লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ২ / ১৮ · ১০১–২০০ / ১,৭৫০

১০১.
'AUGUST' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 240
  2. খ
    খ) 280
  3. গ
    গ) 320
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
'AUGUST' শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি A, 2টি U, 1টি G, 1টি S এবং 1টি T আছে।

 সাজানো যাবে = 6! / (1!)(2!)(1!)(1!)(1!)
                       = 720/2
                       = 360 উপায়ে
১০২.
একটি সপ্তভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    42
  2. খ
    30
  3. গ
    35
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সপ্তভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
একটি সপ্তভুজের সাতটি কৌণিক বিন্দু আছে।
একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে = 7C3 = 35
১০৩.
4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    48
  3. গ
    34
  4. ঘ
    68
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
4 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা থেকে 
ন্যূনতম 1 জন মহিলা সম্বলিত কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা- 
3 পুরুষ এবং 1 মহিলা + 2 পুরুষ এবং 2 মহিলা + 1 পুরুষ এবং 3 মহিলা 
= 4C3 × 3C1 + 4C2 × 3C2 + 4C1 × 3C3
= 4 × 3 + 6 × 3 + 4 × 1
= 12 + 18 + 4
= 34  ।
১০৪.
12 টি বইয়ের মধ্যে 3 টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট 3 টি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    72 ভাবে
  2. খ
    84 ভাবে
  3. গ
    93 ভাবে
  4. ঘ
    108 ভাবে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্যে 3 টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট 3 টি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:  
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (12 - 3) বা 9 টি থেকে 3 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 9C3
= 84 ভাবে
১০৫.
5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    122
  3. গ
    112
  4. ঘ
    222
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= 5P4
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

১০৬.
স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে article শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ১২০
  2. খ
    ১৪৪
  3. গ
    ২৮০
  4. ঘ
    ৩৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে article শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
article শব্দটিতে মোট অক্ষর = ৭ টি 
যেখানে স্বরবর্ণ = ৩ টি 
ব্যঞ্জনবর্ণ = ৪ টি 

৭টি অবস্থানের মধ্যে বিজোড় অবস্থান = ৪টি অবস্থান এবং জোড় অবস্থান ৩ টি।
৩ টি স্বরবর্ণ দ্বারা ৩ টি জোড় স্থান পুরন করা যায় = ৩P৩ = ৩! = ৬ উপায়ে 
৪ টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা ৪ টি বিজোড় স্থান পূর্ণ করা যায় = ৪P৪ = ৪! = ২৪ উপায়ে

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৬ × ২৪ = ১৪৪
১০৭.
16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    240
  2. খ
    320
  3. গ
    180
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
16 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 16C1 = 16

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 16 - 1 = 15  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 15C1 = 15

∴ মোট উপায় = 16 × 15 = 240

সুতরাং, 240 ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

১০৮.
একটি জন্মদিনের অনুষ্ঠানে কিছু সংখ্যক অতিথি উপস্থিত ছিল। প্রত্যেক অতিথি একে-অন্যের সাথে একবার করে করমর্দন করলো। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 45 হয়, তাহলে অনুষ্ঠানে কতজন অতিথি উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    12 জন
  2. খ
    10 জন
  3. গ
    11 জন
  4. ঘ
    13 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জন্মদিনের অনুষ্ঠানে কিছু সংখ্যক অতিথি উপস্থিত ছিল। প্রত্যেক অতিথি একে-অন্যের সাথে একবার করে করমর্দন করলো। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 45 হয়, তাহলে অনুষ্ঠানে কতজন অতিথি উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
অনুষ্ঠানে n সংখ্যক অতিথি উপস্থিত ছিল।

প্রশ্নমতে,
nC2 = 45
⇒ n(n - 1)/2 = 45
⇒ n(n - 1) = 90
⇒ n2 - n - 90 = 0
⇒ n2 - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
∴ n = 10 এবং - 9 [-9 ঋণাত্মক তাই গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ অনুষ্ঠানে 10 জন অতিথি উপস্থিত ছিল।
১০৯.
4টি পোস্ট বাক্সে 6টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 46 
  4. ঘ
    ঘ) 64 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4টি পোস্ট বাক্সে 6টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 4টি 
চিঠির সংখ্যা r = 6টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr 
= 46 
১১০.
১, ২, ৩, ৪ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৩০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ৮ টি
  2. খ
    ১০টি
  3. গ
    ১২টি
  4. ঘ
    ১৬টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৩০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৩০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৩ অথবা ৪ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ৩ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে,
প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ৩০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬)টি
= ১২টি
১১১.
সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B হলে নিচের কোন সেটটি সঠিক?
  1. ক
    ক) (A ∪ B)' = A' ∪ B'
  2. খ
    খ) (A ∩ B)' = A' ∩ B'
  3. গ
    গ) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
  4. ঘ
    ঘ) A' ∩ B' = A' ∪ B'
ব্যাখ্যা

সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B হলে, দ্যা মরগ্যানের সূত্রঃ
১) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
২) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

১১২.
ncn - r = ?
  1. ক
    ক) npr
  2. খ
    খ) npn - r
  3. গ
    গ) ncr
  4. ঘ
    ঘ) n!/(n - r)!
ব্যাখ্যা

ncn - r = n!/(n - r)!(n - n + r)!
= n!/(n - r)!r!
= ncr

১১৩.
রুহুল আমিন এর ৬ জন বন্ধু আছে , সে তাদের কত প্রকারে নিমন্ত্রন করতে পারে?
  1. ক
    ক) ৫৩
  2. খ
    খ) ৪৩
  3. গ
    গ) ৬৩
  4. ঘ
    ঘ) ৭৩
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, নিমন্ত্রণ করার উপায় = 2 - 1 = 26 - 1 = 64 - 1 = 63

১১৪.
15 জনের একটি প্যানেল থেকে 7 জনের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    4520
  2. খ
    6840
  3. গ
    6435
  4. ঘ
    5245
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 জনের একটি প্যানেল থেকে 7 জনের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
15 জনের মধ্যে থেকে 7 জনের কমিটি বানানোর উপায় = 15C7
= 15!/{(15 - 7)! × 7!}
= 15!/​(7! × 8!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 ​× 8!)/(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 8!)
= 6435
১১৫.
5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার একটি দল হতে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    20 উপায়ে 
  2. খ
    25 উপায়ে 
  3. গ
    30 উপায়ে 
  4. ঘ
    35 উপায়ে 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার একটি দল হতে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
5 জন পুরুষ হতে একজন পুরুষ বাছাই করার উপায় = 5C1 = 5 টি 
4 জন মহিলা হতে দুইজন মহিলা  বাছাই করার উপায় = 4C2 = 6 টি 

∴ একটি কমিটি গঠন করা যাবে = 5 × 6 উপায়ে 
= 30 উপায়ে
১১৬.
12 টি কলম ও 6 টি খাতা থেকে 4 টি কলম ও 3 টি খাতা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 4320
  2. খ
    খ) 9900
  3. গ
    গ) 4620
  4. ঘ
    ঘ) 6732
ব্যাখ্যা
12 টি কলম থেকে 4 টি কলম বেছে নেওয়ার উপায় = 12C4 = 495

6 টি খাতা থেকে 3 টি খাতা বেছে নেওয়ার উপায় = 6C3 = 20

12 টি কলম ও 6 টি খাতা থেকে 4 টি কলম ও 3 টি খাতা বেছে নেওয়ার উপায় = 495 × 20 = 9900
১১৭.
"INTEMPERATE" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে চারটি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ক) 1680
  2. খ
    খ) 1712
  3. গ
    গ) 1776
  4. ঘ
    ঘ) 1968
ব্যাখ্যা
"INTEMPERATE" শব্দটিতে মোট  বর্ণ 11টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে T 2টি ও E 3টি আছে।
অতএব, আটটি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে। 

আটটি বর্ণ থেকে প্রতিবারে চারটি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8P4 = 8!/4! = 1680

3 টি E কে ভিন্ন ভিন্ন আটটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে চারটি বর্ণ দিয়ে শব্দ সংখ্যা
= 4P3 × 8
= 24 × 8
= 192

2 টি T কে ভিন্ন ভিন্ন আটটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে চারটি বর্ণ দিয়ে শব্দ সংখ্যা
= 4P2 × 8
= 12 × 8
= 96

মোট শব্দ সংখ্যা = 1680 + 192 + 96 = 1968
১১৮.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'Relation' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে?
  1. ক
    ক) 36000
  2. খ
    খ) 37440
  3. গ
    গ) 36400
  4. ঘ
    ঘ) 32440
ব্যাখ্যা
'Relation' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ।

8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! =  40320

 স্বরবর্ণ 4টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
 স্বরবর্ণ 4টিকে সাজানো যায় = 4! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 4!
                                                                 = 120 × 24 
                                                                  =2880
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 2880
                                                                      = 37440
১১৯.
8 জনের একটি গ্রুপ থেকে 5 জনকে নিয়ে একটি দল কত প্রকারে বাছাই করা যায় যাতে 1 জন নির্দিষ্ট থাকে?
  1. ক
    18
  2. খ
    35
  3. গ
    14/5
  4. ঘ
    7/20
ব্যাখ্যা
8 জনের একটি গ্রুপ থেকে 5 জনকে নিয়ে একটি দল বাছাই করা যায় যাতে 1 জন নির্দিষ্ট থাকে।
= 8 - 1C5 - 1 
= 7C4
= 35
১২০.
একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 14 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    77
  3. গ
    84
  4. ঘ
    91
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 14 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 14

∴ করমর্দনের = nC2 = 14C2
= 14!/{2!(14 - 2)}
= 14!/(2! × 12!)
= 91
১২১.
BLAME শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    36টি
  2. খ
    48টি
  3. গ
    60টি
  4. ঘ
    96টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BLAME শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
BLAME শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি,
স্বরবর্ণ আছে = 2টি।
BLAME শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

সুতরাং , 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।
১২২.
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১৫ টি
  2. খ
    ১৮ টি
  3. গ
    ২০ টি
  4. ঘ
    ২৫ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৩C১ × ৪C২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে 
১২৩.
১২ জন বালক ও ৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    ক) ১৮৪৮ উপায়ে
  2. খ
    খ) ১৮৮৪ উপায়ে
  3. গ
    গ) ১৪৪৮ উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) ১৪৮৪ উপায়ে
ব্যাখ্যা
১২ জন বালক থেকে ২ জন বালক বেছে নেওয়া যায় = ১২C২ = ৬৬ উপায়ে 
৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = ৮C২= ২৮ উপায়ে 

১২ জন বালক ও ৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = ৬৬ × ২৮ = ১৮৪৮
১২৪.
IMMEDIATE শব্দের বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 9!
  2. খ
    খ) 9!/(3 × 2!)
  3. গ
    গ) 9!/6!
  4. ঘ
    ঘ) 9!/(2!2!2!)
ব্যাখ্যা

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

১২৫.
একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?
  1. ক
    330
  2. খ
    462
  3. গ
    494
  4. ঘ
    520
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

 সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= 11C5
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

১২৬.
'MILLENNIUM' শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে? 
  1. ক
    2520
  2. খ
    226800
  3. গ
    40320
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
'MILLENNIUM' শব্দটিতে10 টি বর্ণ আছে।  
যেখানে M= 2টি, I = 2টি এবং L = 2টি N= 2টি

প্রথমে ও শেষে M থাকবে

 সাজানো সংখ্যা = 8!/2!2!2!
                          =40320/8
                          = 5040
১২৭.
যদি 2 × nP4 = nP5 হয়, তাহলে n = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2 × nP4 = nP5 হয়, তাহলে n = কত?

সমাধান: 
2 × nP4 = nP5
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

১২৮.
3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    360
  2. খ
    240
  3. গ
    120
  4. ঘ
    90
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:  
মোট অংক 5টি।
প্রতিবার 4টি অংক নিয়ে গঠনকৃত সংখ্যা = 5P4
= 120
১২৯.
'DAUGHTER' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 4320
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) 2860
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 'DAUGHTER' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান-
'DAUGHTER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি এবং স্বরবর্ণ আছে 3 টি।
এখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি কে একটি মনে করে মোট বর্ণ হয় 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

স্বরবর্ণ 3 টির নিজদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 6 = 4320
১৩০.
4 জন মহিলা এবং 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যেন কমপক্ষে 1 জন পুরুষ এবং কমপক্ষে 1 জন মহিলা উপস্থিত থাকেন?
  1. ক
    ক) 190
  2. খ
    খ) 192
  3. গ
    গ) 194
  4. ঘ
    ঘ) 196
ব্যাখ্যা

4 সদস্যের কমিটি গঠনপ্রক্রিয়া নিম্নরুপ-
মহিলা (4 জন) -- পুরুষ (6 জন)
(i)            1 -- 3
(ii)           2 -- 2
(iii)          3 -- 1

(i) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = 4c1 × 6c3
= 4 × 20
= 80

(ii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = 4c2 × 6c2
= 90

(iii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = 4c3 × 6c1
= 24

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 80 + 90 + 24
= 194

১৩১.
6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাচাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 300
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 150
ব্যাখ্যা
6 টি গণিতের বই থেকে 3 টি বাছাই করা যায় = 6C3 = 20 উপায়ে
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = 6C2 = 15 উপায়ে
∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20×15 = 300
১৩২.
'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকে?

সমাধান: 
'ACCURATE' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে 
A = 2টি
C = 2টি

১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে
১৩৩.
A, B, C বর্ণের ৩টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৬
  3. গ
    ৯
  4. ঘ
    ১২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A, B, C বর্ণের ৩টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?

সমাধান: 
৩টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস করা যায় = ৩!
= ৬ উপায়ে
১৩৪.
বিভিন্ন কাজের জন্য তিনটি পুরস্কার দশজন বালকের মধ্যে কতভাবে বিতরণ করা যায়?
  1. ক
    ক) 100
  2. খ
    খ) 1000
  3. গ
    গ) 59049
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)পুরস্কার = 10 ³= 1000

১৩৫.
3.27x = 9x - 4 এ x এর মান কত?
  1. ক
    - 7
  2. খ
    7
  3. গ
    - 9
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা
3.27x = 9x - 4  
3.(33)x  = (32)x - 4
3. 33x = 32x - 8 
33x + 1= 32x - 8 
3x + 1 = 2x - 8 
3x - 2x = - 8 - 1 
x = - 9
১৩৬.
1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?
  1. ক
    125টি
  2. খ
    500টি
  3. গ
    625টি
  4. ঘ
    3050টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = nr = 54 = 625টি
১৩৭.
7C5 + 7C4 + 8C4 = কত?
  1. ক
    116
  2. খ
    126
  3. গ
    136
  4. ঘ
    146
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7C5 + 7C4 + 8C4 = কত?

সমাধান:
7C5 + 7C4 + 8C4
= 8C5 + 8C4 [যেহেতু nCr + nCr - 1 = n + 1Cr]
= 9C5
= 126
১৩৮.
একটি স্কুলের শিক্ষক কমিটিতে 8 জন বিজ্ঞান শিক্ষক ও 6 জন কলা শিক্ষক আছেন। এই কমিটি থেকে 3 জন বিজ্ঞান শিক্ষক ও 2 জন কলা শিক্ষক নিয়ে কত রকমভাবে একটি পরীক্ষা কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    840
  2. খ
    1260
  3. গ
    720
  4. ঘ
    980
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্কুলের শিক্ষক কমিটিতে 8 জন বিজ্ঞান শিক্ষক ও 6 জন কলা শিক্ষক আছেন। এই কমিটি থেকে 3 জন বিজ্ঞান শিক্ষক ও 2 জন কলা শিক্ষক নিয়ে কত রকমভাবে একটি পরীক্ষা কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
বিজ্ঞান শিক্ষক আছেন = 8 জন
কলা শিক্ষক আছেন = 6 জন
8 জন বিজ্ঞান শিক্ষকের মধ্য থেকে 3 জন নিয়ে বাছাই করার উপায় = 8C3 = 8!/3!(8 - 3)! = 8!/3!5!
= 56
6 জন কলা শিক্ষকের মধ্য থেকে 2 জন নিয়ে বাছাই করার উপায় = 6C2 = 6!/2!(6 - 2)! = 6!/2!4!
= 15

∴ পরীক্ষা কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 56 × 15 = 840
১৩৯.
ELLIPSE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    5040
  2. খ
    2520
  3. গ
    1260
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ELLIPSE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
 
সমাধান:
ELLIPSE শব্দটিতে 7টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি E এবং দুইটি L বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
 
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = 1260
১৪০.
2ncr = 2ncr+4 হলে n = ?
  1. ক
    r
  2. খ
    r - 1
  3. গ
    r + 1
  4. ঘ
    r + 2
ব্যাখ্যা

2ncr = 2nc2n-r
∴ 2ncr = 2ncr+4
বা, 2nc2n-r = 2ncr+4
বা, 2n - r = r + 4
বা, 2n = 2r + 4
∴ n = r + 2

১৪১.
20 জন ছাত্র থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্র বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 190
  2. খ
    খ) 171
  3. গ
    গ) 342
  4. ঘ
    ঘ) 153
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 জন ছাত্র থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্র বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?

সমাধান:
একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকলে মোট 19 জন ছাত্র থেকে 2 বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই সংখ্যা = 19C2
= (19 × 18)/2!
= 342/2
= 171
১৪২.
একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে হ্যান্ডশেক করায় মোট ৬৬টি হ্যান্ডশেক হল। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ক) ১১
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ১০
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা
nc২ = ৬৬
⇒ (n(n-১))/২ = ৬৬
⇒ n²-n-১৩২ = ০
⇒ n²-১২n+১১n-১৩২ = ০
⇒ n(n-১২)+১১(n+১২) = ০
⇒ (n-১২)(n+১১) = ০
⇒ n-১২ = ০ | অথবা, n+১১ = ০
⇒ n = ১২ | ⇒ n = -১১
∴ n = ১২ | (এইমান গ্রহণযোগ্য নয়)
১৪৩.
4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    210
  2. খ
    304
  3. গ
    84
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
যেহেতু 1 জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই
4 + (6 - 1) = 4 + 5 = 9 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = 9C3 = 84
১৪৪.
যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC2 এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    50
  3. গ
    60
  4. ঘ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCa = nCb হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

nC8 = nC2
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

nC2 = 10C2 = 45
১৪৫.
'ADVANCED' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর V ও শেষ অক্ষর N থাকে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 180
ব্যাখ্যা
ADVANCED শব্দে 8টি  বর্ণ আছে।  যেখানে 
A = 2 টি
D =2টি

১ম অক্ষর V ও শেষ অক্ষর N , বাকি থাকবে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2! 2!)
                         = 180 উপায়ে
১৪৬.
একটি বাক্সে ৩টি সাদা, ৪টি কালো এবং ৩টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে বাক্স থেকে ৩টি বল তোলা যাবে যেন কমপক্ষে ১টি বল কালো থাকবে?
  1. ক
    ৫০
  2. খ
    ১০০
  3. গ
    ১৫০
  4. ঘ
    ২০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৩টি সাদা, ৪টি কালো এবং ৩টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে বাক্স থেকে ৩টি বল তোলা যাবে যেন কমপক্ষে ১টি বল কালো থাকবে?

সমাধান:
১টি কালো এবং বাকি ২টি ভিন্ন = ৪C১ × ৬C২ = ৪ × ১৫ = ৬০
২টি কালো এবং বাকি ১টি ভিন্ন = ৪C২ × ৬C১ = ৬ × ৬ = ৩৬
৩টিই কালো = ৪C৩ = ৪

মোট = ৬০ + ৩৬ + ৪ = ১০০
১৪৭.
৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    ৫৩১
  2. খ
    ৫৬৪
  3. গ
    ৬৪৫
  4. ঘ
    ৭৫৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
পুরুষ         মহিলা
২               ৩
১                ৪
০               ৫

১ম ক্ষেত্রে,
৭C২ × ৬C৩ = ২১ × ২০ = ৪২০

২য় ক্ষেত্রে,
৭C১ × ৬C৪ = ৭ × ১৫ = ১০৫

৩য় ক্ষেত্রে,
৬C৫ = ৬

মোট উপায় = ৪২০ + ১০৫ + ৬ = ৫৩১
১৪৮.
একটি ফুটবল লীগে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে 2টি করে ম্যাচ খেলে। যদি মোট 5 টি টিম হয়, তাহলে মোট কতটি ম্যাচ খেলবে?
  1. ক
    20 টি
  2. খ
    25 টি
  3. গ
    15 টি
  4. ঘ
    10 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফুটবল লীগে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে 2টি করে ম্যাচ খেলে। যদি মোট 5 টি টিম হয়, তাহলে মোট কতটি ম্যাচ খেলবে?

সমাধান:
মোট ম্যাচের সংখ্যা = nC2 × 2
= 5C2 × 2
= [5!/{2!(5 - 2)!}] × 2
= [(5 × 4 × 3!)/(2! · 3!)] × 2
= {(5 × 4)/2} × 2
= 20
১৪৯.
20 জন স্কাউটের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 6 জনের একটি গ্রুপ কতভাবে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 11628
  2. খ
    খ) 12538
  3. গ
    গ) 14578
  4. ঘ
    ঘ) 31568
ব্যাখ্যা
6 জনের একটি গ্রুপ বাছাই করার উপায়
= 1C1 × 19C5
= 11628
১৫০.
1, 3, 4, 6, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    210
  3. গ
    480
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা = 6টি
এদের থেকে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করতে হবে (প্রতিটি অঙ্ক একবারই ব্যবহার করা যাবে)
∴ মোট সংখ্যা = 6P4
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

অতএব, মোট 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360টি।

১৫১.
n বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের কয়টি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) nc2 - n
  2. খ
    খ) nc2
  3. গ
    গ) nc2 + n
  4. ঘ
    ঘ) n!
ব্যাখ্যা

বহুভূজের মোট শীর্ষবিন্দু = n
প্রতিবার দু'টি শীর্ষবিন্দু নিয়ে nc2 সংখ্যক রেখা তৈরি হয় যাদের মধ্যে n সংখ্যক বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণ সংখ্যা = nc2 - n

১৫২.
5 × nP3 = 6 × n - 1P3 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
5 × nP3 = 6 × n - 1P3 
5 × n!/(n - 3)! = 6 ×(n - 1)!/(n - 1 - 3)!
5 × n!/(n - 3)!  =  6 ×(n - 1)!/(n - 4)!
5 × n(n - 1)!/(n - 3)(n - 4)!  =  6 ×(n - 1)!/(n - 4)!
5n/(n - 3) = 6
6n - 18 = 5n
6n - 5n = 18
n = 18
১৫৩.
যদি nC5 = nC3 হয়, তবে 11Cn এর মান কত?
  1. ক
    165
  2. খ
    286
  3. গ
    220
  4. ঘ
    346
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nC5 = nC3 হয়, তবে 11Cn এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
nC5 = nC3
⇒ nCn - 5 = nC3  [যেহেতু, nCr = nCn - r]
⇒ n - 5 = 3
∴ n = 5 + 3 = 8

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি,
= 11Cn
= 11C8  [n = 8]
= 11!/(8! × 3!)
= (11 × 10 × 9 × 8!)/(8! × 3 × 2 × 1)
= (11 × 10 × 9)/(3 × 2 × 1)
= 990/6
= 165

১৫৪.
প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 0, 1, 2, 3, 4, 5 ও 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    840
  2. খ
    120
  3. গ
    720
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 0, 1, 2, 3, 4, 5 ও 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = 7P4 = 840
0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = 6P3 = 120

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 840 - 120 টি
= 720 টি
১৫৫.
বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। 15 সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    210 উপায়ে
  2. খ
    194 উপায়ে
  3. গ
    185 উপায়ে
  4. ঘ
    225 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। 15 সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
15 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 15C1 = 15 উপায়ে

1 জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে = (15 - 1) = 14 জন 

14 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 14C1 = 14 উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 15 × 14 = 210 উপায়ে
১৫৬.
LOGARITHM শব্দের সবগুলো বর্ণ নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 9!
  2. খ
    খ) 9p9
  3. গ
    গ) ক ও খ
  4. ঘ
    ঘ) None of them
ব্যাখ্যা

LOGARITHM শব্দের সবগুলো বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে = 9! = 9p9

১৫৭.
'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'P'?
  1. ক
    3150
  2. খ
    5560
  3. গ
    6300
  4. ঘ
    12600
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'P'?

 সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'P' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - M, I, I, I, I, S, S, S, S, P।

এখানে I চারটি, S চারটি, M একটি, P একটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 10!/(4! × 4! × 1! × 1!)
= 10!/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/24
= 151200/24
= 6300

∴ 'P' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 6300

১৫৮.
৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন হতে পারে?
  1. ক
    ২৬৫
  2. খ
    ২৯৫
  3. গ
    ২২৫
  4. ঘ
    ৩০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন হতে পারে?

সমাধান:
কমিটিতে অত্যন্ত ১ জন মহিলা থাকবে।
পুরুষ (৭ জন)      -      মহিলা (৪ জন)
৩ জন                 -          ১ জন
২ জন                 -         ২ জন
১ জন                 -         ৩ জন
০ জন                 -         ৪ জন

অত্যন্ত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কমিটি গঠন হতে পারে 
(7C3 × 4C1 )+ (7C2 × 4C2)+(7C1 × 4C3)+ (7C0 × 4C4)
= (35 × 4) + (21 × 6) + (7 × 4) + (1 × 1)
= 140 + 126 + 28 + 1
= 295
১৫৯.
৮টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ক) 20160
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 40320
  4. ঘ
    ঘ) 5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (8 - 1)!/2
= 7!/2
= 5040/2
= 2520
১৬০.
ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 
  1. ক
    10080
  2. খ
    6720
  3. গ
    3360
  4. ঘ
    3359
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 

সমাধান:
'ABSCISSA' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8টি
যার মধ্যে A আছে 2 বার, S আছে 3 বার এবং অন্য বর্ণগুলো আছে একবার করে। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'ABSCISSA' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

১৬১.
15 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    455 টি
  2. খ
    420 টি
  3. গ
    390 টি
  4. ঘ
    530 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = 15C3
= 15!/{(15 - 3)! × 3!}
= (15 × 14 × 13 × 12!)/(12! × 3 × 2)
= 455
১৬২.
'FRUITCAKES' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'FRUITCAKES' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  

সমাধান: 
'FRUITCAKES' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 6টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 4টি 

6টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 6C3 = 20
4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 4C2 = 6
বাছাইয়ের মোট উপায় = 20 × 6 =120
১৬৩.
18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    816
  2. খ
    740
  3. গ
    680
  4. ঘ
    1020
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3 টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 18 টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = 18C3
= 18!​/3!(18 - 3)!
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 ​× 15!)/(3 × 2 × 15!)
= 816

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 816 টি।

১৬৪.
nC2 = (2/5) × nC4 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
nC2 = (2/5) × nC4
 n!/2!(n - 2)! = (2/5) × n!/4!(n - 4)!
2×2!(n - 2)! = 5×4!(n - 4)!
2×2!(n - 2)(n - 3)(n - 4)! = 5×4×3×2!×(n - 4)!
2×(n - 2)(n - 3) =5×4×3
(n - 2)(n - 3) = 30
n2 - 5n + 6 - 30 = 0
n2 - 5n  - 24 = 0
n2 - 8n + 3n - 24 = 0
n(n - 8) + 3(n - 8) - 24 = 0
(n - 8)(n + 3) = 0 

হয়                   অথবা 
n - 8  = 0             n + 3 = 0 
n = 8                      n = - 3 [গ্রহণযোগ্য নয়]
১৬৫.
একটি শ্রেণী কক্ষে ৪ টি দরজা আছে। একজন ছাত্র কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৬
ব্যাখ্যা

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা ৪ টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে ৩ টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = ৪×৩ = ১২

১৬৬.
‘RAJSHAHI’ শব্দটির অক্ষরগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা ‘BARISAL’ শব্দটির অক্ষরগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    ক) দ্বিগুণ
  2. খ
    খ) তিনগুণ
  3. গ
    গ) চারগুণ
  4. ঘ
    ঘ) অর্ধেক
ব্যাখ্যা
‘RAJSHAHI’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P1 = ৮!/২!২! (H = 2, A = 2)
‘BARISAL’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P2 = ৭!/২! (A = 2)
P1/P2 = ৮!/২!২! x ২!/৭! = 4/1
P1 = 4 P2
১৬৭.
2, 4, 6, 8 অংকগুলো দ্বারা চার অংকের কতগুলো জোড় সংখ্যা গঠন করা যায় যেখানে প্রত্যেক অংক প্রত্যেক সংখ্যা একবার ব্যবহার করা যাবে?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 48
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
সবগুলোই জোড় অংক। সুতরাং সবগুলো অংক নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যাই হবে কাংখিত জোড়সংখ্যা।
∴ গঠিত জোড় সংখ্যা = 4! = 24
১৬৮.
৩ জন প্রধানশিক্ষক এবং ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে ৫ জনের কমিটি কত ভাবে বানানো যাবে যাতে প্রতি টিমে ২ জন প্রধান শিক্ষক থাকে?
  1. ক
    ৩৬০
  2. খ
    ১২০
  3. গ
    ৪৬
  4. ঘ
    ৫২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন প্রধানশিক্ষক এবং ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে ৫ জনের কমিটি কত ভাবে বানানো যাবে যাতে প্রতি টিমে ২ জন প্রধান শিক্ষক থাকে?

সমাধান:
৩ জন প্রধান শিক্ষকের মধ্যে থকে ২ জনকে বাছাই করার উপায় = 3c2 = 3!/(2!)(1!) = 3 ভাবে।
১০ জন শিক্ষক থকে বাকি ৩ জন বাছাই করার উপায় = 10c3 = 10!/(3!)(7!) = 120 ভাবে

মোট উপায় = 3 × 120 = 360
১৬৯.
একটি মিটিং এ 16 জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?
  1. ক
    66
  2. খ
    120
  3. গ
    480
  4. ঘ
    240
  5. ঙ
    88
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ 16 জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি 2 জনে 1 টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= 16C2
= 16!/{2! × (16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2 × 14!)
= (16 × 15)/2
= 120

১৭০.
চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা যাওয়ার ৫টি পথ আছে। আবার ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার ৪টি পথ আছে। একজন লোক চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে কত উপায়ে রাজশাহী যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৯
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ২০
ব্যাখ্যা

চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে রাজশাহী যাওয়ার উপায়,
৫ × ৪ = ২০ উপায়।

১৭১.
CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
CONIC শব্দটিতে 5টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60
১৭২.
7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!

∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
১৭৩.
একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    13 টি
  2. খ
    15 টি
  3. গ
    22 টি
  4. ঘ
    28 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন

∴ 8 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 8C2
= 8!/{2!(8! - 2!)
= 8!/(2! · 6!)
= 28
১৭৪.
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?
  1. ক
    ৬০ উপায়ে
  2. খ
    ১২০ উপায়ে
  3. গ
    ৩০ উপায়ে
  4. ঘ
    ২০ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
নির্বাচন করতে হবে,
৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন
৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ২ জন

এখন,
পুরুষ নির্বাচন,
৫C২ = (৫ × ৪)/(২ × ১) = ২০/২ =  ১০টি উপায়

মহিলা নির্বাচন,
 ৪C২ = (৪ × ৩)/(২ × ১) = ১২/২ = ৬টি উপায়

∴ মোট উপায় = ১০ × ৬ = ৬০

সুতরাং, কমিটিটি ৬০ উপায়ে গঠন করা সম্ভব।

১৭৫.
একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে মোট 8টি দল অংশগ্রহণ করেছে। যদি প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে অর্থাৎ একক লীগ পদ্ধতিতে খেলে, তবে টুর্নামেন্টে মোট কতটি ম্যাচ পরিচালিত হবে?
  1. ক
    56টি
  2. খ
    34টি
  3. গ
    28টি
  4. ঘ
    112টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে মোট 8টি দল অংশগ্রহণ করেছে। যদি প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে অর্থাৎ একক লীগ পদ্ধতিতে খেলে, তবে টুর্নামেন্টে মোট কতটি ম্যাচ পরিচালিত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একক লীগে মোট ম্যাচের সংখ্যা = n(n - 1)/2
= 8(8 - 1)/2   ; [এখানে, n = 8 (দলের সংখ্যা)]
= (8 × 7)/2
= 56/2
= 28

অতএব, টুর্নামেন্টে মোট 28টি খেলা পরিচালনা করতে হবে।

১৭৬.
RECENT শব্দটির সবগুলো অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় যাদের শুরুতে ও শেষে স্বরবর্ণ (Vowel) থাকে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 30
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা

RECENT শব্দটির মধ্যে মােট 6 টি অক্ষর আছে।
এদের মধ্যে দুইটি স্বরবর্ণ (E) আছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে মােট সাজানোর উপায় = 6! / 2! = 360
শুরুতে ও শেষে স্বরবর্ণ (Vowel) রেখে সাজানোর উপায় = 4! = 24

১৭৭.
১৬ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাগে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ১২৪
  2. খ
    ২৪০
  3. গ
    ৩০৪
  4. ঘ
    ২৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৬ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাগে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৬ জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬C১ = ১৬ উপায়ে
১৫ জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = ১৬ × ১৫ = ২৪০
১৭৮.
8C5 + 8C4 = ?
  1. ক
    ক) 63
  2. খ
    খ) 89
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 126
ব্যাখ্যা
8C5 + 8C4
= 8 + 1C5
= 9C5
= 126
[ nCr + nCr - 1 = n + 1Cr ]
১৭৯.
10 জন লোক একটি অনুষ্ঠানের শুরুতে ও শেষে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে করমর্দনের মোট সংখ্যা হবে-
  1. ক
    ক) 120টি
  2. খ
    খ) 45টি
  3. গ
    গ) 55টি
  4. ঘ
    ঘ) 90টি
ব্যাখ্যা

অনুষ্ঠানের শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 10C2
= 10! ÷ {(10 - 2)! × 2!}
= (10 × 9 × 8!) ÷ (8! × 2!)
= (10 × 9 ÷ 2)
= 5 × 9
= 45

অনুরূপভাবে,
অনুষ্ঠানের শেষে আরো 45 বার করমর্দন করে।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = 45 + 45 = 90টি।

১৮০.
একটা ঘরে রহিম বসে আছে, ৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। ১০ মিনিট পর রহিম ঘর থেকে বের হয়ে আসলো এবং ১৫ মিনিট পর করিমও বের হয়ে আসলো। ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঐ ঘরটি কোন ঘরের শক্তি সেটের উপসেট?
  1. ক
    ক) ৫ মিনিট পরের ঘর
  2. খ
    খ) ১০ মিনিট পরের ঘর
  3. গ
    গ) ১৫ মিনিট পরের ঘর
  4. ঘ
    ঘ) ঊপরের কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
একটা ঘরে রহিম বসে আছে। এর সেট R = {r}
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট S = {r, k}
১০ মিনিট পর রহিম ঘর থেকে বের হয়ে আসলো। এর সেট K = {k}
১৫ মিনিট পর করিমও বের হয়ে আসলো। এর সেট { } বা Φ
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট {r, k}। অতএব, এর শক্তি সেট = P(S)
P(S) = P({r, k}) = {{r}, {k}, {r, k}, Φ}
অতএব, ৫ মিনিট পরের ঘর এর শক্তি সেট = ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঘরের সেট
ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঐ ঘরটি ৫ মিনিট পরের ঘরের শক্তি সেট।
১৮১.
CAMBRIDGE শব্দটির বর্ণগুলি থেকে ৫টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশের সংখ্যা -
  1. ক
    ক) ৬০
  2. খ
    খ) ১২০
  3. গ
    গ) ৬৩
  4. ঘ
    ঘ) ১২৬
ব্যাখ্যা
CAMBRIDGE শব্দটিতে মোট ৯টি বর্ণ আছে। ৫টি বর্ণ নিয়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা
৯c৫
= (৯×৮×৭×৬×৫!)/(৫!×৪!)
= (৯×৮×৭×৬)/(৪×৩×২)
= ১২৬ টি
∴ নির্ণেয় সমাবেশের সংখ্যা ১২৬টি।
১৮২.
চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 10 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?
  1. ক
    45
  2. খ
    55
  3. গ
    65
  4. ঘ
    75
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 10 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2 টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 10 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = 10C1 = 10
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = 10C2 = 45

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 10 + 45
= 55
১৮৩.
AMERICAN শব্দটির বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৪০৩২০
  2. খ
    ২০১৬০
  3. গ
    ২৫২০
  4. ঘ
    ৫০৪০
ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে ২ টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন
∴ সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!
= ২০১৬০

১৮৪.
10 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে কত উপায়ে 4 জন ছাত্র ও 3 জন ছাত্রী নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    1850
  2. খ
    1260
  3. গ
    2100
  4. ঘ
    2250
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে কত উপায়ে 4 জন ছাত্র ও 3 জন ছাত্রী নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন ছাত্র থেকে 4 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 3 জন ছাত্রী বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = 10C4 × 5C3
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়
১৮৫.
'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    1.5 গুণ
  2. খ
    2 গুণ
  3. গ
    3.5 গুণ
  4. ঘ
    4 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
DINAJPUR শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে কোনো বর্ণ পুনরাবৃত্তি নাই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

আবার, 
RAJSHAHI শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে 'A' বর্ণটি 2 বার এবং 'H' বর্ণটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8!/(2! × 2!) = 40320/(2 × 2) = 40320/4 = 10080

∴ 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার = 40320/10080 = 4 গুণ

১৮৬.
একটি হল রুমের 4টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
  1. ক
    16
  2. খ
    15
  3. গ
    12
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি হল রুমের 4টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
 
সমাধান:
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না।
অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৩টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৪ × ৩ = ১২
১৮৭.
একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?
  1. ক
    128
  2. খ
    32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
কালো বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
হলুদ বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =3C2 × 6C1
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

১৮৮.
৬৩ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের কয়টি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) ১৯৫৩
  2. খ
    খ) ১৮৫০
  3. গ
    গ) ৩৭৮০
  4. ঘ
    ঘ) ১৮৯০
ব্যাখ্যা
কর্ণের সংখ্যা = ৬৩C২ - ৬৩
= ১৯৫৩ - ৬৩
= ১৮৯০
১৮৯.
একটি বিদ্যালয়ে ১০ জন বাস্কেটবল খেলোয়াড় আছে। এই ১০ জন খেলোয়াড় থেকে ৬ সদস্য বিশিষ্ট দল এবং যাদের মাঝে ১ জন ক্যাপ্টেন নির্বাচন করতে হবে। মোট কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ১২৬০
  2. খ
    ১২৫০
  3. গ
    ১৪০০
  4. ঘ
    ১৬০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে ১০ জন বাস্কেটবল খেলোয়াড় আছে। এই ১০ জন খেলোয়াড় থেকে ৬ সদস্য বিশিষ্ট দল এবং যাদের মাঝে ১ জন ক্যাপ্টেন নির্বাচন করতে হবে। মোট কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন খেলোয়াড় ও ১ জন ক্যাপ্টেনসহ মোট সদস্য ৬ জন।
১০ জন থেকে এই ৬ জন বাছাই করা যায় ১০C৬ = ২১০

৬ জন খেলোয়াড় থেকে ১ জন ক্যাপ্টেন বাছাই করার উপায় ৬C১ = ৬

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ২১০ × ৬ = ১২৬০
১৯০.
একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমণ্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মণ্ডলির সদস্যদের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    620
  2. খ
    205
  3. গ
    750
  4. ঘ
    1050
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমণ্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মণ্ডলির সদস্যদের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যেতে পারে? 

 সমাধান:
পুরুষ আছেন = 8 জন  
মহিলা আছেন = 6 জন  
8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় = 8C4 
= 70

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 4 জন মহিলা  নিয়ে বাছাই করার উপায় = 6C4 
= 15
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 70 × 15 
 = 1050
১৯১.
ncn = ?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) npn
  3. গ
    গ) n
  4. ঘ
    ঘ) ∞
ব্যাখ্যা

ncn = n!/n!(n - n)!
= 1/0!
= 1/1
= 1

১৯২.
ADMISSION শব্দটির A এবং D কে দুইপ্রান্তে রেখে কতপ্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 5040
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
ADMISSION শব্দটির A এবং D কে দুইপ্রান্তে রাখলে মোট সংখ্যা হয় 7 টি, যার মাঝে S দুইটি এবং I দুইটি। এবং A ও D কে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2! , তাহলে মোট সাজানো যায় = 7!/(2!×2!)×2! = 2520প্রকারে।
১৯৩.
যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয় তবে 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে?
  1. ক
    55
  2. খ
    70
  3. গ
    75
  4. ঘ
    85
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয় তবে 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হল যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।
১৯৪.
'CANVAS' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 180
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 540
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CANVAS' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
CANVAS শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি A, 1টি N, 1টি V এবং 1টি S আছে।

 সাজানো যাবে = 6!/2!
                       = 720/2
                       = 360 উপায়ে৷
১৯৫.
4 টি পুরস্কার 3 জন বালকের মধ্যে কতভাবে দেওয়া যাবে, যদি প্রত্যকেই পুরস্কার পাওয়ার যোগ্য হয়?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 81
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 4 টি পুরস্কার 3 জন বালকের মধ্যে কতভাবে দেওয়া যাবে, যদি প্রত্যকেই পুরস্কার পাওয়ার যোগ্য হয়? 

সমাধানঃ
4 টি পুরস্কার 3 জন বালকের মধ্যে দেওয়ার মোট উপায় = 34 = 81
১৯৬.
10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    60 টি
  2. খ
    70 টি
  3. গ
    85 টি
  4. ঘ
    90 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (10 - 2) বা 8 টি থেকে 4 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 8C4
= 8!/(4! 4!)
= 70
১৯৭.
6P0 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6P0 = ?

সমাধান:
6P0 = 6!/(6 - 0)!
= 6!/6!
= 1
১৯৮.
nC7 = nC5 হলে n = কত?
  1. ক
    ক) 13
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা

nC7 = nC5
n!/7!(n-7)! = n!/5!(n-5)!
1/7.6.5!(n-7)! = 1/5!(n-5).(n-6).(n-7)!
1/42 = 1/(n-5)(n-6)
n² - 11n + 30 = 42
n² - 11n – 12 = 0
n² - 12n – n – 12 = 0
(n-12)(n+1) = 0
n = 12, -1
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n এর মান 12।

১৯৯.
2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    10
  2. খ
    20
  3. গ
    30
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
যেহেতু দুই অংকের সংখ্যা গঠন করতে হবে, তাই প্রতিবার 2টি অংক নিয়ে গঠিত সংখ্যা
= 5P2 = 5!/(5 - 2)!
= 5 × 4 × 3!/3!
= 20

২০০.
৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৭৫
  4. ঘ
    ৯০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ১ম দল ৬C২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।

২য় দল, বাকী (৬ - ২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ৪C২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।

৩য় দল, অবশিষ্ট (৪ - ২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ২C২ = ১ উপায়ে গঠন করা যায়।

∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫ × ৬ × ১ = ৯০