বীজগণিত

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

মোট বল = ২৪ টি
সাদা বল = ৮ টি
∴ বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩
∴বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৩ = ২/৩

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 এবং 5 হলে, সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x² - (3)x + (- 10) = 0
⇒ x² - 3x - 10 = 0

১ম পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 5P₁ = 5
২য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 4P₁ = 4
৩য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 3P₁ = 3
তাহলে, তিনটি পরিবার দখল করতে পারে 5 x 4 x 3 = 60 উপায়ে

(x - 1)^-1 = (-1)^-1
বা, x - 1 = -1
∴ x = 0

প্রশ্ন: x - 11 < 4x + 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x - 11 < 4x + 1
⇒ - 11 - 1 < 4x - x
⇒ - 12 < 3x
⇒ - 4 < x
∴ x > - 4

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অংক ক
একক স্থানীয় অংক (ক + ৩)
সংখ্যাটি = ১০ক + (ক + ৩) = ১১ক + ৩

প্রশ্নমতে, 
১১ক + ৩ = ৩(ক + ক + ৩) + ৪
বা ১১ক = ৬ক + ৯ + ৪ - ৩
বা ৫ক = ১০
∴ক = ২

∴সংখ্যাটি = ১১ × ২ + ৩ = ২৫

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা = x জন

প্রথম ক্ষেত্রে:
৫ জন বসে ১টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে x/৫ টি বেঞ্চে
এবং ২টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/৫) + ২

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
৪ জন বসে ১টি বেঞ্চে
এবং ৮ জন দাঁড়িয়ে থাকে
∴ বসে = (x - ৮) জন
∴ বেঞ্চ লাগে = (x - ৮)/৪ টি

প্রশ্নমতে,
(x/৫) + ২ = (x - ৮)/৪
বা, (x + ১০)/৫ = (x - ৮)/৪
বা, ৪x + ৪০ = ৫x - ৪০
বা, ৫x - ৪x = ৪০ + ৪০
∴ x = ৮০

log_a400=4
⇒a⁴=20²
⇒a⁴=(4×5)²
⇒a⁴=2⁴×(√5)⁴
⇒a=2√5

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36 
বা, 2x = 36 - 4 
বা, 2x = 32 
বা, x = 32/2 
∴ x = 16 
∴ একটি সংখ্যা = 16 

এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4 
= 20 

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20  ।

B-A = {5, 6, 7, 8, 10} - {3, 4, 5, 6, 7}
= {8, 10}

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
= log₃3√3
= log₃3 + log₃√3
= 1 + log₃ 3^1/2
= 1 + (1/2)log₃ 3
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= (16)² - 4 X 48
= 256 - 192
= 64
∴ x - y = √64 = 8

প্রশ্ন: {(2x - 1)/5} + 1 = (x - 1)/10 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
{(2x -1)/5} + 1 = (x - 1)/10
⇒ (2x - 1 + 5)/5 = (x - 1)/10
⇒ (2x + 4)/5 = (x - 1)/10
⇒ 10(2x + 4) = 5(x - 1)
⇒ 20x + 40 = 5x - 5
⇒ 20x - 5x = - 5 - 40 
⇒ 15x = - 45
⇒ x = - 45/15
⇒ x = - 3

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

এখানে,
বাংলায় কথা বলে n(B) = ১২ জন
ইংরেজিতে কথা বলে n(E) = ৮ জন
উভয় ভাষায় কথা বলে n(B ∩ E) = ৬ জন
∴ যেকোন একটি ভাষায় কথা বলে,
n(B ∪ E) = n(B) + n(E) - n(B ∩ E)
= ১২ + ৮ - ৬
= ১৪
∴ কোন ভাষায় কথা বলতে পারেনা = ২৪ - ১৪
= ১০ জন

প্রশ্ন: 27√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
ধরি, log₃(27√3) = x
⇒ 3^x = 27√3
⇒ 3^x = 3³ . 3^1/2
⇒ 3^x = 3^{(3 + 1/2)}
⇒ 3^x = 3^7/2
∴ x = 7/2

ALGEBRA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে যার মধ্যে 2 টি A এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রতিবার 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস এর ক্ষেত্রে-
(i) 2 টি A এবং 1 টি ভিন্ন বর্ণ
(ii) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন
(i) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 1 × ⁵c₁ × 3!/2! = 15
(ii) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
∴ সাজানোর মোট উপায় = 15 + 120 = 135

প্রশ্ন: কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ = 1/{n(n + 1)} 
∴ অনুক্রমের ৫ম পদ = 1/{5 × (5 + 1)}
= 1/(5 × 6)
= 1/30

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ১২ + ২৪ + ... ধারাটির ৮ম পদটি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অনুপাত r = ৬ ÷ ৩ = ২

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - ১}

∴ ৮ম পদ = ৩ × ২^{৮ - ১}
= ৩ × ২^৭
= ৩ × ১২৮
= ৩৮৪

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

Given, x² + 1/x² = 4
Or, (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 4
Or, (x + 1/x) = √6

Now, (x - 1/x)²
= (x + 1/x)² - 4.x.1/x
= (√6)² - 4 = 2
Or, x - 1/x = √2

∴ (x² − 1/x²)³
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}³
= (√6. √2)³
= 12√12
= 24√3

x = log₁₆4
বা, 16^x = 4
বা, 4^2x = 4¹
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2