বীজগণিত

ধরি এককের অংক y এবং দশকের অংক x ; তাহলে সংখ্যাটি = 10x+y

প্রশ্নমতে, 10(x+3) + y - 2 = 3(10x+y)
⇒ 10x + 30 + y - 2 = 30x + 3y
⇒ 10x + y + 28 = 30x + 3y
⇒ 20x + 2y = 28
⇒ 2(10x + y) = 28
⇒ 10x + y = 14

সুতরাং, সংখ্যাটি 14

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

125(√5)^2x = 1
(√5)^2x = 1/125
(√5)^2x = 1/(√5)⁶
(√5)^2x = (√5)^-6
2x = − 6
x = -  3

১ম পাত্রে মোট বল = ৫ টি
২য় পাত্রে মোট বল = ৭ টি
১ম ও ২য় পাত্রে বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫)×(৩/৭) = ৬/৩৫
১ম ও ২য় পাত্রে বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৫)×(৪/৭) = ১২/৩৫
∴ বল একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা = (৬/৩৫)+(১২/৩৫) = ১৮/৩৫

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
গড় = (২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯)/৮ = ৯.৬২

A ∪ B = (1, 2, 3),
∴ n(A ∪ B) = 3
∴ P(A ∪ B) এর উপাদান = 2³
= 8

প্রশ্ন: 81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^4x = 1
⇒3⁴ × (3^1/2)^4x = 1
⇒ 3⁴ × 3^2x = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 3⁰
⇒ 4 + 2x = 0
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

২৮ + ১১ = ৩৯
৩৯ + ১৯ = ৫৮
৫৮ + ২৭ = ৮৫

এখানে,
১১ + ৮ = ১৯
১৯ + ৮ = ২৭

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

সমাধান:
log_3√2(1/18)
= log_3√2{1/(3√2)²}
= log_3√2 (3√2)⁻²
= (−2)log_3√23√2
= −2

P^bc×Q^-ca
=(x^a)^bc×(x^b)^-ca
=x^abc-abc
=x⁰=1

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|2x – 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x ≤ 1 + 3 ; [ উভয় পাশে 3 যোগ করে পাই]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
∴ 1 ≤ x ≤ 2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত? 

সমাধান: 
​​দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7 

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d 
= 4 + (7 - 1)4 
​= 4 + (6 × 4)
​= 4 + 24 
= 28 

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A = {2, 5, 8, 9}
B = {3, 5, 7, 9}

এখন,
(A ∩ B) = {2, 5, 8, 9} ∩ {3, 5, 7, 9}
= {5, 9}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} - {5, 9}
= {1, 2, 3, 4, 7, 8}

দেওয়া আছে,
(2x + y, 5) = (7, x - y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
2x + y = 7 ------- (১)
এবং x - y = 5 ------- (২)

এখন সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই,
3x = 12,
সুতরা x = 4

এখন x এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
2 × 4 + y = 7,
বা, y = 7 - 8
বা, y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় মান, (x, y) = (4, - 1)।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৪) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৪ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ১৬ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ৩ক = ২ + ১৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন
= (৩ × ১৮) + ২ জন
= ৫৪ + ২ জন
= ৫৬ জন

সুতরাং, ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৬ জন।

একটি ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5
এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য এমন সংখ্যা = 2, 3, 5, 6.
সুতরাং মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার

x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩ × ৭৭০০
বা, ১২x  = ২৩১০০
বা, x = ২৩১০০/১২
বা, x = ১৯২৫

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2  ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার, 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

প্রশ্ন: 
 

ধরি, সংখ্যা দুইটি ক ও খ।
প্রশ্নমতে, ক² + খ² = ৮০ এবং (ক-খ)² = ৩৬
ক² + খ² = (ক-খ)² + ২কখ
বা, ২কখ = ৮০-৩৬ = ৪৪
বা, কখ = ২২

প্রশ্ন: A = Φ হলে P(A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = Φ 
- ফাঁকা সেট হলো সকল সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান নেই। 
P(A) = {Φ}

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণত অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৯+১২
= ৪১
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণত অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5x + 1)] = log₁₀[10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: 8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 8 - 3x ≥ 2x + 18
⇒ - 3x - 2x ≥ 18 - 8
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ 10/5 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

xy > 0 হলে,
x > 0 অথবা y > 0

প্রশ্ন: x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি যদি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - 10x + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ x² - 10x + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16।

প্রশ্ন: a⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= (a³)² - 8²
= (a³ + 8)(a³ - 8)
= (a³ + 2³)(a³ - 2³)
= (a + 2)(a² - 2a + 4)(a - 2)(a² + 2a + 4)
= (a + 2)(a - 2)(a² + 2a + 4)(a² - 2a + 4)

দেওয়া আছে,
A = {x : 7≤ x <11} = {7, 8, 9, 10}
এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
∴ A ∩ B = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} = {7}

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 হয়, তবে x²/9 + y²/25 + z²/16 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0

আমরা জানি, 
যদি বর্গফলের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে প্রতিটি বর্গফলও শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ,
∴ (x - 3)² = 0 
∴ x = 3
(y - 5)² = 0
∴ y = 5
এবং, 
(z - 4)² = 0
∴ z = 4

প্রদত্ত রাশি, 
x²/9 + y²/25 + z²/16
= (3²/9) + (5²/25) + (4²/16)
= (9/9) + (25/25) + (16/16)
= 1 + 1 + 1
= 3

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +.......... + 25² = ? 

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 25

∴ S₂₅ = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6
= (25 × 26 × 51)/6
= 33150/6
= 5525

∴ধারাটির যোগফল = 5525