বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁵P₄
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
16 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁶C₁ = 16

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 16 - 1 = 15  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁵C₁ = 15

∴ মোট উপায় = 16 × 15 = 240

সুতরাং, 240 ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B হলে, দ্যা মরগ্যানের সূত্রঃ
১) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
২) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

ⁿc_{n - r} = n!/(n - r)!(n - n + r)!
= n!/(n - r)!r!
= ⁿc_r

আমরা জানি, নিমন্ত্রণ করার উপায় = 2 - 1 = 2⁶ - 1 = 64 - 1 = 63

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

 সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹¹C₅
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

প্রশ্ন: যদি 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হয়, তাহলে n = কত?

সমাধান: 
2 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

4 সদস্যের কমিটি গঠনপ্রক্রিয়া নিম্নরুপ-
মহিলা (4 জন) -- পুরুষ (6 জন)
(i)            1 -- 3
(ii)           2 -- 2
(iii)          3 -- 1

(i) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₁ × ⁶c₃
= 4 × 20
= 80

(ii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₂ × ⁶c₂
= 90

(iii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₃ × ⁶c₁
= 24

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 80 + 90 + 24
= 194

পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)^{পুরস্কার} = 10 ³= 1000

²ⁿc_r = ²ⁿc_2n-r
∴ ²ⁿc_r = ²ⁿc_r+4
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+4
বা, 2n - r = r + 4
বা, 2n = 2r + 4
∴ n = r + 2

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা = 6টি
এদের থেকে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করতে হবে (প্রতিটি অঙ্ক একবারই ব্যবহার করা যাবে)
∴ মোট সংখ্যা = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

অতএব, মোট 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360টি।

বহুভূজের মোট শীর্ষবিন্দু = n
প্রতিবার দু'টি শীর্ষবিন্দু নিয়ে ⁿc₂ সংখ্যক রেখা তৈরি হয় যাদের মধ্যে n সংখ্যক বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণ সংখ্যা = ⁿc₂ - n

প্রশ্ন: যদি ⁿC₅ = ⁿC₃ হয়, তবে ¹¹C_n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ⁿC₅ = ⁿC₃
⇒ ⁿC_{n - 5} = ⁿC₃  [যেহেতু, ⁿC_r = ⁿC_{n - r}]
⇒ n - 5 = 3
∴ n = 5 + 3 = 8

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি,
= ¹¹C_n
= ¹¹C₈  [n = 8]
= 11!/(8! × 3!)
= (11 × 10 × 9 × 8!)/(8! × 3 × 2 × 1)
= (11 × 10 × 9)/(3 × 2 × 1)
= 990/6
= 165

LOGARITHM শব্দের সবগুলো বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে = 9! = 9p₉

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'P'?

 সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'P' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - M, I, I, I, I, S, S, S, S, P।

এখানে I চারটি, S চারটি, M একটি, P একটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 10!/(4! × 4! × 1! × 1!)
= 10!/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/24
= 151200/24
= 6300

∴ 'P' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 6300

প্রশ্ন: ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 

সমাধান:
'ABSCISSA' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8টি
যার মধ্যে A আছে 2 বার, S আছে 3 বার এবং অন্য বর্ণগুলো আছে একবার করে। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'ABSCISSA' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3 টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 18 টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁸C₃
= 18!​/3!(18 - 3)!
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 ​× 15!)/(3 × 2 × 15!)
= 816

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 816 টি।

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা ৪ টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে ৩ টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = ৪×৩ = ১২

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ 16 জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি 2 জনে 1 টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ¹⁶C₂
= 16!/{2! × (16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2 × 14!)
= (16 × 15)/2
= 120

চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে রাজশাহী যাওয়ার উপায়,
৫ × ৪ = ২০ উপায়।

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
নির্বাচন করতে হবে,
৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন
৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ২ জন

এখন,
পুরুষ নির্বাচন,
^৫C_২ = (৫ × ৪)/(২ × ১) = ২০/২ =  ১০টি উপায়

মহিলা নির্বাচন,
 ^৪C_২ = (৪ × ৩)/(২ × ১) = ১২/২ = ৬টি উপায়

∴ মোট উপায় = ১০ × ৬ = ৬০

সুতরাং, কমিটিটি ৬০ উপায়ে গঠন করা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে মোট 8টি দল অংশগ্রহণ করেছে। যদি প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে অর্থাৎ একক লীগ পদ্ধতিতে খেলে, তবে টুর্নামেন্টে মোট কতটি ম্যাচ পরিচালিত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একক লীগে মোট ম্যাচের সংখ্যা = n(n - 1)/2
= 8(8 - 1)/2   ; [এখানে, n = 8 (দলের সংখ্যা)]
= (8 × 7)/2
= 56/2
= 28

অতএব, টুর্নামেন্টে মোট 28টি খেলা পরিচালনা করতে হবে।

RECENT শব্দটির মধ্যে মােট 6 টি অক্ষর আছে।
এদের মধ্যে দুইটি স্বরবর্ণ (E) আছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে মােট সাজানোর উপায় = 6! / 2! = 360
শুরুতে ও শেষে স্বরবর্ণ (Vowel) রেখে সাজানোর উপায় = 4! = 24

অনুষ্ঠানের শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = ¹⁰C₂
= 10! ÷ {(10 - 2)! × 2!}
= (10 × 9 × 8!) ÷ (8! × 2!)
= (10 × 9 ÷ 2)
= 5 × 9
= 45

অনুরূপভাবে,
অনুষ্ঠানের শেষে আরো 45 বার করমর্দন করে।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = 45 + 45 = 90টি।

শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে ২ টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন
∴ সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!
= ২০১৬০

প্রশ্ন: 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
DINAJPUR শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে কোনো বর্ণ পুনরাবৃত্তি নাই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

আবার, 
RAJSHAHI শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে 'A' বর্ণটি 2 বার এবং 'H' বর্ণটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8!/(2! × 2!) = 40320/(2 × 2) = 40320/4 = 10080

∴ 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার = 40320/10080 = 4 গুণ

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
কালো বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
হলুদ বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

ⁿc_n = n!/n!(n - n)!
= 1/0!
= 1/1
= 1

ⁿC₇ = ⁿC₅
n!/7!(n-7)! = n!/5!(n-5)!
1/7.6.5!(n-7)! = 1/5!(n-5).(n-6).(n-7)!
1/42 = 1/(n-5)(n-6)
n² - 11n + 30 = 42
n² - 11n – 12 = 0
n² - 12n – n – 12 = 0
(n-12)(n+1) = 0
n = 12, -1
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n এর মান 12।

প্রশ্ন: 2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
যেহেতু দুই অংকের সংখ্যা গঠন করতে হবে, তাই প্রতিবার 2টি অংক নিয়ে গঠিত সংখ্যা
= ⁵P₂ = 5!/(5 - 2)!
= 5 × 4 × 3!/3!
= 20