বীজগণিত

প্রশ্ন: প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

∴ প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি
= {5(5 + 1)/2}²
= {(5 × 6)/2}²
= (30/2)²
= 15²
= 225

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 225

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

 সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹¹C₅
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

প্রশ্ন: |x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 1| < 7
⇒ - 7 < x + 1 < 7
⇒ - 7 - 1 < x + 1 - 1 < 7 - 1  [উভয়পক্ষে - 1 যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 6 

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 6}

প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির প্রত্যেকটি বর্ণ আলাদা কাগজে লিখে একটি বাক্সের মধ্যে রাখা হলো এবং মিশানো হলো। একটি কাগজ দৈবভাবে তুললে তা I হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
M I S S I S S I P P I শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = ১১টি। 
যার মধ্যে,
M আছে ১টি, I আছে ৪টি, S আছে ৪টি এবং P আছে ২টি

∴ I এর সংখ্যা = ৪টি

∴ P(I হওয়ার সম্ভাবনা) = (I এর সংখ্যা)/(মোট বর্ণের সংখ্যা) 
= ৪/১১

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​প্রথম পদ = ১১
​
​দ্বিতীয় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫
​
​সাধারণ অন্তর = ১৫ - ১১ = ৪ 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴​ প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি = (৯/২){২a + (৯ - ১)d} 
​= (৯/২)(২ × ১১ + ৮ × ৪)
​= (৯/২)(২২ + ৩২)
​= (৯/২) × ৫৪
​= ৯ × ২৭
​= ২৪৩ 

৫০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (৫০ × ৭৫) = ৩৭৫০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৩০ × ৭৮) = ২৩৪০
(৫০ - ৩০) বা ২০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৩৭৫০ - ২৩৪০) = ১৪১০
∴ ২০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ১৪১০/২০ = ৭০.৫

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)² 
= (3x - 5y)²
= {(3 x 8) - (5 x 7)}²   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: যদি 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হয়, তাহলে n = কত?

সমাধান: 
2 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (২০ - ১১)%
= ৯%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১৮ - ১১)%
= ৭%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (৯ + ৭ + ১১)%
= ২৭%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২৭)%
= ৭৩%

(3²)^x = (3³)^y 
3^2x = 3^3y
2x = 3y
x/y = 3/2

প্রশ্ন: x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?

সমাধান:
x - y = z
বা, x = y + z

∴ x + y + z = 16
বা, x + x =16
বা, 2x = 16
∴ x = 8

4 সদস্যের কমিটি গঠনপ্রক্রিয়া নিম্নরুপ-
মহিলা (4 জন) -- পুরুষ (6 জন)
(i)            1 -- 3
(ii)           2 -- 2
(iii)          3 -- 1

(i) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₁ × ⁶c₃
= 4 × 20
= 80

(ii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₂ × ⁶c₂
= 90

(iii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₃ × ⁶c₁
= 24

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 80 + 90 + 24
= 194

log₂√10 - log₂√(5/2)
= log₂(10)^1/2 - log₂(5/2)^1/2
= 1/2 log₂10 - 1/2 log₂5/2
= 1/2 [log₂(5×2) - log₂5/2]
= 1/2 [log₂5 + log₂2 - (log₂5 - log₂2)]
= 1/2 [log₂5 + 1 - log₂5 + 1]
= 1/2 × 2
= 1

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11}
এখানে, x এর মান 5 এর সমান বা বড় এবং 11 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12}
এখানে, x এর মান 12 এর ছোট স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {5, 7, 9}

∴ A ∩ B এর মান {5, 7, 9}

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x⁶ - 1/x⁶ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x⁶ - 1/x⁶
= (1)⁶ - {1/(1)⁶}
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

প্রশ্ন: x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান: 
x + (1/y) = 3/2 ..........(A)
y + (1/x) = 3 .............(B)

সমীকরণ (A) ⇒ xy + 1 = 3y/2 ..........(1)       [উভয়পক্ষে y গুণ করে]

সমীকরণ (B) ⇒ xy + 1 = 3x .............(2)            [উভয়পক্ষে x গুণ করে]
 
এখন, (2) - (1) ⇒
3x - (3y/2) = 0
⇒ 3x = (3y/2)
⇒ x = y/2 .............(3)

সমীকরণ (A) ⇒
(y/2)+ (1/y) = 3/2
⇒ (y² + 2)/2y = 3/2
⇒ y² + 2 = 3y
⇒ y² - 3y + 2 = 0
⇒ y² - 2y - y + 2 = 0
⇒ y(y - 2) - 1(y - 2) = 0
⇒ (y - 2)(y - 1) = 0

∴ y = 2, 1

y = 2 হলে (3) হতে,
x = 2/2 = 1

এবং y = 1 হলে (3) হতে,
x = 1/2

∴ (x, y) = (1, 2), (1/2, 1)

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 + ............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 512 
বা, 2ⁿ = 512 
বা, 2ⁿ = 2⁹ 
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512. 

1/(log_a(abc)) + 1/(log_b(abc)) + 1/(log_c(abc))
= log_ka/(log_k(abc)) + log_kb/(log_k(abc)) + log_kc/(log_k(abc))
= (log_ka + log_kb + log_kc)/( log_k(abc)) {সূত্র log_aM= (log_bM)/(log_ba)}
= ( log_k(abc)) / ( log_k(abc))
= 1

প্রশ্ন: p² - r² + q² - 2pq এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?     

সমাধান:
p² - 2pq + q² - r²
=(p - q)² - (r)²
=(p - q + r) (p - q - r)

a³ - 21a -20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a ( a + 1) - 20(a + 1)
= (a+1)(a² -a - 20)

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ৯৬ বসবে।

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5
এবং 
a² + b² + c² = 9 

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(5)2 - 9}
বা, 2(ab + bc + ca) = (25 - 9)
বা, 2(ab + bc + ca) = 16
বা, (ab + bc + ca) = 16/2
∴ (ab + bc + ca) = 8

পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)^{পুরস্কার} = 10 ³= 1000

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3}
⇒ (p/q)^{3x - 7} = (p/q)^{-(x - 3)}
⇒ 3x - 7 = -(x - 3)
⇒ 3x - 7 = -x + 3
⇒ 3x + x = 3 + 7
⇒ 4x = 10
∴ x = 10/4 = 2.5

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: |x + 4| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 4 ≤ 7
⇒ - 7 - 4 ≤ x ≤ 7 - 4
⇒ - 11 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 41 এবং a + b = 9

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ (9)² = 41 + 2ab
⇒ 81 = 41 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189