সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

৩ টি বিড়াল ৩ টি ইঁদুর ধরে ৩ মিনিটে
∴১〃   〃    ১ 〃  〃   〃 (৩×৩)/৩ 〃
∴৯〃  〃    ৯ 〃  〃   〃 (৩×৩×৯)/৩×৯ 〃
                              = ৩ মিনিটে

প্রশ্ন:
উপরের চিত্রে কয়টি ত্রিভুজ আছে?

সমাধান:

চিত্রে ১টি করে ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে ৬ টি।
চিত্রে ২টি করে ঘর নিয়ে ত্রিভুজ (12, 34, 56) আছে ৩ টি। 
চিত্রে ৪টি করে ঘর নিয়ে ত্রিভুজ (1234, 3456) আছে ২টি।

∴ মোট ত্রিভুজ আছে = (৬ + ৩ + ২) = ১১ টি

প্রশ্ন: ৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:

∴ ৪২৪ জন সৈন্য সরিয়ে রাখলে সম্পূর্ণ দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: যদি MENTAL = ২৫৬৮১৯ হয় তবে HEALTH =?

সমাধান:
M - ২
E - ৫
N - ৬
T - ৮
A - ১
L - ৯ 

এখানে, MENTAL এবং HEALTH এর মধ্যে কমন বর্ণগুলো হচ্ছে E - ৫, A - ১, L - ৯, T - ৮
এ চারটি বর্ণের মান ঠিক রেখে কেবল H এর ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট মান ৭ ধরলে অপশন-খ এর সাথে মিলে যায়। 

H - ৭
E - ৫
A - ১
L - ৯
T - ৮
H - ৭

HEALTH = ৭৫১৯৮৭

প্রশ্ন: B-এর বয়স A-এর দ্বিগুণ, কিন্তু E-এর বয়সের অর্ধেক। C-এর বয়স A-এর অর্ধেক, কিন্তু D-এর বয়সের দ্বিগুণ। সবচেয়ে বেশী বয়স্ক কে?

সমাধান:
ধরি, A = x
তাহলে, B = 2x
এবং B হলো E-এর বয়সের অর্ধেক
 ∴ E = 4x
আবার, C = x/2
এবং C হলো D-এর বয়সের দ্বিগুণ
 ∴ D = x/4

∴ সবচেয়ে বেশী বয়স্ক হচ্ছে E

প্রশ্ন: একটা গাছের গুঁড়ি থেকে ৭ ফুট লম্বা একটি খণ্ড কেটে নিতে সময় লাগে ৩ মিনিট। গাছটিকে সমান ১৪ অংশে বিভক্ত করতে কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন দন্ডকে দুই খন্ড করতে একবার কাটতে হয়।
গাছের গুঁড়িকে ১৪ অংশে বিভক্ত করতে ১৩ বার কাটতে হবে।

১৪ অংশে বিভক্ত বা ১৩ বার কাটতে সময় লাগবে = (১৩ × ৩) = ৩৯ মিনিট

সুতরাং, গাছটিকে সমান ১৪ অংশে বিভক্ত করতে ৩৯ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম থেকে রাজশাহী রেলপথে মোট ২০টি স্টেশন আছে। প্রত্যেক স্টেশন থেকে যাত্রীরা অন্য যে-কোনো স্টেশনে যাওয়ার টিকেট কিনতে পারে। স্টেশনগুলোকে সব মিলিয়ে মোট কত ধরনের টিকেট রাখতে হবে?

সমাধান:
যেহেতু, প্রত্যেক স্টেশন থেকে যাত্রীরা অন্য যে-কোনো স্টেশনে যাওয়ার টিকেট কিনতে পারে,
তাই প্রত্যেক যাত্রী টিকেট কিনতে পারবে = (২০ - ১) = ১৯টি  [নিজ স্টেশনের টিকেট কিনার প্রয়োজন নেই তাই মোট স্টেশন থেকে ১ বিয়োগ করা হয়েছে]

∴ মোট টিকেট রাখতে হবে = (২০ × ১৯)টি
= ৩৮০টি

প্রশ্ন: কোনো একটি বছরের এপ্রিল মাসের ৩ তারিখ যদি রবিবার হয় তাহলে মে মাসের ২ তারিখ কী বার হবে?

সমাধান:
এপ্রিল মাসে ৩০ দিন থাকে।
এপ্রিল ৩ তারিখ = রবিবার
এপ্রিল ৩০ তারিখ পর্যন্ত দিনের সংখ্যা = ৩০ - ৩ = ২৭ দিন
২৭ দিন = ৩ সপ্তাহ (২১ দিন) + ৬ দিন অতিরিক্ত
৩ সপ্তাহ পরেও একই বার (রবিবার) আসবে ।

অতিরিক্ত ৬ দিন পর, 
রবিবার → সোমবার → মঙ্গলবার → বুধবার → বৃহস্পতিবার → শুক্রবার → শনিবার
∴ এপ্রিল ৩০ তারিখ = শনিবার

পরের দিন মে ১ তারিখ = রবিবার
মে ২ তারিখ = সোমবার

সুতরাং, মে মাসের ২ তারিখ = সোমবার

প্রশ্ন: কোনো বাসার একটি চৌবাচ্চার ২/৫ অংশ পূর্ণ হতে ৬ ঘণ্টা সময় লাগে। চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ পূর্ণ হতে আর কত সময় লাগবে? 

​সমাধান:
চৌবাচ্চাটির পূর্ণ হওয়ার বাকি = ১ - (২/৫) 
​= (৫ - ২)/৫ 
​= ৩/৫ অংশ
​
এখন,
চৌবাচ্চাটির ২/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = ৬ ঘণ্টা
∴ চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫)/২ ঘণ্টা
∴ ​চৌবাচ্চাটির ৩/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫ × ৩)/(২ × ৫) ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

ধরি, ট্রেনের দৈর্ঘ্য ক মিটার।
অর্থাৎ, ট্রেন ক মিটার অতিক্রম করে ১০ সেকেন্ডে এবং (ক+২০০) মিটার অতিক্রম করে ৫০ সেকেন্ডে।
সুতরাং ট্রেনের দৈর্ঘ্য , (ক+২০০)/৫০ = ক/১০
বা, ১০ক+২০০০ = ৫০ ক
বা, ৪০ ক = ২০০০
বা, ক= ৫০
অর্থাৎ, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
সুতরাং ট্রেনের গতিবেগ = ৫০/১০ = ৫ মিটার/সেকেন্ড = (৫x৩৬০০) / ১০০০ = ১৮ কি.মি./ঘন্টা

প্রশ্ন: ঘড়িতে ১১টা ৫৯ মিনিট বাজলে ঘণ্টার ও মিনিটের কাঁটার মাঝে কত ডিগ্রি কোণ তৈরি হয়?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = ।(11M - 60H)/2। [এখানে, M = ৫৯ মিনিট, H = ১১ ঘণ্টা ]
= ।(১১ × ৫৯) - (৬০ × ১১)/২।
= ।৬৪৯ - ৬৬০/২।
= ১১/২
= ৫.৫°

প্রশ্ন: A হল B এবং C এর পিতা;  A এর ছেলে B, কিন্তু C, A এর ছেলে নয়, C, A এর কী হয়?

সমাধান:
 A হল B এবং C এর পিতা
A এর ছেলে B এবং C, A এর ছেলে নয়
c হলো A এর মেয়ে। 

প্রশ্ন: ৩২^৫ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুন করলে গুণফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার সূচকের মান জোড় সংখ্যক হলে সেই সংখ্যা পূর্ণবর্গ হয়। যেমন: ৫^৪ = ৬২৫ = ২৫^২

এখন,
৩২^৫
= (৮ × ৪)^৫
= ৮^৫ × ৪^৫
= ৮^৫ × (২^২)^৫
= ৮^৪ × ৪ × ২ × ৪^৫
=  ৮^৪ × ৪^৬ × ২

এখানে ৮^৪ × ৪^৬ × ২ হলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
∴ সর্বনিম্ন ২ দিয়ে গুণ দিতে হবে।

t ঘন্টায় খালি হয় ১ অংশ
∴ ১ 〃    〃  〃 ১/t 〃
∴ ৫ 〃 〃 〃 ১×৫/t 〃
             = ৫/t অংশ

√০.০০০০০০০৯ = √(০.০০০৩ × ০.০০০৩)
= √(০.০০০৩)^২
= ০.০০০৩

প্রশ্ন: আপনার কাছে ৪টি আধুলি, ৭টি সিকি এবং কিছু ৫ পয়সার মুদ্রা আছে। মোট মুদ্রার সংখ্যা ২০টি এবং মোট টাকার পরিমাণ ৪ টাকা ২০ পয়সা। ৫ পয়সার মুদ্রা কয়টি আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
৪টি আধুলি = ৪ × ৫০ = ২০০ পয়সা  ; [আধুলি = ৫০ পয়সা] 
৭টি সিকি = ৭ × ২৫ = ১৭৫ পয়সা     ; [সিকি = ২৫ পয়সা] 

∴ আধুলি ও সিকি থেকে মোট = ২০০ + ১৭৫ = ৩৭৫ পয়সা
মোট টাকার পরিমাণ ৪ টাকা ২০ পয়সা = (৪ × ১০০) + ২০ = ৪২০ পয়সা    ; [১ টাকা = ১০০ পয়সা] 

অতএব, ৫ পয়সার মুদ্রা থেকে আসতে হবে = ৪২০ - ৩৭৫ = ৪৫ পয়সা

∴ ৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = ৪৫/৫ = ৯টি

সুতরাং, ৫ পয়সার মুদ্রা ৯টি আছে।

প্রশ্ন: যদি ৭২ কিমি/ঘণ্টা গতিতে চলমান একটি ট্রেন একটি সেতু অতিক্রম করতে ১ মিনিট সময় নেয় এবং ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ৭০০ মিটার হয়, তাহলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭০০ মিটার
এবং ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘণ্টা
= ৭২ × (৫/১৮) মি/সে 
= ২০ মি/সে
এবং, ট্রেন পুরো সেতু পার হতে সময় লাগে = ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ডে ট্রেনের অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = (গতি × সময়) মিটার 
= (২০ × ৬০) মিটার
= ১২০০ মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য
⇒ সেতুর দৈর্ঘ্য = (১২০০ - ৭০০) মিটার
∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: দুটি নল একটি পুকুর যথাক্রমে ২৪ মিনিট ও ৩৬ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে। দুটি নল একসাথে খুললে পুকুরের অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম নল দ্বারা,
২৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২৪ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
৩৬ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৩৬ অংশ

দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২৪) + (১/৩৬)
= (৩ + ২)/৭২
= ৫/৭২ অংশ

এখন,
৫/৭২ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = ৭২/৫ মিনিটে 
∴ অর্ধেক বা ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = ৭২/(৫ × ২) = ৭২/১০ = ৭.২ মিনিটে বা ৭ মিনিট ১২ সেকেন্ড

প্রশ্ন: 2.3(4 - 3.1x) = 1 - 6.13x
এখানে, x এর মান কত? 

সমাধান: 

2.3(4 - 3.1x) = 1 - 6.13x
⇒ 9.2 - 7.13x = 1 - 6.13x
⇒ 9.2 - 7.13x + 7.13x = 1 - 6.13x + 7.13x
⇒ 9.2 = 1 + x
⇒ 9.2 - 1 = 1 + x - 1
⇒ x = 8.2
∴ x = 41/5

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 4 টা 40 মিনিট বাজে, তখন ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিট কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র হলো:
|(60 × H - 11 × M)/2|

এখানে,
H = ঘণ্টা = 4
M = মিনিট = 40

সুতরাং, মধ্যবর্তী কোণ = |(60 × 4 - 11 × 40)/2|
= |(240 - 440)/2|
= |- 200/2|
= |- 100|
= 100°

অতএব, ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিট কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ হলো 100°।

ধরি,
সবচেয়ে ছোটটির বয়স x
তাহলে,
x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + (x + 12) = 50
⇒ 5x = 20
⇒ x = 4.
∴ সবচেয়ে ছোটটির বয়স = x = 4 years.

39 = 1 + (n - 1)×2
n = 20
13 = 1 + (n - 1)2
n = 7
যোগফল = 20² - 7² = 400 - 49 = 351

প্রশ্ন: মোস্তফা সাহেব তাঁর জীবনের এক-চতুর্থাংশ সময় কাটিয়েছেন রাজশাহীতে, এক -পঞ্চমাংশ সময় কাটিয়েছেন খুলনায়, এক - তৃতীয়াংশ সময় কাটিয়েছেন রংপুরে এবং গত ১৩ বছর তিনি বাস করছেন ঢাকায়। এখন তাঁর বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
তাঁর বর্তমান বয়স = ক বছর

প্রশ্নমতে,
{(ক/৪) + (ক/৫) + (ক/৩)} + ১৩ = ক
বা, (১৫ক + ১২ক + ২০ক)/৬০} + ১৩ = ক
বা, (৪৭ক + ৭৮০)/৬০ = ক
বা, ৬০ক = ৪৭ক + ৭৮০
বা, ৬০ক - ৪৭ক = ৭৮০
বা, ১৩ক = ৭৮০
বা, ক = ৭৮০/১৩
∴ ক = ৬০

∴ তাঁর বর্তমান বয়স = ৬০ বছর

এখানে দুটি ধারা রয়েছে।
- ১ম ধারাটিতে ৩,৫,৭ তম পদের অন্তর যথাক্রমে ৪, ৮,১৬ এবং
- দ্বিতীয় ধারাটিতে ৪, ৬, ৮ তম পদের অন্তর যথাক্রমে ৮, ১৬ , ৩২ ব্যবধান তাই ৪৮ সংখ্যাটি এর ধারায় অন্তর্ভুক্ত নয়।

প্রশ্ন: ১৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করে ৩ ঘণ্টায়। ৫ জন লোক ঐ কাজ কত সময়ে শেষ করবে? 

সমাধান: 
১৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ ঘণ্টায়
∴ ১ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ × ১৫ ঘণ্টায় 
∴ ৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = (৩ × ১৫)/৫ ঘণ্টায়
= ৯ ঘণ্টায় । 

প্রশ্ন: বালিকাদের সারিতে P এর অবস্থান বামদিক থেকে ১৫ তম এবং Q এর অবস্থান ডান দিক থেকে ১৭ তম। যদি সারিটিতে P এর অবস্থান ডানদিক থেকে ১১তম হয় তবে বামদিক থেকে Q এর অবস্থান কত?

সমাধান:
P এর অবস্থান বামদিক থেকে ১৫ তম এবং ডানদিক থেকে ১১তম।
সারিতে মোট বালিকার সংখ্যা = ১৪ + ১ + ১০ = ২৫ জন।
Q এর অবস্থান ডান দিক থেকে ১৭ তম
Q এর বামে অবস্থান করে = ২৫ - ১৭ = ৮ জন বালক।

∴ Q এর অবস্থান বামদিক হতে ৮ + ১ = ৯ম

৬ ঘন্টা পরিশ্রম করে ৮ জন কাজটি করে ১৫ দিনে
∴ ১ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ১ জন কাজটি করে ১৫ × ৮ × ৬ দিনে
∴ ৫ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৯ জন কাজটি করে (১৫ × ৮ × ৬) / (৯ × ৫) দিনে = ১৬ দিনে