বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y) = 7 এবং xy = 10

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = 7² - (4 × 10)
⇒ (x - y)² = 49 - 40
⇒ (x - y)² = 9
⇒ x - y = √9
∴ x - y = 3

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো-  ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০
মোট উপাত্ত, n = ৫ টি

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ = (৫ + ১)/২ = ৬/২ = ৩য় পদ

∴  ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর
মধ্যক = ৩য় পদ অর্থাৎ ১২

ক = ৩ এবং খ = ২ হলে,
ক+ক = খ+খ+খ অর্থাৎ, ৬ = ৬ হয়। এবং ক+খ = ৩+২ = ৫ হয়।
এখন, ক^২+ খ^২ = ৯+৪ = ১৩।

প্রশ্ন: যদি p = 4 এবং q = 3 হলে, p - [q - {p - (q - 1)}] এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4 এবং q = 3

প্রদত্ত রাশি, 
p - [q - {p - (q - 1)}]
= p - [q - {p - q + 1}]
= p - [q - p + q - 1]
= p - [2q - p - 1]
= p - 2q + p + 1
= 2p - 2q + 1
= 2(4) - 2(3) + 1
= 8 - 6 + 1
= 3

প্রশ্ন: (x²)³ কে x³ দ্বারা গুণ করলে কত হবে?

সমাধান:
(x²)³ × x³
= x⁶ × x³
= x^{6 + 3}
= x⁹

প্রশ্ন: log_x1/9 = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x1/9 = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/9
⇒ x^{- 2} = (1/3)²
⇒ x^{- 2} = 3^{- 2}
⇒ x = 3

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ ‍x - 1/x = 0

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2 × 0
= 0

প্রশ্ন: x + y = 5; xy = 4 হলে,  x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ (x - y)² + 4xy = 25
⇒ (x - y)² + 4.4=25
⇒ (x - y)² = 25 - 16
⇒ (x - y)²= 9
⇒ (x - y) = √9
∴ (x - y) = 3

এখন,
x + y = 5 ................ (1)
x - y = 3 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (4)⁵ + (1)⁵
= 1024 +1
 = 1025

দেয়া আছে, x = 3y এবং
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

প্রশ্ন: 3x + 3/x​ = 6 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
3x + 3/x​ = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)³ = 2³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
⇒ x³ + 1/x³​ + 3 × (x + 1/x) = 8
⇒ x³ + 1/x³ + 3 × 2 = 8 [প্রাপ্ত (x + 1/x) = 2]
⇒ x³ + 1/x³ + 6 = 8
⇒ x³ + 1/x³ = 8 - 6
∴ x³ + 1/x³ = 2

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_aa = 1?

সমাধান:
log_⁡aa = 1 এই লগারিদমিক অভিব্যক্তিটির মান 1 হয় তখনই যখন ভিত্তি (base) এবং লঘুগুণনীয় (argument) একই হয় এবং উভয়েই ধনাত্মক, এবং ভিত্তি a ≠ 1 হয়।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
log⁡_aa = x
⇒ a^x = a

এখানে a^x = a হবে তখনই যখন x = 1। অর্থাৎ:
log⁡_aa = 1 যদি a > 0 এবং a ≠ 1

89×89 + 87×87 - 2×89×87
= (89)² + (87)² - 2×89×87
= (89 - 87)²
= 2² = 4

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3
ধরি, n তম পদ = 3645

ধরি,
n তম পদ = 3645
⇒ ar^{n - 1} = 3645
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 3645 হবে।

²ⁿc_r = ²ⁿc_2n-r
∴ ²ⁿc_r = ²ⁿc_r+4
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+4
বা, 2n - r = r + 4
বা, 2n = 2r + 4
∴ n = r + 2

প্রশ্ন: যদি x² - x - 12 এবং x² - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

এবং
২য় রাশি,
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

∴ গ.সা.গু = x - 4

প্রশ্নমতে, 
x - a = x - 4
∴ a = 4

প্রশ্ন: যদি x² - √7x + 1 = 0 হয়, তবে  {5x + (5/x)} =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √7x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √7x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ 5{x + (1/x)} = 5√7
∴ 5x + (5/x)} = 5√7

4x-7 < 2x+13
⇒ 4x-7-2x+7 < 2x+13-2x+7
⇒ 2x < 20
∴ x < 10

প্রশ্ন: (1/2) ​+ (1/4)​ + (1/8) ​+................. ধারাটির 7 তম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ সূত্র,
a_n​ = a × r^n-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)^7-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)⁶
⇒ a₇ = (1/2)⁷
⇒ a₇ = 1/128
 
∴ 7 তম পদ 1/128

= m - [m - {m - (-1)}]
= m - [m - {m + 1}]
= m - [m - m - 1]
= m - [-1]
= m + 1

সাদা বল = 4টি
কালো বল = 5টি
মোট বল = 9টি
∴ 3টি বল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা
= ⁴c₃/ ⁹c₃ + ⁵c₃/⁹c₃
= 4/84 + 10/84
= 14/84
= 1/6

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7 ......... (1)

যেখানে,
(1) এর সাথে p ≤ 3x - 2 ≤ q তুলনা করে পাই, 
∴ p = - 17 এবং q = 7

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার মধ্যে দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার তিনগুণ এবং প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় 55 হলে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = x
∴ প্রথম সংখ্যাটি = x/2
এবং
তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3

দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = 55 
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = 55 × 3 = 165

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x/3) = 165
⇒ (6x + 3x + 2x)/6 = 165
⇒ 11x = 165 × 6
⇒ x = (165 × 6)/11
∴ x = 90

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3 = 90/3 = 30

প্রশ্ন: 1, 3, 5, 7,.....অনুক্রমটির 15 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
1, 3, 5, 7, ...
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ ১৫তম পদ = 1 + (15 - 1) × 2
= 1 + 14 × 2
= 1 + 28
= 29

x/y = 1/2; ∴ y = 2x………….(1)
আবার, x + 2y = 10
বা, x + 2.2x = 10
বা, 5x = 10
∴ x = 2 (1)নং থেকে পাই y = 2.2 = 4

প্রশ্ন: |5x - 7| ≤ 8 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|5x - 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x - 7 ≤ 8
⇒ - 8 + 7 ≤ 5x - 7 + 7 ≤ 8 + 7
⇒ - 1 ≤ 5x ≤ 15
⇒ - 1/5 ≤ 5x / 5 ≤ 15/5
⇒ - 1/5 ≤ x ≤ 3

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করলে পাই, [-1/5, 3]।
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা -1/5 থেকে 3 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

সঠিক উত্তর: খ) [- 1/5, 3]

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ = log₃ (3√3)
= log₃ (3.3^1/2)
= log₃3^{1 + (1/2)}
= log₃3^3/2
= (3/2) log₃3
= 3/2 × 1  [∴ log_aa = 1] 
= 3/2

দেওয়া আছে,
4^{x + 1} = 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ (2x + 2) = 5
⇒ 2x = 5 - 2
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: 35 - 2x - x²এর একটি উৎপাদক (7 + x) হলে অপর উৎপাদক কত?

সমাধান:
35 - 2x - x²
= 35 - 7x + 5x - x²
= 7(5 - x) + x(5 - x)
= (5 - x)(7 + x)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x³ - 6x² + ax - 16 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 4 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + ax - 16।
যেহেতু (x - 4) রাশিটি একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 4 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(4) এর মান নির্ণয় করি,
f(4) = (4)³ - 6(4)² + a(4) - 16
= 64 - 6(16) + 4a - 16
= 64 - 96 + 4a - 16
= - 32 + 4a - 16
= 4a - 48

শর্তমতে,
f(4) = 0
⇒ 4a - 48 = 0
⇒ 4a = 48
∴ a = 12