বীজগণিত

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 1/16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

দেওয়া আছে, 
পঞ্চম পদ ar⁴ = 1/16
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

এখন
a(1/2)⁴ =  1/16
⇒ a (1/16) = 1/16
⇒ a/16 = 1/16
⇒ a = 1

∴ প্রথম পদ a = 1

প্রশ্ন: x³ - 3x², x² - 9, xy - 3y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত? 

সমাধান:
১ম রাশি = x³ - 3x² 
= x²(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3² 
= (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = xy - 3y
= y(x - 3)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 3)

প্রশ্ন: যদি x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z) হয়, তাহলে (x + y + z) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z)
⇒ x² + y² + z² + 3 = 2x + 2y + 2z
⇒ (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 0
⇒ (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1 
একইভাবে, y = 1, z = 1

প্রদত্ত রাশি, 
x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3
∴ x + y + z = 3

এখানে,
x - 2y = 5
বা, x = 2y + 5
আবার,
xy = 3
বা, (2y + 5)y = 3
বা, 2y² + 5y - 3 = 0
বা, 2y² + 6y - y - 3 = 0
বা, 2y(y + 3) - 1(y + 3) = 0
বা, (y + 3)(2y - 1) = 0
হয়,
y + 3 = 0
∴ y = -3
অথবা,
2y - 1 = 0
বা, 2y = 1
∴ y = 1/2
∴ y = -3, 1/2

3×1+1×2 = 3+2 = 5
5×2+2×3 = 10+6 = 16
18×3+3×4 = 48+12 = 60
60×4+4×5 = 240+20 = 260
260×5+5×6 = 1300+30 = 1330

3^-3
= 1/3³
= 1/27

প্রশ্ন: n(A) = 40, n(A ∩ B) = 10 এবং n(A ∪ B) = 50 হলে n(B) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,
n(A) = 40,
n(A ∩ B) = 10
এবং n(A ∪ B) = 50

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 50 = 40 + n(B) - 10
⇒ 50 = n(B) + 30
⇒ n(B) = 50 - 30
⇒ n(B) = 20

প্রশ্ন: x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 এর উৎপাদক- 

সমাধান: 
x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8
= x² - 4xy + 4y²- 2x + 4y - 8 
= (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8
=  (x - 2y)² - 4(x - 2y) + 2(x - 2y) - 8
= (x - 2y) (x - 2y - 4) + 2 (x - 2y - 4)
= (x - 2y + 2) (x - 2y - 4)

দেওয়া আছে, 8x + 4 = 48
বা, 4(2x + 1) = 48
বা, (2x + 1) = 48/4
বা, (2x + 1) = 12

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন
​
১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে = x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি 

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে = (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

প্রশ্নমতে, 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 9 তম পদ 58 হলে, এর প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9 তম পদ = 58 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 9 তম পদ = a + (9 - 1)d
= a + 8d

শর্তমতে, 
a + 8d = 58 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (17 - 1)d} 
= (17/2)(2a + 16d) 
= (17/2) × {2(a + 8d)}
= (17/2) × 2 × 58 [∴ a + 8d = 58]
= 17 × 58
= 986

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = 986.

সমাধান:

৫২টি তাসের মধ্যে মোট টেক্কা আছে ৪টি
সুতরাং, প্রথম সুযোগে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/৫২
পরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৩/৫১
এরপরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ২/৫০
সর্বশেষ টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১/৪৯
পূরণ সূত্র অনুসারে ৪টি টেক্কা ধারাবাহিকভাবে পাওয়ার সম্ভাব্যতা=
৪/৫২X৩/৫১X২/৫০X১/৪৯ = ১/২৭০৭২৫ [ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন নেই যেহেতু উত্তরে 'কোনটিই নয় এই অপশন আছে']

9a⁴ - 34a²x² + 25x⁴
= 9a⁴ -9a²x² - 25a²x² + 25x⁴
= 9a²( a² - x²) - 25x²( a² - x²)
= (9a² - 25x²)( a² - x²)
= (3a + 5x) (3a – 5x) (a + x)(a - x)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১৪ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x − y = ১৪ ……………(1)
এবং
x + y = ৫(x − y)
⇒ x + y = ৫×১৪ [সমীকরণ (1) থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৭০ ……………(2)

এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(x − y) + (x + y) = ১৪ + ৭০
⇒ ২x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/২
⇒ x = ৪২

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৪২ + y = ৭০
⇒ y = ৭০ − ৪২
⇒ y = ২৮

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ৪২ এবং ২৮

ধরি, a = 7, b = 4 এবং c = 5
ac = 35 এবং bc = 20
∴ ac > bc

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5log₂2 + 3log₂2 [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (3 × 1) [∵ log_aa = 1]
= 5 + 3
= 8

log₄X = 1/2
বা, X = 4^1/2
= √4
= 2

ধরি, m বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
1/(x - y) + 1/(x + y) - m = 2
বা, m = 1/(x - y) + 1/(x + y) - 2
বা, m = (x + y + x - y)/(x² - y²) - 2
বা, m = 2x/(x²−y²)−2

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... সমান্তর ধারাটির n তম পদটি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4
∴ ধারাটির n তম পদ = {a + (n - 1)d}
= {3 + {n - 1} × 4}
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

a²x + b = 0 সমীকরণের x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 1
∴ সমীকরণের ঘাত = 1

প্রশ্ন: 80 + 74 + 68 + …… - 16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 80
সাধারণ অন্তর, d = 74 - 80 = - 6
প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 16
⇒ 80 + (n - 1)(- 6) = - 16
⇒ 80 - 6n + 6 = - 16
⇒ 86 - 6n = - 16
⇒ 6n = 86 + 16
⇒ 6n = 102
⇒ n = 102/6
∴ n = 17

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (n - 1)d}
= (17/2){2 × 80 + (17 - 1)(-6)}
= (17/2){160 + (- 96)}
= (17/2)(160 - 96)
= (17/2) × 64
= 17 × 32
= 544

প্রথম 6 জন থেকে 4 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄
= 6!/(4! × 2!)
= 15 উপায়ে।

পরের 9 জন থেকে 7 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁹C₇
= 9!/(7! × 2!)
= 36 উপায়ে।

টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄ × ⁹C₇
= 15×36
= 540 উপায়ে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 45 এবং বর্গের যোগফল 106। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেওয়া আছে, xy = 45 এবং x² + y² = 106

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
 ⇒ (x + y)² = 106 + 2 × 45
 ⇒ (x + y)² = 106 + 90
 ⇒ (x + y)² = 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = 14

a⁸ + 1/a⁸ + 2 . a⁴ . 1/a⁴
= (a⁴ + 1/a⁴)² যা পূর্ণবর্গ

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11 হয় তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 341 = 11³ - 3ab × 11
⇒ 341 = 1331 - 33ab
⇒ 33ab = 1331 - 341
⇒ 33ab = 990
⇒ ab = 990/33
∴ ab = 30

প্রশ্ন: । 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a + 4। < 8
⇒ - 8 < 2a + 4 < 8
⇒ - 8 - 4 < 2a + 4 - 4 < 8 - 4
⇒ - 12 < 2a < 4
⇒ - 6 < a < 2

ব্যাগটিতে,
সাদা বল সংখ্যা = 4টি
কালো বল সংখ্যা = 5টি
মোট বল সংখ্যা = 9টি

বলগুলো ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা
= {(⁴c₂ × ⁵c₁)/⁹c₃}+ {(⁴c₁ × ⁵c₂)/⁹c₃}
= {(6 × 5)/84} + {(4 × 10)/84}
= (30 + 40)/84
= 70/84
= 5/6

প্রশ্ন: log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log₈x = 25 এবং log₂y=5
⇒ x = 8²⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = (2³)²⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = 2⁷⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = (2⁵)¹⁵ এবং y = 2⁵
 x = y¹⁵

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = (3³)^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = 3^{9x + 18}
বা, 2x - 3 = 9x + 18
বা, 7x = -21
∴ x = -3

∫x^-1 dx
=∫1/x dx
= ln |x| + c

প্রথম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৪
nতম পদ = ১৬১
∴ a + (n - ১)d = ১৬১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ১৬১
বা, ৫ + ৪n - ৪ = ১৬১
বা, ৪n = ১৬০
∴ n = ৪০

প্রশ্ন: (x + 5) + 8 = 4(x + 1) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x + 5) + 8 = 4(x + 1)
⇒ x + 13 = 4x + 4
⇒ 4x - x = 13 - 4
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3