বীজগণিত

30 জন ছাত্রের মোট বয়স = (30×9) = 270 বছর
শিক্ষক সহ 31 জনের মোট বয়স = (31×10) = 310 বছর
∴ শিক্ষকের বয়স (310-270) = 40 বছর

ধরি, সংখ্যাটি  560 থেকে x কম
এবং 380 থেকে 3.5x বেশি 
প্রশ্নমতে,
560 - x = 380 + 3.5x
বা, 4.5x = 560 - 380
বা, x = 180/4.5 
বা, x = 40 
∴ সংখ্যাটি = 560 - 40 = 520

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা 60 জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা। মোট ভাড়া আদায় 2240 টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 60 - x জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = 20 টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = 20 × 3 = 60 টাকা

প্রশ্নমতে,
20x + 60(60 - x) = 2240
⇒ 20x + 3600 - 60x = 2240
⇒ 3600 - 40x = 2240
⇒ 40x = 3600 - 2240
⇒ 40x = 1360
⇒ x = 34

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 34 জন

X টি পেন্সিলের দাাম 5x টাকা এবং (x + 4) টি খাতার দাম টাকা 8(x + 4)
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x + 4) ≤ 97
13x ≤ 97 – 32
13x ≤ 65
x ≤ 65/13
x ≤ 5
সর্বাধিক 5 টি পেন্সিল কিনেছে

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: log₈ 0.25 = কত? 

সমাধান:
ধরি, log₈ 0.25 = x
⇒ 8^x = 0.25 [log_aM = x হলে, a^x = M হয়]
⇒ 8^x = 25/100
⇒ 8^x = 1/4
⇒ (2³)^x = 2^{- 2}
⇒ (2)^3x = 2^{- 2} 
⇒ 3x = - 2
∴ x = - 2/3

x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x√(0.36) = 9
⇒ x(√36/100) = 9
⇒ x√{(6/10)²} = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ 6x/10 = 9
⇒ 6x = 9 × 10
⇒ x = (9 × 10)/6
∴ x = 15

CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানো যাবে = 8p₄ = 1680

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হলে, x এর মান কত? 
​
সমাধান: 
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{3 - x}
⇒ x - 1 = 3 - x
⇒ x + x = 3 + 1
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = ৯
৭ম পদ, ক_৭ = ৬০
ক_৭ = ক + (৭ - ১)৯
⇒ ৬০ = ক + ৫৪ 
⇒ ক = ৬

এখন ১২তম পদ,
ক_১২ = ক + (১২ - ১)৯
⇒ ক_১২ = ৬ + ৯৯
⇒ ক_১২ = ১০৫

প্রশ্ন: x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁶ = 729
⇒ x⁶ = 3⁶
∴ x = 3

এখন,
log₃x
= log₃3
= 1

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4
⇒ a × (1/4) = 4
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

x⁰ + y^x0
= 1 + y¹ (x⁰ = 1)
= 1 + y

ধারাটির p-তম পদ = a + (p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a + (q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a + (p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a + (p-1)d = q ……………(1)
a + (q-1)d = p …………….(2)

1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (p-1)d - a - (q-1)d = q - p
d(p-1-q+1) = q - p
d (p - q) = -(p - q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ =
a + (p+q-1)d
= a + (p-1)d + qd
= q + qd [সমীকরণ 1 থেকে]
= q - q
= 0

প্রশ্ন: log₃(1/9) = ?

সমাধান: 
log₃(1/9)
= log₃9^{- 1}
= (- 1) log₃9
= (- 1) log₃3²
= (- 1)(2) log₃3
= - 2 × 1
= - 2

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 6 হয়, তবে x² + 1/(x²) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 6
⇒ 2{x + (1/x)} = 6
∴ x + (1/x) = 3 ……(1)

আমরা জানি,
x² + (1/x²)
= {x + (1/x)}² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: x³ + bx² - 5x + b  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + bx² - 5x + b
যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 1 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(1) নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + b(1)² - 5(1) + b
= 1 + b - 5 + b
∴ f(1) = 2b - 4

শর্তমতে,
f(1) = 0
⇒ 2b - 4 = 0
⇒ 2b = 4
∴ b = 2

³√5 . ³√5
= 5^1/3 . 5^1/3
= 5^{(1/3 + 1/3)}
= 5^2/3
= ³√5²
= ³√25

প্রশ্ন: (1/2) - (1/4) + (1/8) - (1/16) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/4) ÷ (1/2) = - 1/2 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (-1/2)}
= (1/2)/(1 + 1/2)
= (1/2)/(3/2)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৭ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত খেলার সংখ্যা = ^৭C_২
 = ৭!/{২! × (৭ - ২)!} 
= ৭!/(২! × ৫!) 
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!) 
= ২১ টি 

∴ ২ বার করে খেললে মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = ২১ × ২ = ৪২টি

A = {1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6}
∴ A∩B = {3, 4} ⊂ A

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম ও তৃতীয় পদের অনুপাত 2 : 5, পঞ্চম পদ 48 হলে দশম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a₁ = a
তৃতীয় পদ a₃ = a + 2d

তাহলে,
a₁/a₃ = 2/5
⇒ a/(a + 2d) = 2/5
⇒ 5a = 2(a + 2d)
⇒ 5a = 2a + 4d
⇒ 3a = 4d
⇒ a = 4d / 3 ------ (i)

এবার পঞ্চম পদ থেকে d এর মান 
a₅ ​= a + 4d
⇒ 48 = (4d/3) + 4d
⇒ 48 = (4d + 12d)/3
⇒ 48 = 16d/3
⇒ d = (48 × 3)/16
⇒ d = 9

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই - 
a = 4d / 3 
⇒ a = (4×9) / 3 
⇒ a =  12

এখন,
a₁₀ = a + 9d
= 12 + 9 × 9
= 93

∴ দশম পদ = 93

প্রশ্ন: 2x³ + 5x² - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো, x = 2 বসালে রাশির মান শূন্য হতে হবে।

প্রদত্ত রাশি, f(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 4
f(2) = 2(2)³ + 5(2)² - 6(2) + 4 ; [x = 2 বসিয়ে] 
= 2(8) + 5(4) - 12 + 4
= 16 + 20 - 12 + 4
= 36 - 12 + 4
= 28

সুতরাং, 28 বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

দেওয়া আছে,
r^c = p
(q^b)^c = p [r = q^b]
(p^a)^bc = p
p^abc = p¹
abc = 1

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4x² - 12x + 9 = 0

এখানে, ax² + bx + c= 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b= - 12, c = 9

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252

আমরা জানি,
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 30240 = 252 × r!
⇒ r! = 30240/252
⇒ r! = 120
⇒ r! = 5!
∴ r = 5

-5, 3 এর গড় = (-5 + 3)/2 = -1
এখন,
-5 < x < 3
বা, -5 + 1 < x + 1 < 3 + 1 [সকলপক্ষে -(-1) যোগ করে]
বা, -4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

ⁿP₄ = 6× ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 6
বা, {n(n-1)(n-2)(n-3)}/{n(n-1)(n-2)} = 6
বা, n-3 = 6
বা, n = 9
∴n এর মান 9

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
                                          = log₂2⁵
                                          = 5log₂2
                                          = 5 .1 
                                          = 5 

প্রশ্ন: x = 2 এবং y = 7 হলে, 25x² - 70xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 2 এবং y = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25x² - 70xy + 49y²
= (5x)² - 2 × 5x × 7y + (7y)²
= (5x - 7y)2
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 8x² এবং x > 0 হলে, x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 8x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + 1² = 8x²
⇒ (x² + 1)² = 8x²
⇒ x² + 1 = √(8x²)
⇒ x² + 1 = 2√2 . x
⇒ (x² + 1)/x = 2√2   [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x²/x + 1/x = 2√2
∴ x + (1/x) =  2√2

(0.24×10^p)/(0.3×10^q)=8×10⁷ 
⇒0.8×10^p-q=8×10⁷
⇒10^p-q=10⁸
⇒p-q=8
⇒q-p=-8

প্রশ্ন: ২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}] - এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ + (-৩)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ - ৯}]
= ২ + [৭ - (-৬)]
= ২ + (৭ + ৬)
= ২ + ১৩
= ১৫

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: 5, 8, 1, 4 অংকগুলি দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

সমাধান:
5, 8, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 8 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

আবার,
প্রথম স্থানে 8 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6 + 6) = 12টি । 

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 4 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 10² + 4²
= 100 + 16
= 116

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120