PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৪ / ২০১ · ৩০১–৪০০ / ২০,২০৭
প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?
সমাধান:
মোট অঙ্ক সংখ্যা = 6 টি।
6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি অঙ্ক একবার করে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
6P3
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 120 টি
প্রশ্ন: যদি 3x = (3/x) + 4 হয়, তবে 27x3 - (27/x3) কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
3x = (3/x) + 4
⇒ 3x - 3/x = 4
⇒ 3(x - 1/x) = 4
⇒ x - (1/x) = 4/3
∴ 27x3 - (27/x3)
= 27(x3 - 1/x3)
= 27{(x - 1/x)3 + 3. x. (1/x)(x - 1/x)}
= 27{(4/3)3 + 3 × (4/3)}
= 27{(64/27) + 4)}
= 64 + 108
= 172
প্রশ্ন: প্রদত্ত
সমাধান:
= log16(41 × 41/3)
= log164(1 + 1/3)
= log1644/3
= log16(161/2)4/3
= log16162/3
= (2/3) × log1616
= (2/3) × 1
= 2/3
প্রশ্ন: একট ছোঁকা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
ছক্কায় (ছোঁকা) ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬
আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১
∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬
প্রশ্ন: যদি 2y = 2x − 4 এবং 4x − 5y = 3 হয়, তাহলে x ও y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2y = 2x − 4
বা, 2y = 2 (x − 2)
বা, y = 2 (x − 2)/2
∴ y = x − 2 ............... (¡)
আবার,
4x − 5y = 3
বা, 4x − 5(x − 2) = 3 [y এর মান বসিয়ে]
বা, 4x − 5x + 10 = 3
বা, − x = 3 - 10
বা, − x = − 7
∴ x = 7
x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 7 − 2
∴ y = 5
∴ নির্ণেয় মান = (x = 7 এবং y = 5) ।
দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a2 + (1/a)2
= (a - 1/a)2 + 2. a. 1/a
= 22 + 2
= 4 + 2
= 6
প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য logx(1/256) = - 4 হবে?
সমাধান:
logx(1/256) = - 4
⇒ x-4 = 1/256
⇒ 1/x4 = 1/256
⇒ x4 = 256
⇒ x4 = 44
∴ x = 4
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d =18
a + 4d = 18 -----(1)
এবং 5/2{2a + (5 - 1)d } = 75
2a + 4d = 30 ----(2)
(1) ও (২) সমাধান করে পাই
a = 12; d = 3/2
প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত?
সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [∴ y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4
∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3 ।
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (120 - 24)
= 96
প্রশ্ন: A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 5} হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, x ∈ N অর্থাৎ x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। N সাধারণত 1 থেকে শুরু হয় (স্বাভাবিক সংখ্যা)।
এখন, 2 ≤ x ≤ 5 অর্থাৎ x এর মান হতে পারে 2, 3, 4, 5
সুতরাং A = {2, 3, 4, 5}
অতএব, 2 ≤ x ≤ 5 পরিসরে উপাদান সংখ্যা 4 টি।
আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16
4x4 - 25x2 + 36
= (2x2)2 - 2.2x2.6 + 62 - x2
= (2x2 - 6)2 - x2
= (2x2 + x - 6)(2x2 - x - 6)
= (2x2 + 4x - 3x - 6)(2x2 - 4x + 3x - 6)
= [2x(x + 2) - 3(x + 2)][2x(x - 2) + 3(x - 2)]
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)
প্রশ্ন: যদি 4a2 + 1/a2 = 3 হয়, তবে 8a3 + 1/a3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a2 + 1/a2 = 3
⇒ (2a)2 + (1/a)2 = 3
⇒ (2a + 1/a)2 - 2 . 2a .1/a = 3
⇒ (2a + 1/a)2 = 3 + 4
⇒ (2a + 1/a)2 = 7
∴ 2a + 1/a =√7
এখন,
8a3 + 1/a3
= (2a)3 + (1/a)3
= (2a + 1/a)3 - 3 . 2a .1/a (2a +1/a)
= (√7)3 - 6.√7
= 7√7 - 6√7
= √7
প্রশ্ন: loga√343 = 3/2 হলে a এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
loga√343 = 3/2
⇒ a3/2 = √343
⇒ a3/2 = (73)1/2
⇒ a3/2 = 73/2
∴ a = 7
প্রশ্ন: x3 + ax + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান কত?
সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 + ax + 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
∴ উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, f(2) = 0 হবে।
এখন, f(2) = (2)3 + a(2) + 6
= 8 + 2a + 6
= 14 + 2a
প্রশ্নমতে,
14 + 2a = 0
বা, 2a = - 14
বা, a = - 14/2
∴ a = - 7
প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে, p2 + q2 এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
2 (p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
বা, (p2 + q2) = {(p + q)2 + (p - q)2}/2
বা, (p2 + q2) = {(5)2 + (3)2}/2
বা, (p2 + q2) = (25 + 9)/2
বা, (p2 + q2) = 34/2
∴ p2 + q2 = 17
loga(x3y2/z)
= loga(x3y2) - logaz [logaM/N = logaM - LogaN]
= logax3 + logay2 - logaz [logaMN = logaM + logaN]
= 3logax + 2logay - logaz
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 7 - 3
= 4
x2 - 1/x2 = 4
বা, (x2 - 1/x2)2 = 16
বা, x4 + 1/x4 - 2.x2.1/x2 = 16
বা, x4 + 1/x4 = 16 + 2 = 18
প্রশ্ন: a + b = 3 এবং a - b = √7 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 3 এবং a - b = √7
এখন,
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(3)2 - (√7)2} × {(3)2 + (√7)2}
= (9 - 7) × (9 + 7)
= 2 × 16
= 32
log2512
= log229
= 9 log22
= 9 × 1 [log22 = 1]
= 9
প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে 2p + q এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 14/7 = 2
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arn - 1
তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, p = ar4-1
= ar3
= 7 × 23
= 7 × 8
= 56
ধারাটির পঞ্চম পদ, q = ar5 - 1
= ar4
= 7 × 24
= 7 × 16
= 112
∴ 2p + q = 2 × 56 + 112 = 224
প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ + ২৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১২৯?
সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ a = ৯
সাধারণ অন্তর d = ১৪ - ৯ = ৫
ধারার n তম পদ = ১২৯
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
৯ + (n-1) × ৫ = ১২৯
⇒ ৯ + ৫n - ৫ = ১২৯
⇒ ৫n = ১২৯ + ৫ - ৯
⇒ ৫n = ১২৫
⇒ n = ১২৫/৫
∴ n = ২৫
∴ ২৫ তম পদটি হলো ১২৯
প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে?
সমাধান:
ধরা যাক, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ (শতকরা হিসেবে)
বিজ্ঞানে ফেল = ৫২
অঙ্কে ফেল = ৪০
উভয় ক্ষেত্রে ফেল = ২৭
ফেল করা ছাত্রের সংখ্যা (বিজ্ঞানে বা অঙ্কে):
n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = n (বিজ্ঞানে ফেল) + n (অঙ্কে ফেল) - n (উভয় ফেল)
⇒ n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = ৫২ + ৪০ - ২৭ = ৬৫
অর্থাৎ, ৬৫% ছাত্র অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।
পাস করা ছাত্রের শতকরা অংশ = ১০০ − ৬৫ = ৩৫%
সুতরাং, ৩৫% ছাত্র পাস করেছে।
প্রশ্ন: যদি x = 101.4, y = 100.7 এবং xz = y3 হলে, z এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 101.4, y = 100.7
এবং
xz = y3
⇒ (101.4)z = (100.7)3
⇒ 101.4z = 102.1
⇒ 1.4z = 2.1
⇒ z = 2.1/1.4
⇒ z = 21/14
⇒ z = 3/2
∴ z = 1.5
(1 - x²/4)8
= 1.1 - 8(- x²/4) + (8.7/2)(- x²/4)² - (8.7.6/2.3)(- x²/4)³ +………
= 1 – 2x² + 7x4/4 – 7x6/8 +…………
x6 এর সহগ – 7/8
কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে উপসেট সংখ্যা = ২n।
প্রদত্ত সেটটিতে উপাদান সংখ্যা ৬টি।
সুতরাং নির্ণেয় উপাদান সংখ্যা = ২৬ = ৬৪
অপর দিকে কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা ২n – ১।
n = log813
= log81(81)1/4
= 1/4log8181
= 1/4.1
= 1/4
প্রশ্ন: x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - x - 12 = 0
∴ x2 - x - 12
= x2 - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)
⇒ x - 4 = 0 অথবা x + 3 = 0
⇒ x = 4 অথবা x = -3
অতএব, সমীকরণের মূলদ্বয় হলো -3 এবং 4
সঠিক উত্তর:
গ) -3, 4
loga400 = 4
a4 = 400 = (2√5)4
a = 2√5
400 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি = 2√5
প্রশ্ন: 18 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
সমাধান:
18 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 18C1 = 18 উপায়ে
17 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 17C1 = 17 উপায়ে
∴ বাছাই সংখ্যা = 18 × 17 = 306
সুতরাং, অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক 306 ভাবে নির্বাচন করা যাবে।
(- 1 ) × ( - 1 ) × ( 1 ) + ( - 1 ) ÷ ( -1 ) × ( -1 )
= 1 - 1 = 0
প্রশ্ন: 0.9 + 0.81 + 0.729 + ............... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
এখানে,
ধারাটি = 0.9 + 0.81 + 0.729 + ...............
এখানে, a = 0.9
r = 0.81/0.9 = 0.729/0.81 = 0.9
∴ অসীম ধারাটির সমষ্টি = S = a/(1 - r)
= 0.9/(1 - 0.9)
= 9 = 9.000