বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তবে r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 8 × 7 × 6
⇒ (8 - r)! = 8!/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

প্রতি ট্রিপে অবশ্যই রাজু সাহেবকে থাকতে হবে।
∴ ভ্রমন করার মোট উপায় ^(10-1)c_(5-1)
= ⁹c₄
= 126

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির ৭ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৭ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৭ - ১
= ১২৮ - ১ = ১২৭ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

সুতরাং, তিনি ১ বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে ১২৭ উপায়ে পারেন।

প্রশ্ন: ²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2}
⇒ ²ⁿC_{2n - r} = ²ⁿC_{r + 2}
⇒ 2n - r = r + 2
⇒ 2n - 2 = 2r
⇒ 2r = 2(n - 1) 
∴ r = n - 1

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে 5 টি vowel এবং ৬ টি consonant আছে।
Vowel গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2) = 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা।
সুতরাং, পুনরায় সাজানো যাবে = (360-1) = 359 ভাবে।

প্রশ্ন: 'IMMEDIATE' শব্দটির সব কয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে A এবং শেষে D থাকবে?

সমাধান:
'IMMEDIATE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 9 টি, প্রথমে A এবং শেষে D থাকলে অবশিষ্ট বর্ণ থাকে 7 টি।
সেখানে M আছে 2টি, E আছে 2টি, I আছে 2টি

∴ প্রথমে A এবং শেষে D রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2! × 2!)
= 630

সুতরাং, মোট 630 উপায়ে সাজানো যাবে।

⁵C₄ × ³C₁ = 15
⁵C₅ × ³C₀ = 1
∴ মোট কমিটি গঠন সংখ্যা = (15 + 1) = 16 উপায়ে

CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানো যাবে = 8p₄ = 1680

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৭ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত খেলার সংখ্যা = ^৭C_২
 = ৭!/{২! × (৭ - ২)!} 
= ৭!/(২! × ৫!) 
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!) 
= ২১ টি 

∴ ২ বার করে খেললে মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = ২১ × ২ = ৪২টি

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252

আমরা জানি,
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 30240 = 252 × r!
⇒ r! = 30240/252
⇒ r! = 120
⇒ r! = 5!
∴ r = 5

ⁿP₄ = 6× ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 6
বা, {n(n-1)(n-2)(n-3)}/{n(n-1)(n-2)} = 6
বা, n-3 = 6
বা, n = 9
∴n এর মান 9

প্রশ্ন: 5, 8, 1, 4 অংকগুলি দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

সমাধান:
5, 8, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 8 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

আবার,
প্রথম স্থানে 8 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6 + 6) = 12টি । 

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অঙ্ক সংখ্যা = 6 টি।
6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি অঙ্ক একবার করে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
⁶P₃
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 120 টি

প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (120 - 24)
= 96

প্রশ্ন: 18 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
18 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁸C₁ = 18 উপায়ে
17 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁷C₁ = 17 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 18 × 17 = 306

সুতরাং, অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক 306 ভাবে নির্বাচন করা যাবে। 

প্রশ্ন: 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে, যদি সব স্বরবর্ণ একত্রে থাকে?

সমাধান:
স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সাজালে শব্দটি (TMRRWOOO) এমন হতে পারে। 

তাহলে স্বরবর্ণ ছাড়া সাজানো যাবে 6! 
R ২ বার থাকায় 2! দিয়ে ভাগ হবে।

তাহলে,
6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/ (2 × 1)
= 720/2
= 360 

স্বরবর্ণগুলোর ভিতরে তিনটি O একই হওয়ায় তাদের অভ্যন্তরীণ বিন্যাস 1 (অতিরিক্ত গুণ করার কিছু নেই)।

∴ স্বরবর্ণ একত্রে রেখে 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো 360 ভাবে সাজানো যাবে।   

প্রশ্ন: ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
²⁵P₂ 
= 25!/(25 - 2)!
= [(25 × 24 × 23!)/(25 - 2)!]
=  (25 × 24 × 23!)/(23)!
= 25 × 24
= 600

এবং 
²⁵C₂
= [(25 × 24 × 23!)/2! × (25 - 2)!]
= [(25 × 24 × 23!)/2 × 23!]
= (25 × 24)/2
= 600/2
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂
= 600 - 300 
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = 300

প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা- 
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴C₄ = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²C₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³C₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

৬ টি অঙ্কই ভিন্ন ভিন্ন এজন্য এদেরকে সাজালে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা হয়।
৬ টি জিনিসের মধ্যে ৩ টি কে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 6P₃ = 6!/(6 - 3)!
= 6!/3! = 6.5.4 = 120

মোট বাহু 4 টি, তিনটি বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ ত্রিভূজ গঠিত হয় এক্ষেত্রে ত্রিভূজ সংখ্যা = ⁴c₃ = 4 কিন্তু, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4} এই তিনটি সমাবেশ ত্রিভূজ গঠন করতে পারে না।
∴ মোট ত্রিভূজ সংখ্যা = 4-3 = 1 টি

প্রশ্ন: ⁿP_{n - r} = ?

সমাধান:
ⁿP_{n - r} = n!/(n - n + r)!
= n!/r!

সমতলটির 12 টি কৌণিক বিন্দু থেকে ৩টি রেখা দিয়ে একটি ত্রিভুজ আঁকা যায়।
সুতরাং ত্রিভুজ সংখ্যা ¹²C₃
= 12! ÷ {3! × (12-3)!}
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (3 × 2 × 1 × 9!)
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (6 × 9!)
= 12 × 11 × 10 ÷ 6
= 220

প্রশ্ন: "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"BALLOON" শব্দটিতে মোট 7টি অক্ষর রয়েছে।
এদের মধ্যে 'L' অক্ষরটি 2 বার এবং 'O' অক্ষরটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে সাজানোর মোট উপায় হবে:
= 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1 × 2 × 1)
= 5040/4
= 1260
অতএব, "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে মোট 1260 উপায়ে সাজানো যায়।

3 বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা ⁴c₃ = 4 টি
কিন্তু {1, 2, 3}{1, 2, 4}{1, 3, 4} সমাবেশ গুলো ত্রিভুজ গঠন করতে পারেনা।
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি 

৬টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ × ৪৩ = ২৫৮
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪ × ২৯ = ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৫৮ + ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৭৪/১০
= ৩৭.৪

প্রশ্ন: 3 টি পোস্ট বাক্সে 5 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 3 টি
চিঠির সংখ্যা r = 5 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = n^r
 = 3⁵
 = 243 টি উপায়ে

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
6 জন পুরুষ থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁶C₂
= 6!/(2! × 4!)
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

4 জন মহিলা থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁴C₂
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 15 × 6 = 90

করমর্দন সংখ্যা = ¹⁰C₂
= 10! ÷ {2! × (10 - 2)!}
= 10! ÷ (2! × 8!)
= 10 × 9 × 8! ÷ {( 2 × 1) × 8!}
= 10 × 9/2
= 45

শর্টকাটঃ 10 × 9/2= 45

3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত রেখে অবশিষ্ট (14-3) বা 11টি হতে (6-3) বা 3 টিকে বাছাই করার উপায় = ¹¹C₃
= (11×10×9×8!) ÷ (8!×3!)
= (11×10×9) ÷ 6
= 165

প্রশ্ন: "EQUALITY" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে জোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 8টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (E, U, A, I) 4টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (Q, L, T, Y) 4টি

স্বরবর্ণ 4টি জোড় স্থানে (2য়, 4র্থ, 6ষ্ঠ, 8ম) রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
বাকি 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে (1ম, 3য়, 5ম, 7ম) রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 24 × 24
= 576

অতএব, EQUALITY শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট 576 উপায়ে সাজানো যাবে।

ⁿc_r = 120,
ⁿp_r = 240
বা, r! × ⁿc_r = 240
বা, r! × 120 = 240
বা, r! = 2 = 2!
∴ r = 2

গননার গুনন বিধি অনুসারে ভ্রমনের উপায় = ৫×৪ = ২০

৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৫C_১ × ^৪C_২
= ৫ × ৬
= ৩০

বাছাই করার উপায় ^(১২-২)c_৫ = ^১০c_৫ = ২৫২

5 টি বিন্দু সমরেখ হওয়াতে সে গুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না
∴ গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁵C₃ - ⁵C₃ = 445

3 টি শূন্য পদের জন্য 10 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 10 জন প্রার্থী হতে যে কোন একজন বা দুইজন বা তিনজনকে ভোট দিতে পারেন।
∴ নির্ণেয় ভোট দান সংখ্যা = ¹⁰C₁ + ¹⁰C₂ + ¹⁰C₃ = 10 + 45 + 120 = 175

প্রশ্ন: 5 টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
5 টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে = (5 - 1)!/2 উপায়ে;     [সুত্র: (n - 1)!/2]
= 4!/2
= (4 × 3 × 2)/2
= 12 উপায়ে

প্রশ্ন: GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান: 
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।

গোলটেবিলের চারপাশের বসার ক্ষেত্রে একজনকে স্থির রাখতে হয়।
সেক্ষেত্রে অবশিষ্ট (৬ - ১) = ৫ জনকে বসানোর উপায় ৫! = ১২০

প্রশ্ন: 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 10!/2!2!
‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার (10!/2!2!)/(7!/2!) গুণ বা 360 গুণ।