বীজগণিত

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: যদি 3ln(1/x) = ln8 হয়, তাহলে x = ?

সমাধান:
3ln (1/x) = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ (1/x)³ = 8
⇒ x^-3 = 8
⇒ (x^-3)^-1/3 = 8^-1/3
⇒ x = 1/2

প্রশ্ন: log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x 
⇒ log₁₀ {(x + 6)/(x + 2)} = log₁₀ x 
⇒ (x + 6)/(x + 2) = x
⇒ x² + 2x = x + 6
⇒ x² + 2x - x - 6 = 0
⇒ x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = 2, - 3
∴ x = - 3; log₁₀(- 3) যা অসম্ভব ⇒ গ্রহণযোগ্য নয়

∴ x = 2

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ - 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

2টি একই জাতীয় জিনিস বাদ দিয়ে বাছাই করা যায় ⁷c₃ = 35
আবার,
2টি একই জাতীয় হলে মোট 8 ধরণের জিনিস হতে 5টি নিয়ে বাছাই করা যায়
= ⁸c₅ = 56
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 35 + 56 = 91

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

সমাধান: 
এখানে, 
শিক্ষকের সংখ্যা = 12 জন 
কমিটিতে স্থান দিতে হবে = 4 জন 

∴ এদের মধ্য থেকে বাছাই করতে হবে = ¹²C₄ ​
= 12!/4! . (12 - 4)!​ 
= 12!/4! . 8!​ 
= 12⋅11⋅10⋅9.​ 8! /8! . 4 . 3 . 2 . 1 
= 495 

∴ 495 উপায়ে বাছাই করা সম্ভব।

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = x + 10(9 - x) = 90 - 9x

অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = 10x + (9 - x) = 9x + 9

প্রশ্নমতে, (9x + 9) - (90 - 9x) = 45
⇒ 9x + 9 - 90 + 9x = 45
⇒ 18x - 81 = 45
⇒ 18x = 45 + 81
⇒ 18x = 126
⇒ x = 126/18
⇒ x = 7

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 7) = 90 - 63 = 27

প্রশ্ন: এর সমাধান- 

সমাধান:

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং  হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত? 

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13
 
∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²;
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
∴ x = a + b

খেলা অনুষ্ঠিত হওয়ার মোট উপায় = ³C₂ = 3!/{2!(3-2)!} = 3!/2! = 3

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a² + b² = 117

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
⇒ 2ab = 15² - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

যেহেতু, a < b এবং ab < 0
∴ a < 0 এবং b > 0
∴ a²b সর্বদা ধনাত্মক।

log₂√20 + log₂√4/5
= log₂√(4 × 5) + log₂√4/5
= log₂√4 × √5 + log₂√4/√5
= log₂√4 + log₂√5 + log₂√4 - log₂√5
= log₂2 + log₂2
= 1 + 1 = 2

x + y = 7 .......(1)
x - y = 3 ...........(2)
(1) + (2) করে
2x = 10
x = 5
x এর মান (1) বসিয়ে,
5 + y = 7
y = 2
∴ (x, y) = (5, 2) 

x² + 2ax - 2a - 1
= (x² - 1) + 2ax - 2a
= (x + 1)(x - 1) + 2a (x - 1)
= (x - 1)(x + 2a + 1)

x² - (p+q)x + pq = 0
⇒ x² - px - qx + pq = 0
⇒ x(x-p) - q(x-p) = 0
⇒ (x-p)(x-q) = 0
∴ x = (p,q)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি y। 
∴ সংখ্যাটি = 10y + x

প্রথম শর্তানুসারে,
∴ x + y = 10 ........(1)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
⇒ (10y + x) + 18 = 10x + y
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
∴ x - y = 2 .......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

এখন x = 6 হলে, (1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
⇒ 6 + y = 10
∴ y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10y + x
= 10 × 4 + 6
= 40 + 6
= 46

অতএব, সংখ্যাটি হলো 46

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান:
১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪২০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০} = মোট ২০টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২০/৪২০
= ১/২১

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৮০ জন ছাত্র আছে। ৪৫ জন বাস্কেটবল খেলে, ৩৮ জন ভলিবল খেলে এবং ১৫ জন উভয় খেলা খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান: 
বাস্কেটবল খেলে, n(B) = ৪৫ জন
ভলিবল খেলে, n(V) = ৩৮ জন
উভয় খেলা খেলে, n(B ∩ V) = ১৫ জন

আমরা জানি,
অন্তত একটি খেলা খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা n(B ∪ V) = n(B) + n(V) - n(B ∩ V)
= ৪৫ + ৩৮ - ১৫
= ৮৩ - ১৫
= ৬৮ জন

∴ কোনো খেলাই না খেলা ছাত্রের সংখ্যা = মোট ছাত্র - n(B ∪ V)
= ৮০ - ৬৮
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। 

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

এখানে, a² - 10a - 2ab + 25 + b²
= a² + 25 + b² - 10a - 2ab
= (-a)² + 5² + b² + 2.(-a).5 + 2.(-a).b + 2.5.b
= (-a+5+b)²
সুতরাং 2.5.b বা 10b যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: 2√2p³ + 125 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
2√2p³+ 125
= (√2 × √2 × √2) p³ + 125  [ কারণ, √2 × √2 = (√2)² = 2 ]
= (√2p)³ + 5³
= (√2p + 5 )(2p² - 5√2p + 25)

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৩টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৫টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩
সাধারণ অন্তর (d) = ৫
পদ সংখ্যা (n) = ২০

আমরা জানি,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ ২০ তম পদ = ৩ + (২০ - ১) × ৫
= ৩ + ১৯ × ৫
= ৩ + ৯৫
= ৯৮টি