বীজগণিত

মূলদ্বয়ের যোগফল = 8/a = 1/2
∴ a = 16
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/a = 9/16

প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে,
মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: ৬ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ ৬ জন বন্ধুকে বসানোর উপায় = (৬ - ১)!
= ৫!
= ১২০

x² + x - 2 < 0
বা, x² + 2x - x - 2 < 0
বা, x(x + 2) - 1(x + 2) < 0
বা, (x + 2)(x - 1) < 0
∴ -2 < x < 1

a = ১,
r = ২/১ = ২,
n তম পদ = ar^n-১
বা, ১২৮ = ১ × r^n-১
বা, r^n-১ = ২^৭
বা, ২^n-১ = ২^৭
বা, n - ১ = ৭
∴ n = ৮

5ⁿ/aⁿ
= 5⁰/a⁰
= 1/1
= 1

x−11 < 4x+1
বা, x-11-x-1 < 4x+1-x-1
বা, -12 <3x
বা, x > -4

প্রশ্ন: যদি x + y = m, x - y = n হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = m
x - y = n

আমরা জানি
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = m² - n²
⇒ 4xy/2 = (m² - n²)/2
⇒ 2xy = (m² - n²)/2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 42 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 25 জন ইংরেজি এবং 20 জন বাংলা পড়তে পারে। যদি 10 জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ইংরেজি পড়তে পারে, n(E) = 25
বাংলা পড়তে পারে, n(B)  = 20
এবং উভয় ভাষাই পড়তে পারে, n(E ∩ B)  = 10

∴ ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা হলো,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
= 25 + 20 - 10
= 35

ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না = মোট ছাত্র - (ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা)
= 42 - 35
= 7

সুতরাং, ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে না পারা ছাত্রের সংখ্যা = 7 জন

এখানে, x + 2y = 4 ............(1)
x - 2y = 0 ...............(2)
(1) নং (2) নং দ্বারা পাই 2x = 4
∴ x = 2
 (2) নং থেকে পাই 2 - 2y = 0
∴ y = 1
∴ 4xy = 4.2.1 = 8

৪/৩ ÷ ৭/৫ এর ২০/২১
= ৪/৩ ÷ ৪/৩
= ৪/৩ × ৩/৪
= ১

প্রশ্ন: (7y)⁰ + 7y⁰ + (7y)⁰ + 7y⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(7y)⁰ + 7y⁰ + (7y)⁰ + 7y⁰
= 1 + (7 × 1) + 1 + (7 × 1)
= 1 + 7 + 1 + 7
= 16

প্রশ্ন: যদি 5^2x = 125 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
5^2x = 125
⇒ 5^2x = 5³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: যদি log_x(1/18) = - 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
log_x(1/18) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/18
⇒ 1/(x²) = 1/18
⇒ x² = 18
⇒ x² = 9 × 2
⇒ x² = 3² × 2
⇒ x² = (3√2)²
∴ x = 3√2

প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭ এবং ক এর গড় মান ৫.৫ হলে ক-এর মান কত? 

সমাধান: 
(৪ + ৬ + ৭ + ক)/৪ = ৫.৫ 
বা, (১৭ + ক)/৪ = ৫.৫ 
বা, ১৭ + ক = ৫.৫ × ৪ 
বা, ১৭ + ক = ২২ 
বা, ক = ২২ - ১৭ 
∴ ক = ৫ 

প্রশ্ন: |x - 4| < 7 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|x - 4| < 7
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ - 7 + 4 < x - 4 +4 < 7 + 4
⇒ - 3 < x < 11

প্রশ্ন: যদি (16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, (4²)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, 4^{4x + 6} = 4^{3x + 6}
বা, 4x + 6 = 3x + 6 
বা, 4x - 3x = 6 - 6 
∴ x = 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
1/(3x - 5) < 1/3
⇒ {1/(3x - 5)} - (1/3) < (1/3) - (1/3)
⇒ (3 - 3x - 5)/{3(3x - 5)} < 0
⇒ (8 - 3x)/(9x - 15) < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15) (9x - 15)} < 0
⇒ {(8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15)²} < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15) < 0
⇒ - 3(3x - 8) (3x - 5) < 0
⇒ (3x - 8) (3x - 5) > 0

∴ x =  x < 5/3 অথবা x > 8/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞

[অপশনে যেহেতু  – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞ নেই, সেহেতু 8/3 < x < ∞ অধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।]

প্রশ্ন: ১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলির মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো:
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১
মোট সংখ্যা = ৭ 

মোট সংখ্যা বিজোড় হওয়ায় মধ্যক হবে মধ্যবর্তী সংখ্যা, অর্থাৎ ৪র্থ সংখ্যা।
∴ মধ্যক = ১২

প্রশ্ন: n(X) = 20, n(X ∩ Y) = 10 এবং n(X ∪ Y) = 50 হলে n(Y) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X) = 20,
n(X ∩ Y) = 10,
n(X ∪ Y) = 50

আমরা জানি,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 50 = 20 + n(Y) - 10
⇒ 50 = 10 + n(Y)
⇒ n(Y) = 50 - 10
n(Y) = 40 

∴ n(Y) = 40  

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 5। অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 5

∴ সংখ্যাটি = 11y + 5
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে = 11y + 50

প্রশ্নমতে,
2(11y + 5) + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 10 + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 28 = 11y + 50
বা, 11y = 22
বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11 × 2 + 5
= 22 + 5 = 27

log₂128 + log₂16
= log₂2⁷ + log₂2⁴
= 7log₂2 + 4log₂2
= 7.1 + 4.1
= 11

৫ম সংখ্যা = ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি - (১ম ৪ টির সমষ্টি + শেষ ৫ টির সমষ্টি)
= ৫৬২ - (৪ × ৫২ + ৫ × ৩৮)
= ১৬৪

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করা হলো। তাদের সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬টি
আমরা চাই সমষ্টি ≥ ১১ অর্থাৎ ১১ অথবা ১২

যেসব জোড়ার সমষ্টি ১১ বা ১২ হয়,
সমষ্টি = ১১ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৫, ৬), (৬, ৫) = ২টি ফলাফল
এবং সমষ্টি = ১২ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৬, ৬) = ১টি ফলাফল

∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ২ + ১ = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ৩/৩৬
= ১/১২

সুতরাং, সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা = ১/১২