বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 125
দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 25
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 25/125 = 1/5

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = 125 × (1/5)⁶
= 125 × 1/5⁶
= 5³/5⁶
= 1/5³
= 1/125

সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ 1/125

প্রশ্ন: 3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট- 

সমাধান:
3(x - 2) < 6
⇒ x - 2 < 6/3
⇒ x - 2 < 2
⇒ x - 2 + 2 < 2 + 2
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 4

∴ সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x < 4}

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1) 
⇒ (2a + 1)² = 81 
​⇒ (2a + 1)² = 9²
⇒ 2a + 1 = 9
​⇒ 2a = 9 - 1
⇒ 2a = 8
​⇒ a = 8/2
∴ a = 4

৬ টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে ১ টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৬C_২ = (৬×৫) / (২×১) = ১৫টি।

প্রশ্ন: b^x = 64 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
b^x = 64
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার করলে:
b^x = y
⇒ x = log_b​y
⇒ x = log_b64

প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
{(2x + 3)/5} ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6  ।

'CAUTIONS' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা n = 8 টি এবং প্রতিবারে নিতে হবে 4 টি অক্ষর, r = 4,
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = ⁿP_r = ⁸P₄
= 8!/(8-4)!
= 8.7.6.5
= 1680.

প্রশ্ন: যদি log_x144 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x144 = 4
⇒ x⁴ = 144 [loga^M =n হলে, aⁿ = M]
⇒ x⁴ = 16 × 9
⇒ x⁴ = 2⁴ × 3²
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√3)⁴
⇒ x⁴ = (2√3)⁴
∴ x = 2√3

প্রশ্ন: ১১, ১২, ১৩, ১৪, ৭, ৮, ৯, ১০, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে, পদ সংখ্যা = ১০
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০ +  ১৫ + ১৬​ = ১১৫

∴ গড় = ১১৫/১০ = ১১.৫

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, a + b + c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + c² = 9
এবং ab + bc + ca = 8

আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)² = 9 + (2 × 8)
⇒ (a + b + c)² = 25
∴ a + b + c = 5

a = √5 + 2 হলে,
1/a = √5 - 2
∴ a + 1/a = 2√5
a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (2√5)³ - 3(2√5)
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে যদি প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তবে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার যদি প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তাহলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি  

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36 
বা, 4x - 3x = 36 + 24 
∴ x = 60 

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা (নমুনা বিন্দু) হবে: 2³ = 8 টি।
মোট নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার অনুকূল ঘটনা বলতে বোঝায় যেখানে কোনো হেড নেই (0 Head) অথবা একটি হেড আছে (1 Head)।

অনুকূল ঘটনাগুলো হলো:
0 Head: {TTT}
1 Head: {HTT, THT, TTH}
মোট অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 1 + 3 = 4 টি।

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 4/8
= 1/2

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2

প্রশ্ন: মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
মকবুলের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = tan(4π/2) = tan(2π) = 0

প্রশ্ন: 3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{3(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 1 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 1
⇒ - x = 4
∴ x = - 4

প্রশ্ন: |x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 2
বা, - 2 < x - 4 < 2
বা, - 2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4
বা, 2 < x < 6
বা, 2 × 5 < 5x < 6 × 5
বা, 10 < 5x < 30
বা, 10 - 3 < 5x - 3 < 30 - 3
∴ 7 < 5x - 3 < 27

m < 5x - 3 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 7 এবং n = 27

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

এগুলো হলো: (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6) (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা = 3/12
= 1/4

(5.3ⁿ-27.3^n-2)/(3ⁿ-3^n-1) = (5.3ⁿ - 27.3ⁿ.3^-2)/(3ⁿ - 3ⁿ.3^-1) = 3ⁿ(5-27.1/3²)/3ⁿ(1 -1/3) = (5 - 3)/(2/3) = 2/2/3 = 3

2² + 4² + 6² + ........ + (50)²
= 2².1² + 2².2² + 2².3² +.....+ 2².(25)²
= 2²{1² + 2² + 3² + ........ + (25)²}
= 4 × [{25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6]
= (4 × 25 × 26 × 51)/6
= 22100

প্রশ্ন:  এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 

প্রশ্ন: "SUCCESS" শব্দের বর্ণগুলো দিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'S'?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'S' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ৬টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে : U, C, C, E, S, S।

এখানে C ২টি, S ২টি রয়েছে।

∴ বাকি ৬টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

অতএব, 'S' দিয়ে শুরু হওয়া 'SUCCESS' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 180।

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 3 হলে 4x² - 36xy + 81y²-এর মান কত?

সমাধান:
4x² - 36xy + 81y²
= (2x)² - 2.(2x).(9y) + (9y)²
= (2x - 9y)²
= {2(8) - 9(3)}²
= (16 - 27)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 12 এবং ab = 9 হয়, তাহলে এর মান কত? 

সমাধান: 

ধরি, সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ক এর ২০% + ২৪ = ক
২০ক/১০০ + ২৪ =ক
ক - ২০ক/১০০ = ২৪
(১০০ক - ২০ক)/১০০ = ২৪
৮০ক = ২৪ × ১০০ = ২৪০০
ক = ৩০
অর্থাৎ, উক্ত সংখ্যাটি ৩০

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

x² - y² + 2y - 1 = x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

27/-3 = -9;
-9/-3 = 3;
3/-3 = -1
∴ -1/-3 = 1/3

x√0.04 = 2
বা, x²(0.04) = 4 [বর্গ করে]
বা, 4x² = 400 [100 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 100
∴ x = 10

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log₂64
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6 × 1
= 6