বিন্যাস ও সমাবেশ

২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)^২ ।
৮ বা (২X৪) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৮!/ [২!(৪!)^২] = ৩৫ ।

বিকল্প সমাধানঃ

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৮C_৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = ৭০ ।
সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫ ।

²ⁿc_r = ²ⁿc_r+2
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+2
∴ 2n - r = r + 2
বা, 2n = 2r + 2
∴ n = r + 1

প্রশ্ন: 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটির মোট অক্ষর = ৭টি

এদের মধ্যে:
S অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ৩টি
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ২টি
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = ৭!/(৩! × ২!)
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১)/{(৩ × ২ × ১) × (২ × ১)}
= ৫০৪০/(৬ × ২)
= ৫০৪০/১২
= ৪২০

∴ 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে ৪২০ উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n! / (a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11! / (4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

৫,০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলো চার অংকের হবে,
এবং ১ম অংকে ৫ অথবা ৬ নির্দিষ্ট করতে হবে?
∴ ১ম অংকটি পূর্ণ করা যায় = ^২p_১ = ২ উপায়ে।
অবশিষ্ট ৩টি ঘর পূর্ণ করা যায় = ৩! = ৬ উপায়ে।
∴ সংখ্যা তৈরি করা যাবে = ২ × ৬ = ১২টি

প্রতি 2 জনের সমাবেশ থেকে একটি হ্যান্ডশেক সংগঠিত হয়।
∴ মোট হ্যান্ডশেক = ⁿc₂
= 45
বা, n!/(n - 2)!2! = 45
বা, n(n - 1)(n - 2)!/(n - 2)!2 = 45
বা, n(n - 1) = 90
বা, n² - n - 90 = 0
বা, n² - 10n + 9n - 90 = 0
বা, n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
বা, (n + 9)(n - 10) = 0
বা, n - 10 = 0[∴ n ≠ 9]
∴ n = 10

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
20 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ²⁰C₁ = 20

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 20 - 1 = 19  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁹C₁ = 19

∴ মোট উপায় = 20 × 19 = 380

সুতরাং, ৩৮০ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যায়-
1 জন চেয়ারম্যান 2 জন ভাইস চে. 16 জন সদস্য
1 ------------ 1 ------------ 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটির সংখ্যা = ¹C₁ × ²C₁ × ¹⁶C₃
= 1 × 2 × 560
= 1120

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ^৬C_২
 = ৬!/{২! × (৬ - ২)!} 
= ৬!/(২! × ৪!) 
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) 
= ১৫ টি 

5টি আঙ্গুলে 7টি আংটি পরানো যেতে পারে = 5⁷ উপায়ে = 78125

• আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।
• যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।
• সেক্ষেত্রে ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = (১১+১)/২ = ৬ তম পদের মান।
• সুতরাং উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ৮।

বহুভুজের কৌণিক বিন্দু = n
3টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা = ⁿc₃
= n!/3!(n - 3)!
=n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!/6(n - 3)!
= n(n -1)(n - 2)/6

FREEDOM শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E.
∴ সবগুলো বর্ণ নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
∴ পুনর্বিন্যাস সংখ্যা = 2520 - 1 = 2519

প্রশ্ন: ⁸P_r = 336 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 2 টি O অর্থাৎ স্বরবর্ন বাকী 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
∴ সাজানোর উপায় 5! = 120

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 [আমরা জানি, ⁿP_r = n!/(n - r)!]
⇒ 40320/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 40320/336 
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!  [5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120]
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5 
∴ r = 3

∴নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁷C₃ = 680

মোট বল = 10 + 15 = 25 টি
নীল বল তোলার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24) = 3/20
লাল বল তোলার সম্ভাবনা = (15/25) × (14/24) =7/20
মোট সম্ভাবনা = 3/20 + 7/20 = 1/2.

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
16 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁶C₁ = 16 উপায়ে
15 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 16 × 15 = 240

'DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 3টি E আছে। 3টি E কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 4টি।

(1) সবগুলো ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ⁴C₄
= 1

(2) দুটি অভিন্ন এবং দুটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ²C₂ × ³C₂
= 1 × 3
= 3

(3) তিনটি অভিন্ন এবং একটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ³C₃ × ³C₁
= 1 × 3
=3

সুতরাং মোট শব্দ তৈরি করা যাবে = 1 + 3 + 3
= 7

5, 9, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 9 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
আবার, প্রথম স্থানে 9 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6+6) = 12.

4 টি বর্ণ নিয়ে মোট সাজানোর উপায় = 4!

যেহেতু ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই ৫+৪ =৯ জন থেকে ৩ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে = ⁹c₃ = 84

প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজ গঠন করতে 4টি বিন্দুর প্রয়োজন হয়।
এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা, n = 15
∴ ১৫ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা = ¹⁵C₄
= 15!/{4! × (15 - 4)!}
= 15!/(4! × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (15 × 14 × 13 × 12)/24
= 32760/24
= 1365

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৭ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৭C_১ = ১৭ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৭ - ১) = ১৬ জন

১৬ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭ × ১৬ = ২৭২ উপায়ে

BOOK শব্দটিতে মোট 4 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে O আছে 2 টি।
সুতরাং, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 4!/2! = 12

3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে বলে 3 জনকে 1 জন ধরতে হবে। তাহলে 1 ছাত্র জন ও 5 জন ছাত্রী মিলে মোট 6 জন হবে।
সুতরাং একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6!×3! (যেহেতু 3 জন ছাত্রের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3!)
= 720 × 6
= 4320

অনুসিদ্ধান্ত অনুসারে-
ⁿC_r + ⁿC_{r + 1} = ^{n + 1}C_r
এখন,
r এর স্থলে r + 1 বসিয়ে পাই
ⁿC_{r + 1} + ⁿC_{r +2} = ^{n + 1}C_{r + 1}