সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: একটি পানি ভর্তি বালতির ওজন ১৪ কেজি। বালতিটি অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন হয় ৮ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পানি ভর্তি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
অর্ধেক পানি ভর্তি বালতির ওজন = ৮ কেজি
​
​অর্ধেক বালতি পানির ওজন = (১৪ - ৮) কেজি = ৬ কেজি
∴ ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন = (৬ × ২) কেজি = ১২ কেজি 
​
​আবার,
​পূর্ণ বালতি পানির ওজন + খালি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন 
​⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ১২ = ২ কেজি

প্রশ্ন: ২০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টিকে জোড় মৌলিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

সমাধান:
২০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার,
২০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ২৩
∴ ২০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি = (৯৭ + ২৩) = ১২০

আমরা জানি,
একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা = ২

∴ ২০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সমষ্টিকে জোড় মৌলিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল = ১২০/২ = ৬০

জলাধারের পানি ধারণ ক্ষমতা = ( ১২ ✕ ১৩.৫) = ১৬২ লিটার
এখন পানি পূর্ণ করতে দরকার = ১৬২/৯ = ১৮ টি

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটা ২৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
১ মিনিটে সেকেন্ডের কাঁটা পুরো ঘড়ি একবার ঘুরে অর্থাৎ ৩৬০ ডিগ্রি ঘুরে। 

১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৩৬০ ডিগ্রি
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৩৬০/৬০ = ৬ ডিগ্রি
∴ ২৫ সেকেন্ডে ঘুরে = (৬ × ২৫) ডিগ্রি = ১৫০ ডিগ্রি 

ঘড়িতে যখন ১১ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী বাবধান = ৫ ঘর।
১ ঘর = ৬ ডিগ্রি
সুতরাং ৫ ঘর = ৩০ ডিগ্রি।

অন্যভাবে,
পার্থক্য = । (11 M - 60 H) / 2 ।
= । (১১ × ০ - ৬০ × ১১) / ২।
= । - ৬৬০ / ২।
= । -৩৩০।
= ৩৩০
= ৩৬০ - ৩৩০
= ৩০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ৪০ মিনিটে এবং ৬০ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
প্রথম নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৪০ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৬০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা, ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/৪০) + (১/৬০) অংশ
= (৩ + ২)/১২০ অংশ
= ৫/১২০ অংশ
= ১/২৪ অংশ

চৌবাচ্চার ১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পন্ন অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ২৪) মিনিটে
= ২৪ মিনিটে

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = ২৪ মিনিটে।

(৬২৭)^২ - ০.০৩
= ৩৯৩১২৯ - ০.০৩
= ৩৯৩১২৮.৯৭

Let number of notes of each denomination be x.
Then x + 5x + 10x = 480
Or, 16x = 480
Or, x = 30.
Hence, total number of notes = 3x = 90.

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + ........... (3/64) ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3
= (3/2) × (1/3)
= 1/2 < 1

মনেকরি 
n তম পদ = 3/64

আমরা জানি 
n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 3/64 = 3 × (1/2)^{n - 1}
বা, 1/64 = (1/2)^{n - 1} 
বা, (1/2)⁶ = (1/2)^{n - 1} 
বা, 6 = n - 1
বা, n = 6 + 1
∴ n = 7

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?
72, 70, 65, 57, ?, 32

সমাধান:
প্রশ্নবোধক স্থানের সংখ্যাটি হলো 46 
১ম পদ - 2 = 72 - 2 = 70
২য় পদ - 5 = 70 - 5 = 65
৩য় পদ - 8 = 65 - 8 = 57
৪র্থ পদ - 11= 57 - 11 = 46
৫ম পদ - 14 = 46 - 14 = 32

প্রশ্ন: ২০১৮ সালের ১২ জানুয়ারি শুক্রবার হলে, একই বছরের ১৭ মার্চ কী বার ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২০১৮ সালের ১২ জানুয়ারি = শুক্রবার
১২ জানুয়ারি থেকে ১৭ মার্চ পর্যন্ত দিন গণনা করি।
জানুয়ারি (১২ থেকে ৩১) = ৩১ - ১২ = ১৯ দিন
ফেব্রুয়ারি (পূর্ণ মাস) = ২৮ দিন (২০১৮ লিপ ইয়ার নয়)
এবং মার্চ (১ থেকে ১৭) = ১৭ দিন

∴ মোট দিন = ১৯ + ২৮ + ১৭ = ৬৪ দিন
৬৪ ÷ ৭ = ভাগফল ৯, ভাগশেষ ১
∴ শুক্রবারের পর ১ দিন = শনিবার

∴ ২০১৮ সালের ১৭ মার্চ = শনিবার

সর্বশেষ ফ্লাইট যায় ১১ঃ২০ মিনিটে
পরবর্তী ফ্লাইট ৫ ঘণ্টা পরে।
∴ ফ্লাইটটি যাবে ৪ টা ২০ মিনিটে।

প্রতি এক ঘণ্টায় ১ বার ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ও ঘণ্টার কাঁটা পরস্পর ১৮০° কোণে অবস্থান করে।
যখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে ৩০ মিনিট এর ব্যবধান থাকে তখন ১৮০° কোণে অবস্থান করে।

প্রতিটি সংখ্যার সাথে ৩ গুণ করে পরবর্তী সংখ্যাটি লিখা হয়েছে। সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ০.৫৪×৩ = ১.৬২ বা ১.৬২০।

প্রশ্ন: একদল ছাত্র বনভোজনে যাওয়ার জন্য ২৪০ টাকা খাবারের খরচ হিসেবে বরাদ্দ করল। কিন্তু ২ জন ছাত্র অনুপস্থিত থাকায় প্রত্যেকের মাথাপিছু খরচ ৪ টাকা করে বৃদ্ধি পেল। বনভোজনে কতজন ছাত্র উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, শুরুতে মোট ছাত্রের সংখ্যা ছিল x জন।
শুরুতে প্রত্যেকের মাথাপিছু খরচ হওয়ার কথা ছিল = ২৪০/x টাকা।
২ জন অনুপস্থিত থাকায় বর্তমানে উপস্থিত ছাত্রের সংখ্যা = (x - ২) জন।

বর্তমানে প্রত্যেকের মাথাপিছু খরচ = ২৪০/(x - ২) টাকা।

প্রশ্নমতে,
{২৪০/(x - ২)} - (২৪০/x) = ৪
⇒ {৬০/(x - ২)} - (৬০/x) = ১   [৪ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ {৬০x - ৬০(x - ২)}/{x(x - ২)} = ১
⇒ {৬০x - ৬০x + ১২০}/{x^২ - ২x} = ১
⇒ ১২০ = x^২ - ২x
⇒ x^২ - ২x - ১২০ = ০
⇒ x^২ - ১২x + ১০x - ১২০ = ০
⇒ x(x - ১২) + ১০(x - ১২) = ০
⇒ (x - ১২)(x + ১০) = ০
হয়, x - ১২ = ০ ⇒ x = ১২
অথবা, x + ১০ = ০ ⇒ x = - ১০ (ছাত্রের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)

∴ শুরুতে ছাত্রের সংখ্যা ছিল ১২ জন।
∴ বনভোজনে উপস্থিত ছিল = (১২ - ২) = ১০ জন।

৬ টার সময় ঘন্টা ধ্বনি ৬ বার বাজে
১ম ধ্বনি---(১সে)---২য় ধ্বনি---(১সে)----৩য় ধ্বনি---(১সে)---৪র্থা ধ্বনি----(১সে)---৫ম ধ্বনি----(১সে)---৬ষ্ঠ ধ্বনি
অনুরূপভাবে, ১২ টার সময় ঘন্টা ধ্বনি ১২ বার বাজে
১ম ধ্বনি---(১সে)---২য় ধ্বনি---(১সে)----৩য় ধ্বনি---(১সে)---৪র্থা ধ্বনি----(১সে)---৫ম ধ্বনি----(১সে)---৬ষ্ঠ ধ্বনি
৭ম ধ্বনি---(১সে)---৮ম ধ্বনি---(১সে)----৯ম ধ্বনি---(১সে)---১০ম ধ্বনি----(১সে)---১১শ ধ্বনি----(১সে)---১২শ ধ্বনি = মোট ১১ সেকেন্ড (অনেক বইতে ১০ সেকেন্ড দেওয়া সেটা ভুল)

UNIVERSITY = 1234567389 হলে, R=6, I=3, V=4, E=5, R=6.
অর্থাৎ, RIVER = 63456

প্রশ্ন: চিত্রে x = 2y/7 হলে, y° = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সরলরেখার ওপর উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°।
চিত্রানুসারে, x + y = 180 ...............(1)

দেওয়া আছে, x = 2y/7
সমীকরণ (1)-এ x এর মান বসিয়ে পাই,
(2y/7) + y = 180 
⇒ (2y + 7y)/7 = 180
⇒ 9y/7 = 180
⇒ 9y = 180 × 7
⇒ 9y = 1260
⇒ y = 1260/9 
∴ y = 140°

প্রশ্ন: একটি খামারে হাঁস ও গরু আছে। মোট প্রাণী 45টি এবং মোট পা 128টি হলে, ঐ খামারে কয়টি হাঁস আছে?

সমাধান:
ধরি, 
হাঁসের সংখ্যা = x
গরুর সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে, 
x + y = 45
⇒ y = 45 - x ......(1) 
এবং 
2x + 4y = 128  ; [হাঁসের পা = 2, গরুর পা = 4, মোট পা = 128] 
⇒ 2x + 4(45 - x) = 128
⇒ 2x + 180 - 4x = 128
⇒ - 2x + 180 = 128
⇒ - 2x = 128 - 180
⇒ - 2x = - 52
∴ x = 26

সুতরাং, ঐ খামারে 26টি হাঁস আছে। 

প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = 1/z এবং xy = z হলে, x এবং y এর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/x + 1/y = 1/z
বা, (y + x)/xy = 1/z
বা, (x + y)/z = 1/z
বা, x + y = 1
∴ (x + y)/2 = 1/2

আমরা জানি,
৭ এর গুণিতকের পরের দিন একই বার হবে।  

১৫ তম দিন = শুক্রবার
১৪ তম দিন = বৃহস্পতিবার 
১৩ তম দিন = বুধবার 

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু গরু ও মুরগি আছে। মোট প্রাণী ৫০টি এবং তাদের মোট পায়ের সংখ্যা ১৪০টি। গরুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
গরুর সংখ্যা = ক টি
মুরগির সংখ্যা = ৫০ - ক টি 
যেহেতু, গরুর পা = ৪টি, মুরগির পা = ২টি

শর্তমতে,
∴ ৪ক + ২(৫০ - ক) = ১৪০
বা, ৪ক + ১০০ - ২ক = ১৪০
বা, ২ক + ১০০ = ১৪০
বা, ২ক = ১৪০ - ১০০
বা, ২ক = ৪০
∴ ক = ২০

অতএব, গরুর সংখ্যা = ২০ টি।