বীজগণিত

১১ জনের মোট ওজন = ১১×৮০ = ৮৮০ কেজি।
১ জন চলে গেলে ১০ জনের মোট ওজন = (৮৮০-৯০) = ৭৯০ কেজি।
সুতরাং ১০ জনের গড় ওজন = ৭৯০/১০ = ৭৯ কেজি।

প্রশ্ন: x² - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x + 3)(x - 4)

১ম পদ a = 1,
শেষ পদ = 51,
সাধারণ অন্তর d = 2
∴ পদ সংখ্যা = (51 - 1)/2 + 1
= 26
∴ সমষ্টি = 26/2{2.1 + (26 - 1)2}
= 13 × (2 + 50)
= 13 × 52
∴ গড় = (13 × 52)/26
= 26

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = r
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d 

শর্তমতে,
a + 12d = 77

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = (25/2){2a + (25 - 1)d} 
= (25/2)(2a + 24d) 
= (25/2) × 2(a + 12d) 
= (25/2) × 2 × 77 
= 25 × 77 
= 1925

প্রশ্ন: a² - 2a + 1 = 0 হলে a⁸ - 1/a⁸ এর মান কত?

সমাধান:
a² - 2a + 1 = 0
⇒ (a - 1)² = 0
⇒ a = 1

তাহলে,
a⁸ - 1/a⁸ ​
= 1⁸ - 1/1⁸
​= 1 - 1
= 0

∴ a⁸ - 1/a⁸ এর মান = 0

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
a⁴ + 4
= a⁴ + 4 + 4a² - 4a²
= (a²)² + 2. a². 2 + (2)² - (2a)²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a) (a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

প্রশ্ন: |x + 2| = |x - 1| হলে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
|x + 2| = |x - 1|
বা,  |x + 2|² = |x - 1|²    [|a|² = a²]
বা, (x + 2)² = (x - 1)² 
বা, x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1 
বা, 6x = - 3 
বা, x = - 3/6 
∴ x = - 1/2 

সংখ্যাটি a হলে,
a - 1/a = √5
∴ a² - 1/a² = ?
এখন,
(a + 1/a)² = (a - 1/a)² + 4.a.1/a
= (√5)² + 4
= 5 + 4
= 9
বা, a + 1/a = 3

∴ a² - 1/a² = (a + 1/a)(a - 1/a)
= 3√5

১২ তম পদ = ‍a+(12-1)d = 77
a+11d = 77
প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 23/2{2a+(23-1)d}
= 23/2{2a+22d}
= 23(a+11d)
= 23 x 77
= 1771

প্রশ্ন: p³ + p²q এবং p²q + pq² এর ল.সা.গু কোনটি?  

সমাধান:
প্রথম রাশি = p³ + p²q
= p²(p + q)

দ্বিতীয় রাশি= p²q + pq²
= pq(p + q)

∴ ল.সা.গু.= p²q(p + q)

A′ = U - A = {1,2,3,4,5,6} - {1,2,3} = {4,5,6}
B′ = U - B = {1,2,3,4,5,6} - {2,4,6} = {1,3,5}
∴ A′ ∩ B′ = {4,5,6} ∩ {1,3,5} = {5}

দেখা যাচ্ছে যে, তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + প্রথম পদ = ১ + ১ =২
আবার, চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + দ্বিতীয় পদ = ২ + ১ = ৩
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + তৃতীয় পদ = ৩ + ২ = ৫
--------------------
নবম পদ = অষ্টম পদ + সপ্তম পদ = ২১ + ১৩ = ৩৪
দশম পদ = নবম পদ + অষ্টম পদ = ৩৪ + ২১ = ৫৫

প্রশ্ন: x³ - x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - x² + ax - 12
যেহেতু (x - 3) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 3 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(3) এর মান নির্ণয় করি,
f(3) = (3)³ - (3)² + a(3) - 12
= 27 - 9 + 3a - 12
= 18 + 3a - 12
= 3a + 6

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 3a + 6 = 0
⇒ 3a = - 6
∴ a = - 2

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
পদ সংখ্যা, n = (51-1)/2 + 1 = 26
n তম পদ = 51
∴ সমষ্টি, S = 26(51+1)/2 = 676

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?  

সমাধান:
n তম পদ, a_n​ = 101,
প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 101 = 11 + (n - 1) × 5 [মান বসিয়ে]
⇒ 101 - 11 = (n - 1) × 5
⇒ 90 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 90/5
⇒ n - 1 = 18
⇒ n = 18 + 1
∴ n = 19

∴ 19 তম পদটি 101 হবে।

প্রশ্ন: 2x³ + x² - qx + 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x + 3) হলে, q এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + x² - qx + 6

যেহেতু (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক,
∴ x + 3 = 0
⇒ x = - 3 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন,
f(- 3) = 2(- 3)³ + (- 3)² - q(- 3) + 6
= 2(- 27) + 9 + 3q + 6
= - 54 + 9 + 3q + 6
= - 39 + 3q

শর্তমতে, f(- 3) = 0
⇒ - 39 + 3q = 0
⇒ 3q = 39
⇒ q = 39/3
⇒ q = 13

∴ q এর মান = 13

আমরা জানি,
(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
বা, (x + y)^2 = (4)^2 + 4 × 60
বা, (x + y)^2 = 256
বা, x + y = ±√256
∴ x + y = ±16

2x² + x - 3
= 2x² + 3x - 2x - 3
= x(2x + 3) - 1(2x + 3)
= (2x + 3)(x - 1)
= (x - 1)(2x + 3)

3/(x - 1) + 2/(x - 2) = 5/(x - 3)
বা, 3/(x - 1) + 2/(x - 2) = 3/(x - 3) + 2/(x - 3)
বা, 2/(x - 2) - 2/(x - 3) = 3/(x - 3) - 3/(x - 1)
বা, 2(x - 3 - x + 2)/(x - 2)(x - 3) = 3(x - 1 - x + 3)/(x - 3)(x - 1)
বা, -2/(x - 2) = 6/(x - 1) [উভয়পক্ষকে (x - 3) দ্বারা গুণ করে]
বা, -1/(x - 2) = 3/(x - 1) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, 3x - 6 = -x + 1
বা, 4x = 7
∴ x = 7/4

∴ f(x) = 2x² - ax - 3 এর একটি উৎপাদক x + 1
∴ f(-1) = 0
বা, 2 + a - 3 = 0
বা, a - 1 = 0
∴ a = 1

n(A∪B) = 100, n(A) = 80, n(A∩B) = 25,  n(B) =?
∴ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
বা, 100 = 80 + n(B) - 25
বা, n(B) = 100 - 80 + 25 = 45

প্রশ্ন: x - 9 > 3x + 1 এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
x - 9 > 3x + 1
বা, x - 9 - 3x > 3x + 1 - 3x
বা, - 2x - 9 > 1
বা, - 2x - 9 + 9 > 1 + 9
বা, - 2x > 10
বা, - 2x/2 > 10/2
বা, - x > 5
বা, (- x)(- 1) < 5(- 1)
   x < - 5 

(x-5) (a+x) = x²-25
⇒ (x-5) (a+x) = (x-5) (x+5)
⇒ a+x = x+5
∴ a = 5

প্রশ্ন: 9x² + 12x + 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
9x² + 12x + 4 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 9
b = x এর সহগ = 12
c = ধ্রুবক = 4

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (12)² - 4 × 9 × 4
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b² - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b² - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১ ও ২৭ এর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো হলো- ১,৪, ৯, ১৬, ২৫

∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ২৫)/৫
= ৫৫/৫
= ১১

এখানে, f(x) = x³ - 21x -20
∴ f(-1) = 0
∴ x + 1, f(x) এর একটি উৎপাদক

প্রশ্ন: যদি a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তবে m³ + 2p³ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p<sup>3

প্রদত্ত রাশি,</sup> 
m³ + 2p³ 
= (a + b)³ + 2(a³ + b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
= 3a²(a + b) + 3b²(a + b)
= 3(a² + b²)(a + b)
= 3mn

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 6 হলে, x-এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x - 2| ≤ 6
বা, - 6 ≤ x - 2 ≤ 6 
বা, - 6 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 6 + 2
বা, - 4 ≤ x ≤ 8 

∴ x -এর সর্বোচ্চ মান = 8

3/(x + 1) + 4/(2 - x) = 0
বা, 3/(x + 1) = -{4/(2 - x)}
6 - 3x = (-4x) - 4
বা, 4x - 3x = (-4) - 6
∴ x = -10