বীজগণিত

ⁿc_r + ⁿc_r-1 = ⁿ⁺¹c_r  .............(1)
(1) নং -এ n এর পরিবর্তে n+1 এবং r এর পরিবর্তে r+1 বসিয়ে পাই 
ⁿ⁺¹c_r+1 + ⁿ⁺¹c_r = ⁿ⁺²c_r+1

a² + b² + 3ab
= a² + b² + 2ab + ab
= (a + b)² + ab
= (7)² + 10
= 49 + 10
= 59

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭
অর্থাৎ, প্রদত্ত সংখ্যা × ২ + ১ = পরবর্তী সংখ্যা।

প্রশ্ন: (3/2) + 3 + 6 + ............... ধারাটির কোন পদটি 192 হবে?

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3/2
সাধারণ অনুপাত, r = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 3/2 × 2^{n - 1} = 192
⇒ 2^{n - 1} = (192 × 2) / 3
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
n = 8

সুতরাং 8th তম পদ 192

নীল মার্বেল সংখ্যা = 6টি
সবুজ মার্বেল সংখ্যা = 7টি
মোট মার্বেল সংখ্যা = (6 + 7) = 13টি
∴ মার্বেল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁶C₃ + ⁷C₃)/¹³C₃
= (20 + 35)/286
= 55/286
= 5/26

এখানে,
(- x)³ × (- x)⁵ × x²
= - x³ × (- x⁵) × x²
= x³ × x⁵ × x²
= x^(3+5+2)
= x¹⁰

MATHEMATICS শব্দটির মধ্যে মোট 11 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ।
4 টি স্বরবর্ণের মধ্যে আবার 2 টি a আছে।
স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে বর্ণ সংখ্যা হয় 8 টি।
∴ সাজানো সংখ্যা 8! / 2!2! = 10080
4 টি স্বরবর্ণকে আবার নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 4! / 2! = 12 প্রকারে।
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো সংখ্যা = 10080 × 12 = 120960

প্রশ্ন:

সমাধান: 

(x-3)(a+x) = x²-9
⇒ (x-3)(a+x) = (x+3)(x-3)
⇒ a+x = x+3
∴ a = 3

প্রশ্ন: নিপার বয়স নিতুর বয়সের 1/4 অংশ। তন্দ্রা নিতুর চেয়ে 4 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 22 বছর হলে, তন্দ্রার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
 
সমাধান:
ধরি,
নিতুর বয়স = x বছর
নিপার বয়স = x/4 বছর
তন্দ্রার বয়স = x + 4 বছর

প্রশ্নমতে,
x + x + 4 + (x/4) ≤ 22
⇒ 2x + (x/4) ≤ 22 - 4
⇒ (8x + x)/4 ≤ 18
⇒ 9x ≤ 18 × 4
⇒ x ≤ 18 × (4/9)
⇒ x ≤ 8
⇒ x + 4 ≤ 8 + 4
∴ x + 4 ≤ 12

অতএব, তন্দ্রার বয়স ≤ 12 বছর

১ম পদ= ১১
২য় পদ = ১ম পদ + ৪ = ১১+৪ = ১৫;
৩য় পদ = ২য় পদ + ৮ = ১৫+৮ = ২৩;
৪র্থ পদ = ৩য় পদ + ১৬ = ২৩+১৬ = ৩৯;
৫ম পদ = ৪র্থ পদ + ৩২= ৩৯ + ৩২ = ৭১।

x² - 1 ধনাত্নক হলে,
⇒ x² - 1 < 3
⇒ x² < 4
⇒ x² - 2²<0
⇒(x + 2)(x - 2)<0
∴ (x + 2)এবং (x - 2) বিপরীত চিহ্নযুক্ত
∴ x > -2; x < 2 এর জন্য (x + 2)(x - 2) < 0 সত্য হয়।
আবার, x² - 1 ঋণাত্মক হলে,
⇒ -(x² - 1) < 3
⇒ x² < ± √2i
এটি বাদ দিতে হবে কারন এটি জটিল সংখ্যা(Complex number) 
∴ নির্ণেয় সমাধান: -2 < x < 2

প্রশ্ন: 64 × (√2)^6x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
64 × (√2)^6x = 1
⇒ 2⁶ × (2^1/2)^6x = 1
⇒ 2⁶ × 2^3x = 1 
⇒ 2^{6 + 3x} = 1
⇒ 2^{6 + 3x} = 2⁰ [যেহেতু a⁰ = 1]
⇒ 6 + 3x = 0
⇒ 3x = - 6
⇒ x = - 6/3
∴ x = - 2

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয় তবে, a/(a³ + a - 4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + (4/a) = 4
⇒ a² + 4 - 4a = 0 
⇒ (a - 2)² =  0
⇒ a = 2

এখন, 
a/(a³ + a - 4)
= 2/(2³ + 2 - 4)
 = 2/6
 = 1/3

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান এবং p > 0 হলে, p এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b² − 4ac = 0 
⇒ p² − 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p² = 32 
⇒ p = √32
∴ p = ± 4√2
p > 0 হওয়ায় − 4√2​ গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ p = 4√2  । 

log₃(9√3 )
= log₃(3².3^1/2)
= log₃3^2+1/2
= log₃3^5/2
= 5/2log₃3
= 5/2

প্রশ্ন: log₁₀ 0.01 = ?

সমাধান:
log₁₀ 0.01
= log₁₀(1/100)
= log₁₀(10^{- 2})
= - 2 × log₁₀10
= (- 2) × 1 [কারণ log₁₀10 = 1]
= - 2

মোট বল = ২৫ টি
৪ বলের মধ্যে দুইটি বল লাল ও দুটি বল সবুজ রং এর হবার সম্ভাবনা = (^১০C_২ × ^১৫C_২)/^২৫C_৪ = ১৮৯/৫০৬

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {৩১(৩১ + ১)(২.৩১ + ১)}/৬
= (৩১ × ৩২ × ৬৩)/৬
= ১০,৪১৬

প্রশ্ন: log₁₀(1/100) = ?

সমাধান:
log₁₀(1/100) 
= log₁₀(1/10²) 
= log₁₀(10^-2) 
= -2 x log₁₀10
= (-2) x 1 [যেহেতু, log₁₀10 = 1]
= -2

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ..................+ 70 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
এখানে,
 ধারাটির ১ম পদ = 2
 ধারাটির শেষ পদ = 70
 ধারাটির সাধারণ অন্তর = (6 - 2) = 4

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(70 - 2)/4} + 1
= (68/4) + 1
= (17 + 1)
= 18

∴ পদসংখ্যা = 18  ।

প্রশ্ন:

সমাধান:

(2x + y) × (2x - y) × (4x² + y²)
= {(2x)² - (y)²}(4x² + y²) 
= (4x² - y²)(4x² + y²)
= (4x²)² - (y²)²
= 16x⁴ - y⁴ 

প্রশ্ন: যদি x⁴ - 51x² + 1 = 0 হয়, তবে x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ - 51x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = 51x² 
⇒ x² + 1/x² = 51
⇒ (x - 1/x)² + 2 . x . (1/x) = 51
⇒ (x - 1/x)² + 2 = 51
⇒ (x - 1/x)² = 49
⇒ x - 1/x = ±√49 
∴ x - 1/x = ±7

প্রশ্ন: যদি (√2)^{3x + 1} = 16 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^{3x + 1} = 16
⇒ (2^1/2)^{3x + 1} = 2⁴
⇒ 2^{(1/2)(3x + 1)} = 2⁴
⇒ 2^{(3x + 1)/2} = 2⁴
⇒ (3x + 1)/2 = 4
⇒ 3x + 1 = 4 × 2
⇒ 3x = 8 - 1
⇒ 3x = 7
∴ x = 7/3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r, ধারাটির চতুর্থ পদ - 2 এবং নবম পদ 8√2 হলে ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
৪র্থ পদ, ar³ = - 2 ...... (1)
৯ম পদ, ar⁸ = 8√2​ ......(2)

এখ, (2) ÷ (1) করে পাই, 
⇒ ar⁸/ar³ = 8√2/- 2
⇒ r⁵ = - 4√2 = (- √2)⁵
∴ r = - √2

(1) ⇒ ar³ = - 2
⇒ a(- √2)³ = - 2
⇒ a = - 2/(- 2√2)
∴ a = 1/√2
 
∴ ধারাটির 12 তম পদ = ar^{12 - 1} = ar¹¹
= (1/√2) × (- √2)¹¹
= (1/√2) × (- 32√2)
= - 32

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে ৫০ কম হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক। 
সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ = ঐ সংখ্যা থেকে ৫০ কম

অর্থাৎ (২/৩) ক = ক - ৫০
⇒ ৫০ = ক - (২/৩)ক  
⇒ ৫০ = (৩ক - ২ক)/৩
⇒ ৫০ = ক/৩
⇒ ক = ৫০ × ৩ 
ক = ১৫০

প্রশ্ন: যদি 8x^{- 2} = 2/25 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x^{- 2} = 2/25
⇒ x^{- 2} = 2/(25 × 8)
⇒ x^{- 2} = 1/(25 × 4)
⇒ x^{- 2} = 1/100
⇒ 1/x² = 1/100
⇒ x² = 100 = 10²
∴ x = 10

প্রশ্ন: নিচে 60 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। এর মধ্যক নির্ণয় করো।


সমাধান:

এখানে, n = 60 , যা জোড় সংখ্যা।
∴ মধ্যক = (60/2)তম পদ + {(60/2) + 1} তম পদ
= 30তম পদ + 31তম পদ
= 70 + 80
= 75

∴ নির্ণেয় মধ্যক 75

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |x + 3| ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x + 3 ≤ 5
⇒ - 5 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 5 - 3
⇒ - 8 ≤ x ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 8 ≤ x ≤ 2

(x - 5)(a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/২ অংশের পরিবর্তে ১/৩ অংশ ব্যয় করলে ৫০০০ টাকা কম খরচ হতো। তার আয় কত?

সমাধান: 
মনেকরি
মোট আয় = ক টাকা 

প্রশ্নমতে
(ক/২) - (ক/৩) = ৫০০০
(৩ক - ২ক)/৬ = ৫০০০
ক/৬ = ৫০০০
ক = ৫০০০ × ৬
ক = ৩০০০০ 

মোট আয় = ৩০০০০ টাকা

প্রশ্ন: ax + by = c এবং bx + ay = d সহ-সমীকরণের সমাধানে x = y হলে, নিচের কোন শর্ত সত্য?
সমাধান: 
(1) ax + by = c
(2) bx + ay = d

x = y হলে,
ax + bx = c
⇒ x(a + b) = c ....(i) 

bx + ax = d
⇒ x(a + b) = d .....(ii) 

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই, 
c = d