সরল ও যৌগিক মুনাফা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৬০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। দুই বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C =?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৬০০ × (১ + ১০%)^২
= ৬০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৬০০ × (১ + ১/১০)^২
= ৬০০ × {(১০ + ১)/১০}^২
= ৬০০ × (১১/১০)^২
= ৬০০ × ১১/১০ × ১১/১০
= ৭২৬ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২৬ টাকা।

প্রশ্ন: একই হার মুনাফায় কোনো মূলধনের এক বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৯৬০ টাকা ও দুই বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০০৮ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?

সমাধান:
মনেকরি,
মুনাফার হার = r%

প্রশ্নমতে,
P(১ + r/১০০)^১ = ৯৬০ ............(১)
P(১ + r/১০০)^২ = ১০০৮ ..........(২)

(২) ÷ (১) ⇒
(1 + r/১০০) = ১০০৮/৯৬০
⇒ r/১০০ = (১০০৮/৯৬০) - ১
⇒ r/১০০ = (১০০৮ - ৯৬০)/৯৬০
⇒ r/১০০ = ৪৮/৯৬০
⇒ r/১০০ = ১/২০
⇒ r = ১০০/২০
∴ r = ৫

∴ মুনাফা হার ৫%

প্রশ্ন: রহিম তার ভবিষ্যৎ সঞ্চয়ের কথা ভেবে একটি ব্যাংকে ৫,০০০ টাকা জমা রাখল এবং তার জমাকৃত টাকার উপর বার্ষিক ১০% হারে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা পাবে। ২ বছর শেষে তার জমাকৃত টাকার ওপর মুনাফা বাবদ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
বার্ষিক সুদের হার, r = ১০% 
সময়, n = ২ বছর

চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r/১০০)ⁿ
= ৫০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৫০০০ × (১১০/১০০)^২
= ৫০০০ × (১১০/১০০) × (১১০/১০০) 
= ৬০৫০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি মূলধন - মূলধন
= ৬০৫০ - ৫০০০
= ১০৫০ টাকা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হারে ১২০০০ টাকা ৩ বছরে সরল মুনাফাসহ ১৫৬০০ টাকা হয়। তাহলে মুনাফার হার কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ১২০০০ টাকা
মোট টাকা (মুনাফাসহ) = ১৫৬০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সরল মুনাফা = মোট টাকা - মূলধন
= ১৫৬০০ − ১২০০০
= ৩৬০০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়)/১০০
বা, ৩৬০০ = (১২০০০ × মুনাফার হার × ৩) / ১০০
বা, মুনাফার হার = (৩৬০০ × ১০০)/(১২০০০ × ৩)
= ৩৬০/৩৬
= ১০

সুতরাং, মুনাফার হার ১০%

প্রশ্ন: ১০% বার্ষিক সুদের হারে ৬ মাসে ১৫০০০ টাকার সুদ কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ১৫০০০
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ৬ মাস = ৬/১২ বছর
= ১/২ বছর

আমরা জানি,
সুদ(SI) = Prn/১০০
= {১৫০০০ × ১০ × (১/২)}/১০০
= ১৫০০/২
= ৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: ২০০০ টাকা ৪ বছরে সুদ-আসলে ২৪০০ টাকা হলে, ১০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, সুদ = সুদাসল − আসল = (২৪০০ − ২০০০) টাকা
= ৪০০ টাকা

এখানে,
২০০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৪০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪০০/(২০০০ × ৪) টাকা
∴ ১০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০ × ১০০০ × ৫)/(২০০০ × ৪) টাকা
= ২০০০০০০/৮০০০ টাকা
= ২৫০ টাকা

প্রশ্ন: জনতা ব্যাংকে রাহাত নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৫ বছরে আসলের ৭/৪ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল = P হলে, 
অর্থাৎ, রাহাত জনতা ব্যাংকে P পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। 

মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল 
⇒ I = আসলের ৭/৪ অংশ - আসল 
⇒  I = P × (৭/৪) - P
⇒  I = (৭P/৪) - P
⇒  I = (৭P - ৪P)/৪ 
⇒  I = ৩P/৪ 

আমরা জানি, 
মুনাফা, I = Pnr/১০০ 
⇒  ৩P/৪ = (P × ৫ × r)/১০০ 
⇒  ৩/৪ = (৫ × r)/১০০
⇒ ৩/৪ = r/২০ 
⇒  r = ৬০/৪ 
∴ r = ১৫%

অর্থাৎ মুনাফার হার = ১৫%

প্রশ্ন: কোনো টাকার ১ম ও ২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল যথাক্রমে, ৪৪০০ টাকা এবং ৪৮৪০ টাকা হলে প্রারম্ভিক মূলধন কত টাকা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন P এবং বার্ষিক সুদের হার r

এখন, 
প্রথম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r) = ৪৪০০........... (১)
দ্বিতীয় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r)^২ = ৪৮৪০ ........... (২) 

(২) ÷ (১) করে পাই, 
⇒ P(১ + r)^২/P(১ + r) = ৪৮৪০/৪৪০০
⇒ ১ + r = ১.১ 
⇒ r = ১.১ - ১ 
∴ r = ০.১ 

এখন, r এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
P(১ + ০.১) = ৪৪০০
⇒ P × ১.১ = ৪৪০০ 
⇒ P = ৪৪০০/১.১ 
∴ P = ৪০০০ 

সুতরাং, প্রারম্ভিক মূলধন = ৪০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ব্যাংক বছরে ৫% চক্রবৃদ্ধি হারে সুদ প্রদান করে, যা প্রতি ৬ মাস অন্তর হিসাব করা হয়। একজন গ্রাহক ১লা জানুয়ারি এবং ১লা জুলাই তারিখে প্রতিবার ১৬০০ টাকা করে জমা করেন। বছরের শেষে তিনি সুদ হিসেবে মোট কত টাকা পাবেন?

সমাধান:
১ম ১৬০০ টাকার ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১৬০০ × {১ + ৫/(২ × ১০০)}^২  
= ১৬০০ × (৪১/৪০)  × (৪১/৪০) 
= ১৬৮১

২য় ১৬০০ টাকার ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১৬০০ × {১ + ৫/(২ × ১০০)}  
=  ১৬০০ × (৪১/৪০) 
= ১৬৪০

∴ মোট চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১৬৮১ + ১৬৪০ 
= ৩৩২১ 

∴ মোট মুনাফা = ৩৩২১ - (১৬০০ + ১৬০০)
= ৩৩২১ - ৩২০০
= ১২১ 

অতএব, বছর শেষে সুদ বাবদ তিনি ১২১ টাকা পাবে। 

 প্রশ্ন: আসল-মুনাফা একত্রে 1250 টাকা, মুনাফা আসলের 1/4 হলে, আসল কত টাকা?

ধরি,
আসল = 4 টাকা
মুনাফা = 4 এর 1/4 = 1 টাকা
মুনাফা-আসল = 4 + 1 = 5 টাকা

এখন,  
মুনাফা-আসল 5 টাকা হলে আসল = 4 টাকা
মুনাফা-আসল 1 টাকা হলে আসল = 4/5 টাকা
মুনাফা-আসল 1250 টাকা হলে আসল = (4 × 1250)/5
= 1000 টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরের সরল মুনাফাসহ ৩৯০ টাকা এবং ৫ বছরের সরল মুনাফাসহ ৪৫০ টাকা হলে আসল কত?

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ৪৫০ টাকা
আসল + ৩ বছরের মুনাফা= ৩৯০ টাকা
২ বছরের মুনাফা =(৪৫০ - ৩৯০) = ৬০ টাকা
∴ ১ বছরের মুনাফা = ৬০/২ টাকা 
∴ ৫ বছরের মুনাফা = (৬০ × ৫)/২ = ১৫০ টাকা 

∴ আসল = (৪৫০ - ১৫০) = ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক টাকা মুনাফায় ৫০০০ টাকার কত বছরের সরল মুনাফা ২৫৫০ টাকা হবে?

সমাধান: 
আসল, P = ৫০০০ টাকা 
মুনাফার হার (r) = ১৭/২% 
= (১৭/২) × (১/১০০)
= ১৭/২০০

মুনাফা, I = ২৫৫০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফার, I = Prn
২৫৫০ = ৫০০০ × (১৭/২০০) × n
⇒ ২৫৫০ = ২৫ × ১৭ × n
⇒ n = ২৫৫০/(২৫ × ১৭)
∴ n = ৬ বছর 

সুতরাং, মুনাফা ২৫৫০ টাকা হতে ৬ বছর সময় লাগবে।

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ২০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল, P = ২,০০০ টাকা
মুনাফা হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = P × (১ + r/১০০)ⁿ
= ২০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ২০০০ × (১ + ১/১০)^২
= ২০০০ × (১১/১০)^২
= ২০০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ২০ × ১২১ 
= ২৪২০ টাকা

সুতরাং, ২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন ২৪২০ টাকা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৬% হারে ১৮ মাসে ৪০০০ টাকার সরল মুনাফা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% 
সময়, n = ১৮ মাস = ১৮/১২ = ১.৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (৪০০০ × ৬ × ১.৫)/১০০ 
= ৩৬০ টাকা 

সুতরাং, বার্ষিক ৬% হারে ১৮ মাসে ৪০০০ টাকার সরল মুনাফা ৩৬০ টাকা হবে?

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সুদে ৪০০ টাকা দেড় বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৫% 
আসল, P = ৪০০ টাকা 
সময়, n = দেড় বছর = ১ বছর ৬ মাস = ১৮ মাস = ১৮/১২ বছর = ৩/২ বছর 

এখন,
সুদ, I = Pnr/১০০
= {৪০০ × (৩/২) × ৫}/১০০
= ৩০ 

∴ সুদ-আসল = আসল + সুদ
= (৪০০ + ৩০) টাকা
= ৪৩০ টাকা 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার সুদে ১০০০ টাকার ৩ বছরে যত সুদ হয়, বার্ষিক ৬% হার সুদে কত টাকার ২ বছরে তত সুদ হয়? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪/১০০ টাকা 
∴ ১০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৪ × ১০০০ × ৩)/১০০ টাকা 
= ১২০ টাকা 

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (৬ × ২) টাকা
= ১২ টাকা 

এখন, 
১২ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০/১২ টাকা 
∴ ১২০ টাকা সুদ হয় যখন আসল = (১০০ × ১২০)/১২ টাকা 
= ১০০০ টাকা ।

প্রশ্ন: কোনো একটি ব্যাংকে নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলে জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৩ বছরে আসলের ৫/৪ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল = P হলে,
মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল
বা, I = আসলের ৫/৪ অংশ - আসল
বা, I = P × (৫/৪) - P
বা, I = (৫P/৪) - P
বা, I = (৫P - ৪P)/৪
বা, I = P/৪

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, P/৪ = (P × ৩ × r)/১০০
বা, ১/৪ = (৩ × r)/১০০
বা, ১/৪ = ৩r/১০০
বা, r = (১ × ১০০)/(৩ × ৪)
বা, r = ২৫/৩
∴ r = ৮.৩৩

অর্থাৎ মুনাফার হার = ৮.৩৩%।

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ১০০০ টাকার মুনাফা ৪০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ২০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ৪০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
n = I/Pr 
= ৪০০/(২০০০ × ১/২০) 
= ৪০০/১০০ 
= ৪ বছর । 

প্রশ্ন: x টাকার x% সরল মুনাফায় 4 বছরের মুনাফা x টাকা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = x টাকা
সরল মুনাফার হার, r = x%
সময়, n = 4 বছর
মুনাফা, I = x টাকা

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
মুনাফা, I = Pnr/100
বা, x = (x × x × 4)/100
বা, x = 4x²/100
বা, 100x = 4x²
বা, 4x² - 100x = 0
বা, 4x(x - 25) = 0

হয় x = 0 (যা গ্রহণযোগ্য নয়),
অথবা x - 25 = 0 বা, x = 25

অতএব, x-এর মান = 25

প্রশ্ন: ৭% বার্ষিক সরল সুদের হারে ১০০০ টাকার উপর ১৪০ টাকা সুদ পেতে কত বছর সময় লাগবে?

সমাধান:
আসল, P = ১০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৭%
সুদ, I = ১৪০ টাকা

আমরা জানি,
I = (Pnr)/১০০
⇒ ১৪০ = (১০০০ × ৭ × n)/১০০
⇒ n = (১৪০ × ১০০)/(১০০০ × ৭)
∴  n = ২ বছর

∴ সময় = ২ বছর

প্রশ্ন: একটি ব্যাংকে ১০০০০ টাকা ২ বছরের জন্য বার্ষিক ১০% হারে বিনিয়োগ করা হলো। সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মধ্যে পার্থক্য কত টাকা?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 

সূত্র: SI = (P × R × T) / ১০০

দেওয়া আছে:

আসল, P = ১০০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, SI = (P × r × n)/১০০
= (১০০০০ × ১০ × ২)/১০০
= ২০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, CI = P(১ + r/১০০)ⁿ - P
= ১০০০০ × (১ + ১০/১০০)^২ - ১০০০০
= ১০০০০ × (১.১)^২ - ১০০০০ 
= (১০০০০ × ১.২১) - ১০০০০
= ১২১০০ - ১০০০০ 
= ২১০০ টাকা

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা = ২১০০ - ২০০০ = ১০০ টাকা

প্রশ্ন: ২৫০ টাকা ৬ বছরে মুনাফা-আসলে ৫৫০ টাকা হলে, বার্ষিক সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ২৫০ টাকা
সময়, n = ৬ বছর
মুনাফা-আসল, A = ৫৫০ টাকা
মুনাফা, I = মুনাফা-আসল - আসল = ৫৫০ - ২৫০ = ৩০০ টাকা 

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, I = (P × r × n)/১০০ 
⇒ ৩০০ = (২৫০ × r × ৬)/১০০
⇒ ৩০০ = ১৫r
⇒ r = ৩০০/১৫ 
∴ r = ২০ 

সুতরাং, বার্ষিক সরল মুনাফার হার ২০% হবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ব্যাংকে দুটি আলাদা খাতে ১০০০ টাকা করে যথাক্রমে ১০ ও ১২ বছরের জন্য রাখলেন। ব্যাংকে সুদের হার ৬% হলে, সুদের পার্থক্য কত?

সমাধান:
সুদের পার্থক্য = আসল × সময়ের পার্থক্য × হার
= ১০০০ × (১২ - ১০) × ৬%
= ১০০০ × ২ × (৬/১০০)
= ১০ × ২ × ৬
= ১২০ টাকা

প্রশ্ন: ৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৫০০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
ধরি,
সুদের হার = r 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = r টাকা 
৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৫০০ × ৪ × r) টাকা 
= ২০০০r টাকা

অনুরূপভাবে, 
৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৬০০ × ৫ ×  r) টাকা
= ৩০০০ r টাকা

প্রশ্নমতে,
২০০০r + ৩০০০r = ৫০০
বা, ৫০০০r = ৫০০
বা, r = ৫০০/৫০০০
বা, r = {(৫০০ × ১০০)/৫০০০} %
 r =১০%

∴ সুদের হার  ১০% 

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল সুদে ৬০০০ টাকার ৪ বছরের সুদ কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৬০০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদের হার, r = ১০%

আমরা জানি,
সরল সুদ = Pnr/১০০
= (৬০০০ × ৪ × ১০)/১০০
= ৬০ × ৪ × ১০
= ২৪০০

অর্থাৎ সুদের পরিমাণ = ২৪০০ টাকা