বীজগণিত

প্রশ্ন: 4, 16 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ 4, 16 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 16 × 64)^1/3
= (2² × 2⁴ × 2⁶)^1/3
= (2¹²)^1/3
= 2⁴
= 16

প্রশ্ন: যদি, f(x) = (1 + x² + x⁴)/x² হয়, তবে f(1/2) =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(x) = (1 + x² + x⁴)/x² 
f(1/2) = {1 + (1/2)² + (1/2)⁴}/(1/2)² 
= {1 + (1/4) + (1/16)}/(1/4)
= {(16 + 4 + 1)/16}/(1/4)
= (21/16)/(1/4)
= (21/16)/(4/1)
= 21/4

5, 6 এবং m, n এই অঙ্ক এবং বর্ণগুলো দ্বারা 4 উপাদান বিশিষ্ট password তৈরি করা যাবে = 4⁴ = 256 টি

প্রশ্ন: x + y = √11 এবং x - y = √3 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²}{(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

প্রশ্ন: |2x + 4| ≤ 12 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|2x + 4| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 2x + 4 ≤ 12
⇒ - 12 - 4 ≤ 2x + 4 - 4 ≤ 12 - 4
⇒ - 16 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 16/2 ≤ 2x / 2 ≤ 8/2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 8, 4]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 8 থেকে 4 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি f(a) = a³ + ka² - 4a - 8 হয়, তাহলে k -এর কোন মানের জন্য f(- 1) = 0 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(a) = a³ + ka² - 4a - 8
⇒ f(- 1) = (- 1)³ + k (- 1)² - 4(- 1) - 8
⇒ f(- 1) = - 1 + k + 4 - 8
∴ f(- 1) = k - 5 

যেহেতু, 
f(- 1) = 0
⇒ k - 5 = 0
∴ k = 5

১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে মোট নম্বর = ৭০ x ১০০ = ৭০০০
৪০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ৪০ x ৬২.৫ = ২৫০০
তাহলে, ৬০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = ৭০০০ – ২৫০০ = ৪৫০০
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ৪৫০০/৬০ = ৭৫

 প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
{(2x + 3)/5} ≥ 3
 ⇒ 2x + 3 ≥ 15 
 ⇒ 2x ≥ 12 
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান = 6

প্রশ্ন: একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে চার কম। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০০ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কলামের সংখ্যা = ক 
সারির সংখ্যা = ক - ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক - ৪ = ১০০
⇒ ২ক = ১০৪
⇒ ক = ১০৪/২
∴ ক = ৫২

অতএব, কলামের সংখ্যা = ৫২
তাহলে, সারির সংখ্যা = ৫২ - ৪ = ৪৮

∴ গাছের মোট সংখ্যা = ৫২ × ৪৮ = ২৪৯৬ টি

প্রশ্ন: (x - 3)(x + b) = x² - 9 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x + b) = x² - 9
⇒ (x - 3)(x + b) = (x - 3)(x + 3)
⇒ x + b = x + 3
⇒ x + b - x = 3
∴ b = 3

এক্ষেত্রে,
বাছাই করার উপায় = ^{(13 - 3)}c_{(7 - 3)}
= ¹⁰C₄
= 210

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1)   ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

প্রশ্ন:

সমাধান:

(x² - 6x + 5)/(x² - 25)
= (x² - 5x - x + 5)/(x² - 25)
= {x(x-5) - 1(x-5)}/{(x-5)(x+5)}
= (x-5)(x-1)/(x-5)(x+5)
= (x−1)/(x+5)

প্রশ্ন: x² - (p + q)x + pq = 0 এর সমাধান সেট হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - (p + q)x + pq = 0
⇒ x² - px - qx + pq = 0
⇒ x(x - p) - q(x - p) = 0
⇒ (x - p)(x - q) = 0

হয়,
x - p = 0
∴ x = p

অথবা,
x - q = 0
∴ x = q

∴ x = p, q

সুতরাং সমাধান সেট = {p, q}

প্রশ্ন: যদি 2q = 2/q + 3 হয়, তবে 8q³ - 8/q³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2q = 2/q + 3
⇒ 2q - 2/q = 3
⇒ 2(x - 1/q) = 3
⇒ q - 1/q = 3/2

∴ 8q³ - 8/q³
= 8(q³ - 1/q³)
= 8 {(x - 1/q)³ + 3. q. 1/q(q - 1/q)}
= 8 {(3/2)³ + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

প্রশ্ন: যদি x - y = 14 এবং xy = 120 হয়, তাহলে x + y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x - y = 14
এবং xy = 120

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (14)² + 4 × 120
⇒ (x + y)² = 196 + 480
⇒ (x + y)² = 676
⇒ x + y = √676
∴ x + y = 26

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের ১৫ জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার ৪ জনকে নিয়ে কতটি ভিন্ন কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে ৩ জন নির্দিষ্ট সদস্য কমিটিতে রাখা যাবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি (15 - 3) = 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹²C₄
= 12!/{4! × (12 - 4)!}
= 12!/(4! × 8!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 8!)
= 495

a, b, c প্রত্যেকে বাস্তব সংখ্যা হলে,
(b + c). a = b.a + c.a [বিতরণ বিধি]
(a + b) + c = a + (b + c)[সহ সংযোগ বিধি]
a.b = b.a[বিনিময় বিধি]
(a.b).c = a.(b.c)[ সহসংযোগ বিধি]

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ = - ৭

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
১৫তম পদ, a_১৫ = ২ + (১৫ - ১) × (- ৭)
= ২ + ১৪ × (- ৭)
= ২ - ৯৮
= - ৯৬

x² = 3x
⇒ x² - 3x = 0
⇒ x(x - 3) =0
∴ x = 0, 3
সমাধান সেট = {0, 3}

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

প্রশ্ন: 3x + y = 13 এবং x + y = 5 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + y = 13 ...................(1)
x + y = 5 ...................(2)

(2) নং হতে পাই,
x + y = 5
⇒ x = 5 − y

এখন,
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 13
⇒ 3(5 − y) + y = 13
⇒ 15 - 3y + y = 13
⇒ 15 - 2y = 13
⇒ - 2y = 13 - 15 
⇒ - 2y = - 2 
∴ y = 1

ধরি, আম পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(A) এবং লিচু পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(B)
এখানে n(A) = 20, n(B) = 15 এবং n(A ∪ B) = 30, n(A ∩ B) = ?
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 30 = 20 + 15 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 35 - 30 = 5

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}

P(B) = {{0}, {3}, {0, 3}, ∅}

∴ P(A) - P(B) = {{1},{0, 1}}

যেহেতু, 1 জন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে, সেহেতু অবশিষ্ট 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে 3 সদস্য বিশিষ্ঠ কমিটি গঠন করা যায়,
^{(5 + 4)}C₃ উপায়ে।
= ⁹C₃
= 9!/{3! (9 - 3)!
= 9!/3!6!
= (9 × 8 × 7 × 6!)/ (3 × 2 × 1 × 6!)
= 84 উপায়ে

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
100% = 70% + 60% - 50% + x
⇒ x = 150% - 130%
⇒ x = 20%

প্রশ্ন: Q = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
Q-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
 = 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰
 - 1 = 1 - 1 = 0

এখানে, x = 1 - t বা, t = 1 - x আবার, y = 2t + 1 
বা, y = 2(1 - x) + 1
বা, y = 2 - 2x + 1
বা, y = 3 - 2x
∴ 2x + y = 3

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ aⁿ⁺⁵। যদি 5ম পদ 1024 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ aⁿ⁺⁵
5ম পদ = 1024
n = 5 হলে,
a_{5 ​}= a^{5 + 5} = a¹⁰

প্রশ্নমতে, 
a¹⁰= 1024
⇒ a¹⁰ = 2¹⁰
⇒ a = 2

∴a এর মান 2