বীজগণিত

প্রশ্ন: 3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এবং z এর সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 3
ধরি, 
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 243
⇒ r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3

এখন, 
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ y, z এর সমষ্টি = 27 + 81 = 108

প্রশ্ন: q - {q - (q + 1)} = কত?
 
সমাধান:
q - {q - (q + 1)}
= q - {q - q - 1}
= q - { - 1}
= q + 1

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2.a.1/a
= 5² - 2
= 23

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 5 অথবা তার থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6 টি
নমুনা ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

এখন,
5 বা তার থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = 5, 6
= 2 টি সংখ্যা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 2/6
= 1/3

শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
কোনটিই খেলে না = ৩২ - (১১ + ৯ + ৭)
= ৩২ - ২৭
= ৫ জন

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 1 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y = 7) এবং (x - y = 1)

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
= 7² - 1²
= 49 - 1
= 48
⇒ 4xy = 48
⇒ xy = 48/4
∴ xy= 12

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং তৃতীয় পদ 7 হলে, ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 3
৩য় পদ = 7
২য় পদ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){(2 × 3) + (12 - 1)2}
= 6{6 + (11 × 2}
= 6(6 + 22)
= 6 × 28
= 168

প্রশ্ন: (x² + 2) এবং (x⁴ - 2x² + 4) এর গুণফল নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(x² + 2)(x⁴ - 2x² + 4)
= (x² + 2){(x²)² - x² × 2 + 2²}
= (x²)³ + (2)³
= x⁶ + 8

 Question: If 9^{2x + 1} = 81, then x = ?

Solution:
9^{2x + 1} = 81
বা, 9^{2x + 1} = 9² 
বা, 2x + 1 = 2
বা, 2x = 2 - 1
বা, 2x = 1
বা, x = 1/2
 

প্রশ্ন: 2x² + 5x - 3 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² + 5x - 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 5,
c = - 3

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 2 × (- 3)
= 25 + 24
= 49

যেহেতু 49 > 0,
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: 2, 5, 8, 9 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে,
তথ্য সংখ্যা, n = 4
∴ গাণিতিক গড় (x̄) = (2 + 5 + 8 + 9)/4
= 24 / 4
= 6

আমরা জানি, ভেদাঙ্ক (σ²) = Σ(x_i - x̄)²/n

∴ ভেদাঙ্ক = {(2 - 6)² + (5 - 6)² + (8 - 6)² + (9 - 6)²}/4
= {(- 4)² + (- 1)² + (2)² + (3)²}/4
= (16 + 1 + 4 + 9)/4
= 30/4
= 7.5

∴ তথ্যসারিটির ভেদাঙ্ক = 7.5

3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1}/(3^{m² - m} ÷ 3^{2m + 2}/3^{m² - 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m} ÷ 3^{2m + 2 - m² + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m - 2m - 2 + m² - 1 + 2}
= 3⁰
= 1

ধারাটির প্রথম পদ a = ২
সাধারণ অন্তর d = -৫ - ২ = -৭
∴ ১২ তম পদ
= a+(n-1)d
= ২ +(১২ -১)(-৭)
= -৭৫

প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।

অপশন থেকে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়। যেমন-
৩৪ এর ক্ষেত্রে স্থান বিনিময় করলে ৪৩ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ৪৩-৩৪ = ৯ (উত্তর)

প্রতিবারে এক বা একাধিক বস্তুকে বাছাই করা যায় 2ⁿ -1 উপায়ে
মাহি এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে 2¹² - 1 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √6

এখন
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√6)³ - 3√6
= 6√6 - 3√6
= 3√6

A এর উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ = 2³ = 8 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2³ - 1 = 8-1 = 7 টি।
এবং A এর অপ্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 1 টি।

ধরি, ছাত্রসংখ্যা ক
প্রশ্নমতে, ক² = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১

মোট সদস্য সংখ্যা = ১১ জন
ম্যানাজারকে অর্থাৎ ১ জনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে কমিটি গঠনের মোট উপায় = ^(১১-১)C_(৪-১)
= ^১০C_৩
= ১২০

প্রশ্ন: 5^1/4 × (125)^0.25  এর মান কত?

সমাধান:
5^1/4 × (125)^0.25
= 5^0.25 × (5³)^0.25
= 5^0.25 × 5^{(3 × 0.25)}
= 5^0.25× 5^0.75
= 5^{(0.25 + 0.75)}
= 5¹
= 5

4 + 8 + 16 + -----------
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2
সুতরাং ধারাটির সাধারণ তথা n তম পদ = ar^n-1
= 4.2^n-1
= 2².2^n-1
= 2^2+n-1
= 2ⁿ⁺¹

প্রশ্ন: যদি 2x - 7 ≤ 11 হয়, তাহলে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2x - 7 ≤ 11
⇒ 2x − 7 + 7 ≤ 11 + 7 ; [উভয় পাশে 7 যোগ করে] 
⇒ 2x ≤ 18
⇒ x ≤ 18/2 ; [উভয় পাশে 2 দিয়ে ভাগ করে] 
∴ x ≤ 9

a - [a - a - (a - 1)]
= a - [a - a - a + 1]
= a - [- a + 1]
= a + a - 1
= 2a - 1

প্রশ্ন: (5x/6) + 2 = (2x/3) + 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 2 = (2x/3) + 4
বা, (5x/6) - (2x/3) = 4 - 2
বা, (5x - 4x)/6 = 2
বা, x/6 = 2
বা, x = 2 × 6
∴ x = 12

একটি ছক্কা ৩ বার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে ৬^৩ বা ২১৬টি
প্রতিবারে একই সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ৬ টি।
(১, ১, ১), (২, ২, ২), (৩, ৩, ৩), (৪, ৪, ৪), (৫, ৫, ৫) ও (৬, ৬, ৬)
সুতরাং নির্ণেয় একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = ৬/২১৬
= ১/৩৬

প্রশ্ন: (2 + √3) এবং (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল:
α + β = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল:
α × β = (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1

নির্ণয় সমীকরণ:
x² - (α + β)x + αβ = 0
⇒ x² - 4x + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ = x² - 4x + 1 = 0

y = x - √3
x-y = √3
4xy = (x+y)² - (x-y)²
= (√7)² - (√3)²
= 7-3
= 4
∴ xy = 1

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6টি অক্ষরের মধ্যে E আছে = 2 টি 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/ (2 × 1)
= 360

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20

f(- 1) নির্ণয় করি,
f(- 1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

∴ (a + 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।