বীজগণিত

প্রশ্ন:

সমাধান:

পরিসরের সংজ্ঞানুসারে।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 40 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 25 জন ইংরেজি এবং 20 জন বাংলা পড়তে পারে। যদি 10 জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ∣
ইংরেজি পড়তে পারে, ।E।  = 25
বাংলা পড়তে পারে, ।B।  = 20
এবং উভয় ভাষাই পড়তে পারে ।E ∩ B।  = 10

∴ ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা হলো,
।E ∪ B। = ।E। + ।B। - ।E ∩ B।
= 25 + 20 - 10
= 35

ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না = মোট ছাত্র - (ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা)
= 40 - 35
= 5

সুতরাং, ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে না পারা ছাত্রের সংখ্যা = 5 জন

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a²+ b²+ c² = 14 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 6 
a² + b²+ c² = 14

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 6² = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 36 - 14
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
বা, ab + bc + ca = 22/2
∴ ab + bc + ca = 11

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24…... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}
প্রথম পদ a₁ = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

৭ম পদ a_7​:
a₇ = 3 × 2^7-1
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

∴ সপ্তম পদ = 192

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ^১৮C_২
= ১৮!/২!(১৮ - ২)!
= (১৮ × ১৭ × ১৬!)/(২ × ১৬!)
= ৯ × ১৭
= ১৫৩

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₆x = 0.25 
∴ x = 16^0.25
বা, x = (2⁴)^1/4
∴ x = 2 

x² - {a + (1/a)}x + 1
= x² - ax - x/a + 1
= x(x - a) - 1/a (x - a)
= (x - 1) (x - 1/a)

প্রশ্ন: (4x - 3, 6) = (13, 3y + 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(4x - 3, 6) = (13, 3y + 3)

অতএব, 
4x - 3 = 13
⇒ 4x = 13 + 3
⇒ 4x = 16
⇒ x = 4

এবং,
3y + 3 = 6
⇒ 3y = 6 - 3
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (4, 1)

প্রশ্ন: যদি 3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} 
⇒ 3^2√x(1 + 1 + 1) = (3²)^{√(x + 1)}
⇒ 3^2√x × 3 = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 3^{2√x + 1} = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 2√x + 1 = 2√(x + 1)
⇒ (2√x + 1)² = {2√(x + 1)}²  ; [বর্গ করে পাই]
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4(x + 1)
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4x + 4
⇒ 4√x = 3
⇒ √x = 3/4
⇒ (√x)² = (3/4)²    ; [বর্গ করে পাই]
∴ x = 9/16

প্রশ্ন: যদি - 7, x, y, z, 29 একটি সমান্তর অনুক্রম গঠন করে, তবে x এবং z এর মান যথাক্রমে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = - 7
মোট পদের সংখ্যা, n = 5
ধরি, সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, ধারাটির 5ম পদ = 29
⇒ a + (5 - 1)d = 29
⇒ - 7 + 4d = 29
⇒ 4d = 29 + 7
⇒ 4d = 36
∴ d = 9

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ, x = a + (2 - 1)d = - 7 + 9
= 2

∴ ধারাটির চতুর্থ পদ, z = a + (4 - 1)d = - 7 + 3(9) = - 7 + 27
= 20

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2}  [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

এখানে A = {1,2} এবং B = {2,5}
সুতরাং P(A) = {{1}, {2}, {1,2}, { }}
এবং P(B) = {{2}, {5}, {2,5}, { }}
সুতরাং ‌P(A)∩P(B) = {{ }, {2}}.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি [1/(x - 7)(x - 9)] < 0 অসমতাটির সমাধান?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা:
1 / (x − 7)(x − 9) < 0

প্রশ্ন: Q সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 127 হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 127
⇒ 2ⁿ = 127 + 1
⇒ 2ⁿ = 128
⇒ 2ⁿ = 27
∴ n = 7

∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 7

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2 
⇒ (x + 1/x)² = 2²
⇒ x² + 1/x² + 2.x.1/x = 4 [বর্গ করে] 
⇒ x² + 1/x² = 4 - 2
⇒ x² + 1/x² = 2 ......(1)
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 4 [আবার বর্গ করে]
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 4 - 2
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 2 .....(2)

∴ প্রদত্ত রাশি, 
(x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (2)(2) = 4

{x² - (1/x²)}²
= {x² + (1/x²)}^{2 -} 4 . x . (1/x)
= 3² - 4
= 5
∴ {x² - (1/x²)} = √5
সুতরাং, {x² - (1/x²)}³ = 5√5

ধরি, সংখ্যাটি ক
ক/৩ – ক/৪ = ৫
বা, ক/১২ = ৫
বা, ক = ৬০

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹/4^x = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4    [4¹ = 4]

মনে করি, 4^x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
⇒ (y² + 4)/y = 4 
⇒ y² + 4 = 4y
⇒ y² - 4y + 4 = 0
⇒ y² - 2.y.2 + 2² = 0
⇒ (y - 2)² = 0
⇒ y - 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 4^x = 2            [y = 4x  বসিয়ে]
⇒ (2²)^x = 2¹      [2¹ = 2]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: s + 1/s = 2 হলে s⁵ - 1/s⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
s + 1/s = 2
বা, s² + 1 = 2s
বা, s² - 2s + 1 = 0
বা, (s - 1)² = 0
বা, s - 1 = 0
∴ s = 1

∴ ‍s⁵ - 1/s⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

ধরি সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
৬ + ৮ + ১০ = ৭ + ৯ + ক
বা, ২৪ = ১৬ + ক
বা, ক = ৮

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12 
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0) 

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2².2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (5 - 1)
= 2ⁿ . 4
= 2ⁿ . 2²
= 2^{n + 2}

প্রশ্ন: x² − 1 − y(y − 2) এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
x² − 1 − y(y − 2)
= x² − 1 − y² + 2y 
= x² − (y² − 2y + 1) 
= x² − (y − 1)²
= (x + y − 1) (x − y + 1)

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে (a³ + b³ + c³ )² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 0

আমরা জানি, 
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রদত্ত রাশি, 
(a³ + b³ + c³)² = (3abc)² = 9a²b²c²

এখানে ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r =৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-১)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ২
বা, (১/২)^(n-১) = ২/১২৮
বা, (১/২)^(n-১) = ১/৬৪
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৬
বা, n - ১ = ৬
বা, n = ৬ + ১
বা, n = ৭

নিশ্চায়ক = (-a)² - 4.2.1 = 0
বা, a² = 8
∴ a = ±2√2

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x - 9 > 3x + 1

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 9 > 3x + 1
⇒ x - 9 + 9 > 3x + 1 + 9
⇒ x > 3x + 10
⇒ x - 3x > 3x + 10 - 3x
⇒ - 2x > 10
⇒ (- 2x)/(- 2) < 10/(- 2) ; [উভয়পক্ষকে - 2 দ্বারা ভাগ করায় অসমতার দিক পাল্টে গেছে]
∴ x < - 5

∴ নির্ণেয় সমাধান x < - 5

x² + 3 < 4x
বা, x² - 4x + 3 < 0
বা, x² - 3x - x + 3 < 0
বা, x(x-3) - 1(x-3) < 0
বা, (x-3)(x-1) < 0
∴ 1 < x < 3