বীজগণিত

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
∴ f(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 11(3) + 6
= 54 - 27 - 33 + 6
= 60 - 60
= 0

যেহেতু f(3) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 3) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

5^(3x-7) = 3^{(3x - 7)}
⇒ 5^(3x-7)/3^(3x-7) = 1
⇒ (5/3)^{(3x - 7)} = (5/3)⁰
⇒ 3x - 7 = 0
⇒ x = 7/3

প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (12 - 3) = 9 টি

এখন,
9 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 9C6 
= 9!/{6! × (9 - 6)!}
= 9!/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7 × 6!)/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7)/(3 × 2)
= 84

সুতরাং, 84 টি উপায়ে বই বাছাই করা যাবে।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন-

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ।
∴ সংখ্যাটি = x + 10y
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7
∴ x - 2y = - 7..........(1)

২য় শর্তানুসারে
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
⇒ 9(y - x) = 18
∴ y - x = 2.............(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = - 7 + 10
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

প্রশ্ন: 3x² - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² - 10x - 8
= 3x² - 12x + 2x - 8
= 3x(x - 4) + 2(x - 4)
= (3x + 2)(x - 4)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1

প্রশ্ন: (625)^0.24 × (625)^0.26 = ?

সমাধান:
= (625)^{0.24 + 0.26}  [a^m × aⁿ = a^{m + n}]
= (625)^0.50
= (625)^1/2
= √625
= √(25²)
= 25

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান:

ধরি,
f(x) = x³ + 3x + 36
(x+3), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি f(x) = 0 হয়।
f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
সুতরাং (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

b² - 4ac = 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং সমান এবং মূলদ
b² - 4ac পূর্ণ বর্গ হলে বাস্তব এবং অসমান এবং অমূলদ
b² - 4ac < 0 হলে মূল দুইটি জটিল সংখ্যা
b² - 4ac > 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি  1771.

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1
= 0.1 [0.1 < 1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 0.1/(1 - 0.1) 
= 0.1/0.9
= 1/9

মোট বল = ৭ + ৪ + ৯ = ২০ টি
একটি বল তুললে বলটি কমলা হবার সম্ভাবনা ৪/২০
আবার, একটি বল তুললে বলটি সবুজ হবার সম্ভাবনা ৯/২০
ঘটনা দুটি পরষ্পর বর্জনশীল।
এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা = ৪/২০ + ৯/২০ = ১৩/২০

প্রশ্ন: ১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৮ - ১৫) = ৩
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৩
= ১৫ + (২৪ × ৩)
= ১৫ + ৭২
= ৮৭

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = ৮৭

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে
2(x +  y) =18
x + y = 9 
x = 9 - y.................(1)

আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y² = 20
বা, - y² + 9y - 20 = 0
বা, -1(y² - 9y + 20) = 0
বা, y² - 9y + 20 = 0
বা, y² - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0

হয় 
y - 5 = 0
y = 5

অথবা
y - 4 = 0
y = 4

যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4 
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5

অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = 4 মিটার

সমাধান:

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 6)
= (a + 1)(a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)

দেওয়া আছে, 3^-3
= 1/3³
= 1/(√3 × √3)³
= 1/(√3)⁶

ছক্কায় মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = মোট 6 টি
জোড় মৌলিক সংখ্যা = {2} = মোট 1 টি
∴ সম্ভাবনা = 1/6

প্রশ্ন: 12 + 9 + 6 + ... ধারাটির 30 তম পদটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা, কারণ প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের থেকে 3 করে কমছে।
প্রথম পদ, a = 12,
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 12 = - 3

n তম পদের সূত্র, a_n = a + (n - 1) d

এখন 30 তম পদের জন্য, a₃₀ = 12 + (30 - 1)(- 3)
= 12 + 29(- 3)
= 12 - 87
= - 75

∴ 30 তম পদটি - 75

প্রশ্ন: 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো:
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 0.1/1 = 0.1

যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

আমরা জানি,
অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
⇒ S_∞ = 1/(1 - 0.1)
⇒ S_∞ = 1/0.9
⇒ S_∞ = 1/(9/10)
⇒ S_∞ = 10/9

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি =

3/x - 4/(x + 1) = 1
বা, (3x + 3 - 4x)/x(x + 1) = 1
বা, x² + x = -x + 3
বা, x² + 2x - 3 = 0
বা, x² + 3x - x - 3 = 0
বা, x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
বা, (x + 3)(x - 1) = 0
∴ x = -3, 1

প্রশ্ন:

সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
বা, {√(x + 3)}2 = (√x + √3)2
বা, x + 3 = x + 2√x√3 + 3
বা, 2√(x3) = 0
∴ x = 0