সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন:

সমাধান:
(০.৪ × ০.০৫ × ০.০৩)/০.০২
= ০.০০০৬০/০.০২
= ৬০/২০০০
= ০.০৩

প্রশ্ন: Insert the arithmetical signs, if (28 ? 4 ? 8 ÷ 2 = 116)

সমাধান:
25 × 3 + 6 ÷ 2
= 25 × 3 + 3
= 75 + 3
= 78

প্রশ্ন: অর্পিতার জন্ম ২৯ ফেব্রুয়ারি। নিচের কোন সালটি তার জন্মগ্রহণের সাল হতে পারে?

সমাধান:
ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনে হয় যখন বছরটি লিপ ইয়ার বা অধিবর্ষ হয়।

- যদি বছরটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি অধিবর্ষ (লিপ ইয়ার)।
- অপশনে প্রদত্ত সালগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ২০০৪ সালটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, ২০০৪ সালটি লিপ ইয়ার।

অতএব, অর্পিতার জন্মগ্রহণের সাল ২০০৪ হতে পারে।

প্রশ্ন: একটি ভোজসভার শেষে ১৪ জন ব্যক্তি একে অপরের সাথে করমর্দন করে। সেখানে মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
যে কোনো ২ জন ব্যক্তির মধ্যে ১টি করমর্দন হয়।
সুতরাং, মোট করমর্দনের সংখ্যা = ১৪ জন থেকে ২ জন নির্বাচন করার সংখ্যা।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = ^১৪C_২
= ১৪!/২!(১৪ - ২)!
= (১৪ × ১৩ × ১২!)/(২ × ১২!)
= ৯১ 

১৪০ মিনিটে যায় ১১৯ কি.মি.
১ মিনিটে যায় ১১৯/১৪০ কি.মি.
১ ঘন্টা বা ৬০ মিনিটে যায় (১১৯/১৪০)x৬০ = ৫১ কি.মি.
সুতরাং, ট্রেনটির গড়বেগ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকা প্রতি মিনিটে ৮০ বার ঘুরে এবং প্রতি ঘূর্ণনে ৪৫ সে. মি. অতিক্রম করে। ১.৫ ঘন্টায় চাকাটি কত কি.মি. অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চাকা প্রতি মিনিটে ৮০ বার ঘুরে, এবং প্রতি ঘূর্ণনে ৪৫ সে.মি. অতিক্রম করে।
∴ প্রতি মিনিটে দূরত্ব = ৮০ × ৪৫ = ৩৬০০ সে.মি. = ৩৬ মিটার

আবার, 
১.৫ ঘণ্টা = ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট = ৯০ মিনিট

∴ মোট দূরত্ব = (৩৬ × ৯০) মিটার
= (৩২৪০/১০০০) কি.মি.   ; [১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার]
= ৩.২৪ কি.মি.

সুতরাং, চাকাটি ১.৫ ঘণ্টায় ৩.২৪ কি.মি. অতিক্রম করবে।

আমরা জানি, ঘড়ির কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ  = |(11M - 60H) / 2|° 
= |(11×2 - 60×9) / 2|°
= |(22 - 540) / 2|°
= 259°
কিন্তু ঘড়ির দিকে তাকালে বুঝা যাবে যে এর মধ্যবর্তী কোণ এতবড় না। সেক্ষেত্রে 360° থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন কোন পরিমাপ করা যাবে। 
∴ উৎপন্ন কোণ = (360 - 259)° = 101°

শেষের ১ মিনিটে ১২ ফুট উঠে বাশেঁর মাথায় উঠে গেলে পরের মিনিটে আর নামবে না। অর্থাৎ, বাকি (৯২-১২) = ৮০ ফুট উঠানামার মাধ্যমে উঠতে হবে।
প্রতি ২ মিনিটে ওঠে (১২-৮) = ৪ ফুট
৪ ফুট উঠতে সময় লাগে ২ মিনিট
∴ ১〃   〃     〃    〃 ২/৪ 〃
∴ ৮০〃〃     〃    〃 (২×৮০)/৪〃
                        = ৪০ মিনিট
মোট সময় লাগে (৪০+১) = ৪১ মিনিট।

প্রশ্ন: আকাশ একটি ক্লাসে সামনে থেকে ১২ তম এবং পিছন থেকে ৪০ তম হলে, শ্রেণীতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
মোট সংখ্যা = (সামনে থেকে তম + পিছন থেকে তম) - ১
= (১২ + ৪০) - ১
= ৫২ - ১
= ৫১

∴ শ্রেণীতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৫১ জন

একটি ত্রিভুজের ভিতর একটি ত্রিভুজ থাকলে ৫ হয়।
তারপর যতগুলো ত্রিভুজ সৃষ্টি হয় প্রতিটির জন্য ৪ হয়।
এখানে, ভেতরে ১৬টি আলাদা ত্রিভুজ রয়েছে।

ত্রিভুজ বের করার সূত্রঃ (n×2) - 5

সুতরাং, (16×2) - 5 = 27

প্রশ্ন: ২৮০ মিটার দীর্ঘ একটি মালবাহী ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে ৩০ সেকেন্ড একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ট্রেনের বেগ = ৭২ কিলোমিটার/ঘণ্টা
= (৭২ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ১ সেকেন্ডে যায় = ২০ মিটার
 ∴ ৩০ সেকেন্ডে যায় (২০ × ৩০) = ৬০০ মিটার

 ∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = ৬০০ - ২৮০ = ৩২০ মিটার

মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'ক' টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (১২০-ক) টি।
প্রশ্নমতে, ক × ১ + (১২০-ক) × ২ = ১৯০
বা, ক + ২৪০ - ২ক = ১৯০
বা, ক = ২৪০-১৯০
বা, ক = ৫০
সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা ৫০ টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (১২০-৫০) বা, ৭০ টি।

প্রশ্ন: একটি সারিতে সামির ক্রম যদি উভয়দিক থেকেই ২১ হয়, তাহলে উক্ত সারির সদস্যসংখ্যা কত?

সমাধান:
কোনো একটি সারিতে যদি কোনো ব্যক্তির অবস্থান উভয় প্রান্ত (বাম ও ডান) থেকে জানা থাকে, তবে সারির মোট সদস্য সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:

মোট সদস্য সংখ্যা = (বাম দিক থেকে অবস্থান) + (ডান দিক থেকে অবস্থান) - ১

∴ সারির সদস্য সংখ্যা = (২১ + ২১) - ১
= ৪১ 

প্রশ্ন: ০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ?

সমাধান:
০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ০.০০০০৬৪

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখ্যায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুণফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের পাঁচগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১২ ঘণ্টা সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে?

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৫x ঘণ্টা

∴ মোট যাতায়াতের সময় = x + ৫x = ১২
⇒ ৬x = ১২
⇒ x = ১২ ÷ ৬
∴ x = ২ ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির ২ ঘণ্টা সময় লাগে।

প্রশ্ন: ১২০০ জনের একটি দলে দলনেতাসহ সৈন্যরা ট্রেনে ভ্রমণ করছে। প্রতি ১৫ জন সৈন্যের জন্য একজন দলনেতা থাকলে দলে মোট কতজন দলনেতা আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রতি ১৫ জন সৈন্যের জন্য ১ জন দলনেতা থাকে।

ধরি, দলনেতার সংখ্যা = ক জন
তাহলে সৈন্যের সংখ্যা = ১৫ক জন ; [কারণ প্রতি ১৫ সৈন্যে ১ দলনেতা]

মোট লোক = সৈন্য + দলনেতা
⇒ ১২০০ = ১৫ক + ক 
⇒ ১৬ক = ১২০০
⇒ ক = ১২০০/১৬
∴ ক = ৭৫

সুতরাং, দলে মোট ৭৫ জন দলনেতা আছে।

প্রশ্ন: P পাত্রের ধারনক্ষমতা, Q পাত্রের তিনগুণ। একটি খালি ড্রাম P পাত্র দ্বারা 60 বারে পূর্ণ হয়। যদি P ও Q উভয় দ্বারা একসাথে ড্রামটি পূর্ণ করতে হয়, তবে কত বারে সেটি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
Q পাত্রের ধারণক্ষমতা x একক।
∴ P পাত্রের ধারণক্ষমতা 3x একক। 

∴ ড্রামটির মোট আয়তন = P পাত্রের ধারণক্ষমতা × 60 বার
= 3x × 60
= 180x একক

এবং, P ও Q পাত্র দুটি একত্রে একবার ব্যবহার করলে মোট পানি ধরে = (3x + x) = 4x একক। 
 
∴ উভয় পাত্র দ্বারা ড্রামটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = মোট আয়তন/একত্রে ধারণক্ষমতা
= 180x/4x
= 45 বার

সুতরাং, উভয় পাত্র দ্বারা ড্রামটি পূর্ণ করতে 45 বার লাগবে।

প্রশ্ন: যদি কোনো বছরের জানুয়ারি মাসের ৩ তারিখ রবিবার হয়, তবে ঐ মাসে মোট কতটি সোমবার হবে?
 
সমাধান: 
৩ তারিখ রবিবার হলে, পরের দিন অর্থাৎ ৪ তারিখ হবে প্রথম সোমবার।
প্রতি ৭ দিন অন্তর একই বার ফিরে আসে। সেই অনুযায়ী সোমবারগুলো হলো, 
১ম সোমবার =  ৪ তারিখ
২য় সোমবার = ৪ + ৭ = ১১ তারিখ
৩য় সোমবার = ১১ + ৭ = ১৮ তারিখ
৪র্থ সোমবার = ১৮ + ৭ = ২৫ তারিখ
৫ম সোমবার = ২৫ + ৭ = ৩২ তারিখ 

যেহেতু জানুয়ারি মাস ৩১ দিনের হয়, তাই ৩২ তারিখ এই মাসের অন্তর্ভুক্ত নয়।

সুতরাং, জানুয়ারি মাসের ৩ তারিখ রবিবার হলে, ঐ মাসে মোট ৪টি সোমবার হবে।

প্রশ্ন: ৫০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলে মিশ্রণের অনুপাত ৭ : ৩ । ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত ৭ : ৮ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​মিশ্রণের অনুপাত = ৭ : ৩
​মোট অংশ = ৭ + ৩ = ১০
​
​মিশ্রণে কেরোসিনের পরিমাণ = ৫০ এর (৭/১০) = ৩৫ লিটার
​পেট্রোলের পরিমাণ = ৫০ এর (৩/১০) = ১৫ লিটার 
​
​ধরি,
​পেট্রোল মেশাতে হবে = ক লিটার 
​
​প্রশ্নমতে,
​৩৫/(১৫ +ক) = ৭/৮
⇒ ​৭(১৫ + ক) = ৩৫ × ৮
​ ⇒ ১০৫ + ৭ক = ২৮০
​ ⇒ ৭ক = ২৮০ - ১০৫
 ⇒ ​৭ক = ১৭৫
 ⇒ ​ক = ১৭৫/৭ 
​ ⇒ ক = ২৫ 
​
​∴ পেট্রোল মেশাতে হবে = ২৫ লিটার 

প্রশ্ন: একটি ঘড়িতে ৯টা ২০ মিনিট বাজে। ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
ঘড়ির কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ (θ) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ম
ধ্যবর্তী কোণ, θ = | (১১M - ৬০H)/২ |
= | (১১ × ২০ - ৬০ × ৯)/২ |
= | (২২০ - ৫৪০)/২ |
= | -৩২০/২ |
= | -১৬০ |
= ১৬০°

অতএব, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি হলো ১৬০°।

প্রশ্ন: যখন গ্রিনিচ মান সময় (GMT) রাত ৮:০০ টা, তখন ৬০° দক্ষিণ অক্ষাংশে স্থানীয় মান কত?

সমাধান:
 স্থানীয় মান সময় (Local Mean Time, LMT) নির্ভর করে অক্ষাংশে নয়, দেশের দ্রাঘিমাংশে (longitude)।
কিন্তু এখানে শুধুমাত্র ৬০° দক্ষিণ অক্ষাংশ বলা হয়েছে, কোন দ্রাঘিমাংশের তথ্য নেই। অতএব, দক্ষিণ বা উত্তর অক্ষাংশ দ্বারা GMT-এর সাথে সময়ের পার্থক্য নির্ধারণ করা যায় না। তাই সেখানেও একই সময় নির্দেশ করবে। অর্থাৎ  রাত ৮ : ০০ টা।

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের গতি সেকেন্ডে ৩০ মিটার হলে, গাড়িটির ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
গাড়ির গতি = ৩০ মিটার/সেকেন্ড
= ৩০ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
= (৩০ × ১৮)/৫
= ১০৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, গাড়িটির ঘন্টায় গতিবেগ ১০৮ কি.মি. প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। একবারও টেল না আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
মুদ্রা নিক্ষেপ করলে প্রতিবার ২টি ফলাফল হয়: H বা T 
∴ তিনবার নিক্ষেপে মোট ফলাফল = 2³ = 8 (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) 
∴ মোট ফলাফল = 8 টি 

এখন, 
একবারও টেল না আসা মানে তিনবারই হেড আসা অর্থাৎ, HHH
∴ অনুকূল ফলাফল = 1 টি

∴ একবারও টেল না আসার সম্ভাবনা = 1/8

প্রশ্ন: এখন জুন মাস হলে এখন থেকে ৫০ মাস পর কোন মাস হবে?

সমাধান:
বর্তমান মাস = জুন

যে কোনো মাস হতে ১২ মাস পর পর (১৩তম মাসে) একই মাস পাওয়া যায়।
অর্থাৎ আগামী ১৩, ২৫, ৩৭ এবং ৪৯তম মাস হবে জুন মাস।

৪৯ তম মাস হবে জুন।
৫০ তম মাস হবে জুলাই।
৫১ তম মাস হবে আগস্ট।

সুতরাং ৫০ মাস পর হবে আগস্ট মাস।

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট ম্যাচে একটি দলের ১১ জন ব্যাটসম্যানের প্রত্যেকে নিজের প্রথম বলেই বোল্ড আউট হয়েছে। ওভারপ্রতি ৬ বল ধরা হলো। একমাত্র নট-আউট ব্যাটসম্যান কোন নম্বর ব্যাটসম্যান?

সমাধান:
১ম ওভারে আউট হবে- ১ম, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম , ৬ষ্ঠ, ৭ম ব্যাটসম্যান।
​২য় ওভারে আউট হবে- ২য়, ৯ম, ১০ম, ১১তম ব্যাটসম্যান। 
​
∴ ​একমাত্র নটআউট ব্যাটসম্যান = ৮ম ব্যাটসম্যান। 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৫% যদি ০.০০৩ হয় তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৫% = ০.০০৩
⇒ ৫ক/১০০ = ০.০০৩
⇒ ৫ক = ০.০০৩ × ১০০ 
⇒ ৫ক = ০.৩
⇒ ক = ০.৩/৫
⇒ ক = (০.৩ × ১০০)/(৫ × ১০০)
⇒ ক = ৩০/(৫ × ১০০)
⇒ ক = ৬/১০০
⇒ ক = ০.০৬ 

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত পেন্টাগনের কয়টি আবর্তনীয় প্রতিসাম্য রেখা থাকে?

সমাধান:
একটি নিয়মিত পেন্টাগন (Regular pentagon) এর প্রতিসাম্য রেখা (lines of symmetry) = ৫টি
আবর্তনীয় প্রতিসাম্য (rotational symmetry) রেখা = ঘূর্ণন করলে এটি নিজেকে ৫ বার পুনরায় মিলে যায়, অর্থাৎ ৫টি অবস্থানে। 

অতএব, আবর্তনীয় প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা = ৫।

Question: A man has 53 socks in his drawer 21 identical blue, 15 identical black and 17 identical red. The lights are fused and it is completely in the dark. How many socks must he take out to make 100 percent certain he has a pair of black socks?

Solution: 
নীল মোজা = 21টি 
কালো মোজা = 15টি 
লাল মোজা = 17টি 
নীল ও লাল মোজা = 21 + 17 = 38 টি 

38টি মোজা নিলেও নিশ্চিত হওয়া যাবে না এখানে কালো মোজা আছে। 

ঐ 15টি কালো মোজা নিশ্চিত হওয়ার জন্য আরো 2টি তুলতে হবে। 

মোট মোজা উত্তলোন করতে হবে = 38 + 2 = 40 টি 

প্রথম পাইপ প্রতি ঘন্টায় পূর্ণ করে ১/৩০ অংশ এবং
দ্বিতীয় পাইপ প্রতি ঘন্টায় পূর্ণ করে ১/৪৫ অংশ৷
উভয়ে একত্রে প্রতি ঘন্টায় পূর্ণ করে
= (১/৩০)+(১/৪৫)
=(৬+৪)/১৮০
= ১/১৮ অংশ৷
সুতরাং, সম্পূর্ণ ট্যাংক পূর্ণ করতে লাগবে
=১/(১/১৮)
=১৮ ঘন্টা৷

ধরি, এককের অংক y এবং দশকের অংক x
তাহলে সংখ্যাটি হবে = 10x + y.
সংখ্যাগুলোর অবস্থান পরিবর্তন করে পাই = 10y + x.
অর্থাৎ, (10x + y) + (10y + x) = 11(x + y) - এই সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য 

এখন - ১ম ট্যাবলেট,
৩০ মি: পর - ২য় ট্যাবলেট,
৩০ মি: পর - ৩য় ট্যাবলেট
৩০ মি: পর - ৪র্থ ট্যাবলেট,
৩০ মি: পর - ৫ম ট্যাবলেট
∴ মোট সময় লাগবে = (৩০ + ৩০ + ৩০ + ৩০) বা ১২০ মিনিট বা ২ ঘন্টা।

প্রশ্ন: হাসানের কাছে দশটি ৫০ পয়সার মুদ্রা, ৮টি ২৫ পয়সার মুদ্রা আছে। আর কয়টি ১০ পয়সার মুদ্রা হলে মোট ১০ টাকা হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১০০ পয়সা = ১ টাকা

৫০ পয়সার মুদ্রায় মোট টাকা = (৫০/১০০) × ১০ = ৫ টাকা
২৫ পয়সার মুদ্রায় মোট টাকা = (২৫/১০০) × ৮ = ২ টাকা

৫০ পয়সা ও ২৫ পয়সায় মোট টাকা = ৫ + ২ টাকা
= ৭ টাকা

∴ ১০ টাকা হতে ১০ পয়সার মুদ্রা লাগবে = {১০ - ৭}/০.১০
= ৩/০.১০
= ৩০ টি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৬ : ৫ এবং গভীরতা ০.৮ মিটার। ট্যাংকে সর্বোচ্চ ৩৮৪০০০ লিটার পানি ধরে। ট্যাংকের দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান:
আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার
∴ ৩৮৪০০০ লিটার = ৩৮৪ ঘনমিটার

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৬ক মিটার
প্রস্থ = ৫ক মিটার
এবং গভীরতা = ০.৮ মিটার (দেওয়া আছে)

আমরা জানি,
ট্যাংকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা

প্রশ্নমতে,
৬ক × ৫ক × ০.৮ = ৩৮৪
⇒ ৩০ক^২ × ০.৮ = ৩৮৪
⇒ ২৪ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২ = ৩৮৪/২৪ = ১৬
⇒ ক = √১৬
∴ ক = ৪

∴ দৈর্ঘ্য = ৬ক = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

অতএব, ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।