - 2)(n - 3)!
বা, 1 = 4/(n - 2)
বা, n - 2 = 4
∴ n = 6

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে
ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লাল পতাকা (R) = 4
হলুদ পতাকা (Y) = 3
নীল পতাকা (B) = 2
∴ মোট পতাকা = 4 + 3 + 2 = 9
একই রঙের পতাকা সমান, তাই পুনরাবৃত্তি সহ permutation সূত্র ব্যবহার করি। 

সুতরাং, বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(4! × 3! × 2!) = 1260

চক্রাকার গঠনে একটি বস্তুকে সর্বদা স্থির রাখতে হবে এবং উল্টানো যাবে এমন n সংখ্যক বস্তু নিয়ে মালা তৈরী করা যাবে =(n-1)!/2
∴10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (10 - 1)!/2 = 9!/2

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?

সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি 

∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ^৮C_৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০ 

8p_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 8!/336
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5 = 3