বীজগণিত

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125^{x + 2} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = (5³)^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3(x + 2)}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3x + 6}
⇒ 2x - 1 = 3x + 6
⇒ 2x - 3x = 6 + 1
⇒ - x = 7
∴ x = - 7

প্রশ্ন: 729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম = log_√3729
= log_√33⁶
= 6log_√33
= 6log_√3(√3)²
= 6 × 2 × log_√3√3
= 12log_√3^√3
= 12 × 1
= 12

প্রশ্ন: যদি p + q = 7n এবং pq = 10n² হয়, তবে (p - q) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে
p + q = 7n
pq = 10n²

আমরা জানি,
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = (7n)² - 4 × 10n²
⇒ (p - q)² = 49n² - 40n2
⇒ (p - q)² = 9n²
⇒ p - q = ±√(9n²)
∴  p - q = ± 3n

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

প্রশ্ন: 6 ≤ 2q + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান হবে:

সমাধান:
6 ≤ 2q + 3 < 15
⇒ 6 - 3 ≤ 2q + 3 - 3 < 15 - 3
⇒ 3 ≤ 2q < 12
⇒ 3/2 ≤ q < 12/2
⇒ 3/2 ≤ q < 6

∴ অসমতাটির সমাধান = [3/2, 6)

দেওয়া আছে,
x + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
বা, x = -(2^1/3 + 2^2/3) .......... (1)
বা, x³ = -(2^1/3 + 2^2/3)³
বা, x³ = -[(2^1/3)+ (2^2/3) + 3.2^1/3.2^2/3(2^1/3 + 2^2/3)]
বা, x³ = -[2 + 4 + 3.2^3/3(-x)] [(1) নং হতে]
বা, x³ = -(6 - 6x)
বা, x³ = -6 + 6x
∴ x³ + 6 = 6x

loga+loga²+loga³+ ……. + loga7
= 1.loga + 2.loga + 3.loga + .... + 7 loga
= log (1+2+3+ .... +7)
= loga {(7+1)7/2}
= log a.28
= 28 log a

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হলে 2(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ......(1)
এবং a² + ab + b² = 3 ......(2) 

এখন, (1) নং হতে পাই, 
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
⇒ 3 × (a² - ab + b²) = 3
⇒ (a² - ab + b²) = 3/3
∴ (a² - ab + b²) = 1 .....(3)

এখন, (2) + (3) করে পাই, 
a² + ab + b² = 3
a² - ab + b² = 1
⇒ 2a² + 2b² = 4
∴ 2(a² + b²) = 4

সুতরাং, 2(a² + b²) = 4

প্রশ্ন: যদি 6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)}
⇒ 6⁴ ÷ (6²)³ × 6³ = 6^{(x - 5)}
⇒ 6^{(4 - 6 + 3)} = 6^{(x - 5)}   ; [ভাগের ক্ষেত্রে পাওয়ার বিয়োগ হয়]
⇒ 6^{(7 - 6)} = 6^{(x - 5)}
⇒ x - 5 = 1
⇒ x = 1 + 5
∴ x = 6

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৭ এবং ৫ম পদ ৪১ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ৭
এবং ৫ম পদ = ৪১

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
a_৫ = a + (৫ - ১)d
⇒ ৪১ = a + ৪ × ৭
⇒ a + ২৮ = ৪১
⇒ a = ৪১ - ২৮ 
∴ a = ১৩

এখন ১২তম পদ, a_১২  = a + (১২ - ১)d
= ১৩ + (১১ × ৭)
= ১৩ + ৭৭
= ৯০

সুতরাং, ১২তম পদ ৯০। 

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n-সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
হয়, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়, কারন পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 18

প্রশ্ন: x + 2/x = 5 হলে x³ + 8/x³ এর মান কত?
 
সমাধান: 
x³ + 8/x³
= (x)³ + (2/x)³
= (x + 2/x)³ - 3.x.(2/x).(x + 2/x)
= (5)³ - 3 × 2 × 5
= 125 - 30
= 95

x²-5x+6 > 0
⇒ x²-2x-3x+6 > 0
⇒ x(x-2) - 3(x-2) > 0
⇒ (x-2)(x-3) > 0
x > 0 হবে যদি (x-2) ও (x-3) উভয়ই ধনাত্মক বা উভই ঋনাত্মক হয়। তাই সমাধান হবে (-∞,2) ∪ (3,+∞)।

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

1/a < 1/b
⇒ a > b [বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয়।]

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 4 হয়, তবে x/(x² + x + 1) -এর মান কত?    

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 4
⇒ (x² + 1)/x = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² = 4x - 1

এখন,
x/(x² + x +1)
= x/[(4x - 1) + x + 1]
= x/5x
= 1/5

(x²)⁰
= x^2×0
= x⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং xy = 16 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং xy = 16

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 10² - (4×16)
= 100 - 64
= 36
⇒ (x - y) = √36
∴ x - y = 6

প্রশ্ন: যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2।

প্রথমে, x-এর মান নির্ণয় করতে y-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসাই,
4x(- 2) - 5x + 39 = 0
⇒ - 8x - 5x + 39 = 0
⇒ - 13x + 39 = 0
⇒ - 13x = - 39
⇒ x = 39/13
⇒ x = 3

এবার, x এবং y-এর মান ব্যবহার করে 2x - y এর মান নির্ণয় করি,
2x - y = 2(3) - (- 2)
= 6 + 2
= 8

সুতরাং, 2x - y এর মান হলো 8।

প্রতি 2 জনের সমাবেশ থেকে একটি হ্যান্ডশেক সংগঠিত হয়।
∴ মোট হ্যান্ডশেক = ⁿc₂
= 45
বা, n!/(n - 2)!2! = 45
বা, n(n - 1)(n - 2)!/(n - 2)!2 = 45
বা, n(n - 1) = 90
বা, n² - n - 90 = 0
বা, n² - 10n + 9n - 90 = 0
বা, n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
বা, (n + 9)(n - 10) = 0
বা, n - 10 = 0[∴ n ≠ 9]
∴ n = 10

a^x = b^y
⇒ loga^x = logb^y
⇒ x log a = y log b
⇒ log a / log b = y/x

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 5/7 হয় এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক, ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 2)/y = 5/7
⇒ 7(x + 2) = 5y
⇒ 7x + 14 = 5y
⇒ 7x - 5y = - 14 ............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1/2
⇒ 2x = y - 1
⇒ y = 2x + 1 ............(2)

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
7x - 5(2x + 1) = - 14
⇒ 7x - 10x - 5 = - 14
⇒ - 3x = - 14 + 5
⇒ - 3x = - 9
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2(3) + 1
⇒ y = 6 + 1
⇒ y = 7

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/7

প্রশ্ন: f(x) = √(3x + 2) ফাংশনটির ডোমেন কত?

সমাধান:
f(x) = √(3x + 2)

যেহেতু, বর্গমূলের ভেতরের অংশ ঋণাত্মক হতে পারে না, সেহেতু
3x + 2 ≥ 0
⇒ 3x ≥ - 2
⇒ x ≥ - 2/3

অতএব, ফাংশনের ডোমেন = {x ∈ R : x ≥ - 2/3} 

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ..... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n
= n × n
= n²

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 3 হয়, তবে x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + (1/x) = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (3)³ - 3 × 3
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3