বীজগণিত

প্রশ্ন: 3z - 2y = 5 এবং 2z + 3y = 12 হলে (z, y) এর মান কত? 

সমাধান:
3z - 2y = 5................(1)
2z + 3y = 12................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
⇒ 9z - 6y  + 4z + 6y = 15 + 24
⇒ 13z = 39
⇒ z = 39/13
⇒ z = 3

(2) নং হতে পাই,
2z + 3y = 12
⇒ 2 × 3 + 3y = 12
⇒ 6 + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণেয় সমাধান (z, y) = (3,2)

প্রশ্ন: । 2a - 7। < 5 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a - 7 । < 5
⇒ - 5 < 2a - 7 < 5
⇒ - 5 + 7 < 2a - 7 + 7< 5 +7
⇒ 2 < 2a < 12
⇒ 1 < a < 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদ ১৫ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ৭০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৫ম পদ = a + (৫ - ১)d
⇒ a + (৫ - ১)d = ১৫ 
∴ a + ৪d = ১৫ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ৭০
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ৭০ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ৭০
∴ a + ৩d = ১০  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ৪d = ১০ - ১৫
⇒ - d = - ৫  
∴ d = ৫  

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪d = ১৫
a + ২০ = ১৫ 
∴ a = - ৫  

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি - ৫ 

প্রশ্ন: একটা বাক্সে ৪টা লাল, ৩টা নীল, ২টা হলুদ ও ১টা সবুজ বল আছে। কমপক্ষে কয়টা বল উঠালে সেখানে অন্তত একটা লাল বল থাকবেই?

সমাধান:
লাল বল = ৪
নীল বল = ৩
হলুদ বল = ২
সবুজ বল = ১
মোট = ৪ + ৩ + ২ + ১ = ১০ বল

সমাধান করতে হবে: কমপক্ষে কয়টা বল তুললে অন্তত একটি লাল বল উঠবেই। 

- কমপক্ষে লাল বল বের করার জন্য worst case বিবেচনা করতে হবে। 
worst case = প্রথমে সব লাল না তুলে বাকি সব রঙের বল তুলতে হবে। 

লাল নয় এমন বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬
অতএব, ৬টা বল তোলার পরও আমরা কোনো লাল বল নাও পেতে পারি।

এখন, 
৬টা লাল নয় এমন বলের পর আরও ১টা বল তুললে লাল বল আসবেই।
অতএব, ৭টা বল তুলতে হবে।

 সঠিক উত্তর: (গ) ৭

প্রশ্ন: log_√28 = কত?

সমাধান:
log_√28
= log_√28
= log_√2{(√2)²}³
= log_√2(√2)⁶
= 6log_√2√2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: কোনো বিদ্যালয়ের নবম শ্রেণির ২০ জন ছাত্রের ইংরেজি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর ৭৫, ৬০, ৭১, ৬০, ৮০, ৭৮, ৯০, ৭৫, ৮০, ৯২, ৮০, ৯০, ৯৫, ৯০, ৮৫, ৯০, ৭৮, ৭৫, ৯০, ৮৫ দেওয়া হলো। এদের প্রচুরক নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো- 
৬০, ৬০, ৭১, ৭৫, ৭৫, ৭৫, ৭৮, ৭৮, ৮০, ৮০, ৮০, ৮৫, ৮৫, ৯০, ৯০, ৯০, ৯০, ৯০, ৯২, ৯৫ 
এখানে,
৬০ আছে = ২ বার,
৭৫ আছে = ৩ বার,
৭৮ আছে = ২ বার,
৮০ আছে = ৩ বার,
৮৫ আছে = ২ বার,
৯০ আছে = ৫ বার
এবং বাকি নম্বরগুলো আছে = ১ বার করে।
∴ ৯০ সর্বাধিকবার আছে 

∴ নির্ণেয় প্রচুরক = ৯০।

ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}²
= (8/2)² - (4/2)²
= 64/4 - 16/4
= (64-16)/4
= 12

প্রশ্ন: |x - 3| ≤ 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 2x - 1 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 3| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x - 3 ≤ 4
⇒ - 4 + 3 ≤ x ≤ 4 + 3
⇒ - 1 ≤ x ≤ 7
⇒ - 1 × 2 ≤ 2x ≤ 7 × 2
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 14
⇒ - 2 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 14 - 1
⇒ - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 13

এখন, m ≤ 2x - 1 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 3 এবং n = 13।

প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}²
= {(11 × 12)/2}²
= (11 × 6)²
= (66)²
= 4356

প্রশ্ন: | x + 1 | < 3 অসমতার সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
| x + 1 | < 3
⇒ - 3 < x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < x + 1 - 1 < 3 - 1   ; [উভয় পাশ থেকে ১ বিয়োগ করি]
⇒ - 4 < x < 2

∴ অসমতার সমাধান সেট = (- 4, 2)

প্রশ্ন: 2x² + 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x² + 5x - 3 = 0
⇒ 2x² + 6x - x - 3 = 0 
⇒ 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0 
⇒ (2x - 1)(x + 3) = 0

হয়, 
2x - 1 = 0
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

অথবা 
x + 3 = 0
∴ x = -3

সুতরাং, মূলদ্বয় 1/2, - 3

প্রশ্ন: 6x² - 17xy + 12y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
6x² - 17xy + 12y²
= 6x² - 9xy - 8xy + 12y²
= 3x(2x - 3y) - 4y(2x - 3y)
= (2x - 3y)(3x - 4y)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x − ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x − ২ + ১০ (y + ৩) 
= x − ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x − x +৩০y − ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, x + ১০y = ২৮/২ 
∴ x + ১০y = ১৪ 

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

প্রশ্ন: B = {p, q, r, s} সেটের উপসেট কয়টি?

সমাধান:
- কোনো সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

দেওয়া আছে,
B = {p, q, r, s}
উপাদানের সংখ্যা, n = 4
∴ উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: যদি p = x² + xy + y²  এবং q = x² - xy + y² হয় তবে q - p = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
p = x² + xy + y²
q = x² - xy + y²

∴ q - p
= (x² - xy + y²) - (x² + xy + y²)
= x² - xy + y² - x² - xy - y²
= - 2xy

প্রশ্ন: |3x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 2| < 7
⇒ - 7 < 3x + 2 < 7  [পরম মান এর নিয়মানুযায়ী]
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2  [উভয়পাশে 2 বিয়োগ করে]
⇒ - 9 < 3x < 5
⇒ (- 9/3) < (3x / 3) < (5/3)  [উভয়পাশে 3 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ - 3 < x < (5/3) 

প্রশ্ন: log_pq⁴ = 4a এবং log_qp² = 2b হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
log_pq⁴ = 4a
⇒ 4log_pq = 4a
⇒ log_pq = a

আবার,
log_qp² = 2b
⇒ 2log_qp = 2b
⇒ log_qp = b

∴ab = log_pq × log_qp
⇒ ab = log_pq × (1/log_pq)
⇒ ab = 1

।2x - 1। < 1
বা, -1 < 2x - 1 < 1
বা, -1 + 1 < 2x - 1 + 1 < 1 + 1
বা, 0 < 2x < 2
∴ 0 < x < 1

c^r = a
বা, (b^q)^r = a
বা, b^qr = a
বা, (a^p)^qr = a
বা, a^pqr = a¹
∴ pqr = 1

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়  তাই 
সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1. (2⁵ - 1)/2 - 1 
= (32 - 1)/1 
= 31 

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = 31

প্রশ্ন: log₄​(64) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₄​(64)
= log₄4³
= 3 log₄4
= 3 ; [log₄4 = 1]

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= (17)² - 4 X 60
= 289 - 240
= 49
∴ x - y = √49 = 7

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (q - 1)² - 36 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 (q - 1)² - 36 
= (q - 1)² - 6²
= (q - 1 + 6)(q - 1 - 6)
= (q + 5)(q - 7)

ধরি, লব = X এবং হর = Y
প্রশ্নমতে,
(X + ১)/(Y + ১) = ৪
X - ৪Y = ৩.....(1)
এবং
(X - ১)/(Y - ১) = ৭
X - ৭Y = -৬......(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
X = ১৫
Y = ৩
∴লব = ১৫

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যেতে পারেঃ
1 জন চে. ----- 2 জন ভাইস চে. ---- 10 জন সদস্য
1 ------------ 1 ---------------- 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটি গঠনের সংখ্যা = ¹C₁ × ²C₁ × ¹⁰C₃
= 1 × 2 × 10!/{3! × (10-3)!}
= 1 × 2 × (10 × 9 × 8 × 7! ÷ 3! × 7!)
= 2 × 120
= 240

দেওয়া আছে,
x + y = 8 এবং x - y = 6
এখন,
x² + y²
= 1/2{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/2(8² + 6²)
= 1/2(64+36)
= 1/2 × 100
= 50

প্রশ্ন:  যদি g(x) = 2x³ + ax² - 7x + 5 হয়, তবে কোন মানের জন্য g(- 1) = 0 হবে?

সমাধান:
g(x) = 2x³ + ax² - 7x + 5
g(- 1)= 2(- 1)³ + a(- 1)² - 7(- 1) + 5
= - 2 + a + 7 + 5
= a + 10

∴ a + 10 = 0
a =  - 10

প্রশ্ন: ২০০ সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক হচ্ছে:

সমাধান:
২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫  
এখানে,২ আছে ৩ বার এবং ৫ আছে ২ বার

∴ ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২