সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 5 : 25 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {| 11M - 60H |}/2
= {| (11 × 25) - (60 × 5) |}/2
= {| 275 - 300 |}/2
= {| - 25 |}/2
= 25/2
= 12.5

∴ ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = 12.5°

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতন হয়? 

সমাধান: 
​12 ঘণ্টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা মোট ১১ বার সমাপতন করে। 
কারণ, 12:00 থেকে শুরু করলে প্রথম সমাপতন ঘটে 12:00-এ এবং শেষ সমাপতন 11:00-এ, 12:00-এ আবার গণনা হয় না। 
তাই 12 ঘণ্টায় = 11 বার সমাপতন হয়। 
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতন হয় = (১১ × ২) বার 
= ২২ বার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ২০ মিনিট ৪৫ mph গতিতে চলার পর ৪০ মিনিট ৬০ mph গতিতে চলে। সম্পূর্ণ যাত্রার গড় বেগ কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম অংশ, ৪৫ mph বেগে ২০ মিনিট চলে 
দ্বিতীয় অংশ, ৬০ mph বেগে ৪০ মিনিট চলে

এখন, 
২০ মিনিট = ২০/৬০ = ১/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৪৫ × (১/৩) = ১৫ মাইল
এবং 
৪০ মিনিট = ৪০/৬০ = ২/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৬০ × (২/৩) = ৪০ মাইল

∴ মোট দূরত্ব = ১৫ + ৪০ = ৫৫ মাইল
এবং মোট সময় = ২০ + ৪০ = ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়   
= ৫৫ ÷ ১   
= ৫৫ mph

∴ সম্পূর্ণ পথের গড় গতিবেগ ৫৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ২০০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. গতিবেগে চললে, ১৬০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি সেতু অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য
= (২০০ + ১৬০) মিটার
= ৩৬০ মিটার

দেওয়া আছে,
ট্রেনের গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা 
= (৭২ × ১০০০) / (৬০ × ৬০) মিটার/সেকেন্ড
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

ট্রেনটি,
২০ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে = ১/২০ সেকেন্ডে 
∴ ৩৬০ মিটার অতিক্রম করে = (১ × ৩৬০)/২০ সেকেন্ডে 
= ১৮ সেকেন্ডে

∴ ট্রেনটির ১৮ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সবচেয়ে ছােট সংখ্যা?

সমাধান:
এখানে,
১৮/৩৬ = ০.৫
৪/১২ = ০.৩৩৩
৫/৩ = ১.৬৬৭
১৬/৩১ = ০.৫১৬

সবচেয়ে ছােট সংখ্যা ৪/১২

A এবং C একত্রে ১৯/২৩ অংশ কাজ শেষ করার পরে
বাকী কাজ থাকে(১ - ১৯/২৩) = ৪/২৩ অংশ যা B করে
মোট টাকা ৫২৯ 
∴ B পাই = (৫২৯ এর (৪/২৩)) = ৯২ টাকা

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ২৫ ও ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/২৫ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/৩০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা একত্রে এক ঘণ্টায় পূর্ণ হয়= (১/২৫ + ১/৩০) অংশ
= (৬ + ৫)/১৫০ অংশ
= ১১/১৫০ অংশ
= ১/৬ অংশ

১১/১৫০ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১৫০/১১) ঘণ্টায় 

∴ নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি (১৫০/১১) ঘণ্টায় পানি দ্বারা পূর্ণ হবে।

প্রশ্ন: ২ টা ১৫ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = ।(11 M - 60 H)/2।°   [এখানে, M=30 মিনিট, H= 2 ঘণ্টা ]
= । (১১ × ১৫ - ৬০ × ২)/২।°
= ।(১৬৫ - ১২০)/২।°
=।৪৫/২।°
= (৪৫/২)°

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ৩/৫ × ৩১৫ = ৩ × ৬৩ = ১৮৯
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ২/৩ × ৩১৫ = ২ × ১০৫ = ২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার
x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে বুলেটের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,
x/১৫৪০ + x/১১০০ = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা, ১২x = ৩ × ৭৭০০ = ২৩১০০
বা, x = ১৯২৫

প্রশ্ন: গ সপ্তাহ এবং ১৩গ দিনে মোট কতদিন হয়?

সমাধান: 
গ সপ্তাহে মোট দিন = ৭গ দিন

তাহলে, 
গ সপ্তাহ এবং ১৩গ দিনে মোট দিন = (৭গ + ১৩গ) দিন
= ২০গ দিন

প্রশ্ন: মোট ৫২৪ টি ১০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মুদ্রা মিলে ৭১ টাকা হলে ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
​২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = ক টি 
​১০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = (৫২৪ - ক) টি 
​
​প্রশ্নমতে,
​(২৫ক/১০০) + {(৫২৪ - ক)১০/১০০} = ৭১
​⇒ (২৫ক + ৫২৪০ - ১০ক)/১০০ = ৭১
​⇒ ​১৫ক + ৫২৪০ = ৭১০০
⇒ ​১৫ক = ৭১০০ - ৫২৪০
⇒ ​১৫ক = ১৮৬০
⇒ ​ক = ১৮৬০/১৫
​​⇒ ​ক = ১২৪
​
∴ ​২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = ১২৪ টি 

প্রশ্ন: যদি a^p = b, b^q = c এবং c^r = a হয়, তবে pqr = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a^p = b
⇒ log a^p = log b
⇒ p log a = log b
∴ p = log b/log a

অনুরুপভাবে,
q = log c/log b এবং r = log a/log c

প্রদত্ত রাশি,
pqr = (log b/log a) × (log c/log b) × (log a/log c)
∴ pqr = 1

ধরি, নারী যাত্রীর সংখ্যা ক এবং পুরুষের সংখ্যা ২ক
হবিগঞ্জ আসার পর, ২ক - ১২ = ক + ৫
বা, ক = ১৭
তাহলে, মোট যাত্রী সংখ্যা = (১৭+ ১৭×২) = ৫১ জন

বানরটি শেষের ১ মিনিটে ৩ মিটার উঠার পর আর নিচে নামবে না।
বানরটি দুই মিনিটে উঠে ১ মিটার, সুতরাং বাকি ১২ - ৩ = ৯ মিটার উঠে ১৮ মিনিটে।
অর্থাৎ, বাশ বেয়ে উপরে উঠতে সময় লাগবে ১৯ মিনিট।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২
∴ ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৮০ × (৮০ + ১)}/২
= (৮১ × ৮০)/২
= ৮১ × ৪০
= ৩২৪০

S.P. = 85% of 1400 = 1190

প্রশ্ন: ২০১৯ সালের ১৫ জানুয়ারি শুক্রবার হলে, একই বছরের ১৭ মার্চ কী বার ছিল?

সমাধান: 
২০১৯ সালের ১৫ জানুয়ারি থেকে ১৭ মার্চ পর্যন্ত (৩১ - ১৫) = ১৬ + ২৮ + ১৭ = ৬১ দিন 

৬১ ÷ ৭ = ভাগফল ৮, ভাগশেষ ৫

∴ ১৭ মার্চ হবে = শুক্রবার + ৫ দিন = বুধবার।