বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 2 এবং - 2/3 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = - 2/3 

∴ সাধারণ অনুপাত,r = (- 2/3)/2 = - 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ, ar^{7 - 1} = 2 × (- 1/3)⁶
= 2 × 1/729
= 2/729

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4b^{x - 6} এবং b > 0, b ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
2^{x - 4} = 4b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2² × b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/b^{x - 6} = 1
⇒ (2/b)^{x - 6} = (2/b)⁰ [∵ (2/b)⁰ = 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 11 তম পদ = a + (11-1)d
= a + 10d
প্রশ্নমতে, a + 10d = 66
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 21টি পদের সমষ্টি = 21/2 {2a + (21-1)d}
= 21/2 (2a + 20d)
= 21/2 × 2 (a+10d)
= 21×(a+10d)
= 21×66
= 1386

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 81 + log 82+ log 83 +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: যদি 5x³ - 2x² + x + p = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + p
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + p
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + p
= 135 - 18 + 3 + p
= 120 + p

এখন, 
5x³ - 2x² + x + p এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + p = 0
∴ p = - 120

প্রশ্ন: 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো,
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় = (2 × 8 × 32)^1/3
= (2¹ × 2³ × 2⁵)^1/3
= (2^{1 + 3 + 5})^1/3
= (2⁹)^1/3
= (2)^9/3
= 2³
= 8

∴ গুণোত্তর গড় = 8

2x³ + 5x² - 6x - 16
= 2x³ + 4x² + x² + 2x - 8x - 16
= 2x²(x + 2) + x(x + 2) - 8(x + 2)
= (x + 2)(2x² + x - 8)

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 × 2^{- 2a} = 9 হবে?

সমাধান:
72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 2^{- 2a} = 9/72
⇒ 2^{- 2a} = 1/8
⇒ 2^{- 2a} = 1/2³
⇒ 2^{- 2a} = 2^{- 3}
⇒ - 2a = - 3
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2

x - y = 3
(x - y)² = 9
বা, x² + y² - 2xy = 9
বা, 17 - 2xy = 9
2xy = 17 - 9 = 8
∴ xy = 4 = 4.1
∴ x = 4, y = 1 হলে
x - y = 3

প্রশ্ন: 3^{log₃4 + log₃5} এর মান কত?

সমাধান:
3^{log₃4 + log₃5}
= 3^{log₃(4 × 5)}
= 3^log₃(20)
= 20 
আমরা জানি, a^{log_ab = b}

প্রশ্ন: log_y(1/64) = - 3 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
log_y(1/64) = - 3
⇒ y^{- 3} = 1/64 [log_b(a) = c হলে b^c = a]
⇒ y^{- 3} = 1/4³
⇒ y^{- 3}= 4^{- 3}
∴ y = 4

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n! / (a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11! / (4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

প্রশ্ন:  যদি x = √5 + √3 হয়, তবে এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার টেল ও ছক্কার 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান; 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি 

মুদ্রার টেল ও ছক্কার ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2T, 4T, 6T} = 3টি 

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x²y³z, x³y²z⁴ এবং xy⁴z² এই তিনটি রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y³z = x. x. y. y. y. z
২য় রাশি = x³y²z⁴ = x. x. x. y. y. z. z. z. z
৩য় রাশি = xy⁴z² = x. y. y. y. y. z. z

এখানে,
x, y এবং z গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x³, y⁴ এবং z⁴

∴ ল.সা.গু = x³y⁴z⁴

মনে করি,
প্রথম জন পাবে ক টাকা
দ্বিতীয় জন পাবে খ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক + খ = ৫০০০ টাকা --- (১)
ক = ৪খ --- (২)

সমাধান করলে, ক = ৪০০০ এবং খ = ১০০০

৫,০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলো চার অংকের হবে,
এবং ১ম অংকে ৫ অথবা ৬ নির্দিষ্ট করতে হবে?
∴ ১ম অংকটি পূর্ণ করা যায় = ^২p_১ = ২ উপায়ে।
অবশিষ্ট ৩টি ঘর পূর্ণ করা যায় = ৩! = ৬ উপায়ে।
∴ সংখ্যা তৈরি করা যাবে = ২ × ৬ = ১২টি

2x = 3y
∴ x = 3y/2
আবার,
3x - 2y = 5
বা, 3(3y/2) - 2y = 5
বা, 9y - 4y = 10
বা, 5y = 10
∴ y = 2
এবং x = 3

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= (a - b)³
সুতরাং (a - b)³ এর ঘনমূল {(a - b)³}^1/3
= (a - b)^(3×1/3)
= a - b

দেওয়া আছে,
4^x+1 = 32
⇒ (2²)^x+1 = 2⁵
⇒ 2^2x+2 = 2⁵
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

প্রশ্ন:

সমাধান:

³√{³√(x³)}
= ³√(x^{3 × 1/3})
= x^1/3

দেওয়া আছে, x = 5^m+1 এবং y = 5^m-1
এখন, log₅x/y
= log₅5^m+1/5^m-1
= log₅5^m+1-m+1
= log₅5²
= 2log₅5
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, 
log⁡_a(MN) = log⁡_aM + log_⁡aN
log_⁡a(b^x) = xlog_⁡ab

এখন,
log_⁡a(b²c) = log_⁡a(b²) + log_⁡a(c)
= 2log_a​(b) + log⁡_a(c)
= 2 × 2 + 3 [মান বসিয়ে]
= 4 + 3
= 7

∴ log⁡_a(b²c) এর মান = 7

a³ - 7a + 6 = a³ - a² + a² - a - 6a + 6  = a²(a - 1) + a(a -1) - 6(a - 1) = (a - 1)(a² + a - 6) = ( a - 1)(a² + 3a - 2a - 6) = (a - 1){a(a + 3) - 2(a + 3)} = (a - 1)(a + 3)(a - 2)

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুইটি পিঠ (H, T) এবং একটি ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6) থাকে।

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

সম্ভাব্য ঘটনাসমূহ:
(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা:
(H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট অনুকূল ঘটনা = 3

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা / মোট ঘটনা সংখ্যা
= 3/12
= 1/4

প্রশ্ন: 6log5 - log 25 = কত?

সমাধান:
6log5 - log25
= 6log5 - log5²
= 6log5 - 2log5
= (6 - 2)log5
= 4log5
= log5⁴
= log625