বীজগণিত

প্রশ্ন: p + q = 6 এবং p - q = 4 হলে p² + q² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6
এবং p - q = 4

: p² + q² = {(p + q)² + (p - q)²}/2
={6² + 4²}/2
= (36 + 16)/ 2
= 52/2
= 26

Let X be the number which is added to 80
80% of X = 0.8X
Now,
80 + 0.8X = X
0.2X = 80
X = 80/0.2 = 400

3^x+2 = 243
⇒ 3^x+2 = 3⁵
⇒ x + 2 = 5
⇒ x = 3
∴ 3³⁻⁴ = 3^-1 = 1/3

প্রশ্ন: x² + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x² + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)² + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

মোট দল ৩টি এবং প্রত্যেকে অন্যদেশের সাথে একবার খেলবে সুতরাং মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = ³C₂ টি।
= 3!/{(3-1)!×2!} টি
= 6/2 টি
= 3 টি

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - 7x + 10 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 7, c = 10

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 7)² - 4 × 1 × 10
= 49 - 40
= 9 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: যদি f(n) = n³ + pn² - 4n - 8 হয়, তবে p এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8
f(- 2) = (- 2)3 + p(- 2)2 - 4(- 2) - 8
= - 8 + 4p + 8 - 8
∴ f(- 2) = 4p - 8

প্রশ্নমতে, 
4p - 8 = 0
⇒ 4p = 8
⇒ p = 8/4
∴ p = 2

সুতরাং,  p এর মান 2 হলে  f(- 2) = 0 হবে।

প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 টি
পুনরাবৃত্তি নেই (সব বর্ণ আলাদা)।
স্বরবর্ণ হলো O, A, এবং E, অর্থাৎ 3 টি স্বরবর্ণ।

প্রথম স্থানে একটি স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা = 3 (O, A, বা E)

প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার পর, বাকি 5 টি অক্ষর সাজানোর উপায় বের করতে হবে।
যেহেতু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, তাই বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

মোট উপায় সংখ্যা = প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা × বাকি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা
= 3 × 120
= 360

প্রশ্ন: 169 + 171 + 173 + ...... + 209 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = 169
সাধারণ অন্তর, d = 171 - 169 = 2

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d 
a + (n - 1)d = 209
⇒ 169 + (n - 1)2 = 209
⇒ (n - 1)2 = 209 - 169
⇒ n - 1 = 40/2
⇒ n - 1 = 20
∴ n = 21

∴ ধারাটির পদ সংখ্যা 21। 

অনুক্রমটি n + 2^n-1
∴ পঞ্চম পদ = 5 + 2^5-1 = 5 + 2⁴ = 21
ষষ্ঠ পদ = 6 +2^6-1 = 6 + 2⁵ = 38
∴ ব্যবধান = 38 - 21 = 17

প্রশ্ন: a^x = b, b^y = c এবং c^z = a হলে xyz = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
c^z = a
⇒ (b^y)^z = a
⇒ b^yz = a
⇒ (a^x)^yz = a
⇒ a^xyz = a¹
⇒ xyz = 1

প্রশ্ন: a + b + c = 35 এবং a² + b² + c² = 825 হলে ab + bc + ca = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b + c = 35
a² + b² + c² = 825

আমরা জানি
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 35² = 825 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 1225 = 825 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 1225 - 825 
⇒ 2(ab + bc + ca) = 400
⇒ ab + bc + ca = 400/2 = 200
∴ ab + bc + ca = 200

প্রশ্ন: যদি (125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a
⇒ (5³)^2/3 + (22²)^1/2 = 5a
⇒ 5² + 22 = 5a
⇒ 25 + 22 = 5a
⇒ 5a = 47
∴ a = 47/5

প্রশ্ন: 6 + 10 + 14 + ... + 98 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 6 = 4
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 98

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 6 + (n - 1) × 4 = 98
⇒ 4(n - 1) = 98 - 6
⇒ 4(n - 1) = 92
⇒ n - 1 = 92 / 4
⇒ n - 1 = 23
∴ n = 24

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ S₂₄ = (24/2){(2 × 6) + (24 - 1) × 4}
= 12{12 + (23 × 4)}
= 12{12 + 92}
= 12 × 104
= 1248

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1248।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অনুপাত (r) = -২,
পদসংখ্যা (n) = ৮
∴  সমষ্টি (s) = a × {(1 - rⁿ)/ (1 - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ৩ × {(১ - (-২)^৮)/(১ - (-২))}
= ৩ × (১ - ২৫৬)/৩
= ১ - ২৫৬
= -২৫৫

A × B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
B × A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
∴ {A × B}∩(B × A) = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

প্রশ্ন: এস.এস. সি প্রোগ্রামে গণিত বইয়ের কোন একটি অংক সন্ধি অথবা সৌম্যর করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 60% এবং 50%। দৈব ভাবে নির্বাচিত একটি অংক উভয়কে করতে দেওয়া হলে অংকটি সমাধান না করার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
মনেকরি, ঘটনা 
A = অংকটি সন্ধি সমাধান করতে পারে।
B = অংকটি সৌম্য সমাধান করতে পারে।

P(A) = 60% = 0.6 সন্ধির অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
P(B) = 50% = 0.5 সৌম্যর অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা

সন্ধির অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা, P(A) = 1 - 0.6 = 0.4
এবং, 
সৌম্যর অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা, P(B) = 1 - 0.5 = 0.5

এখানে A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন তাই সন্ধি ও সৌম্যের উভয়ই অংকটি সমাধান না করতে পারার সম্ভাবনা,
∴ P(সমাধান না করা) = P(সন্ধি না করা) × P(সৌম্য না করা) = 0.4 × 0.5 = 0.2

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

ধরি, শ্রেণীতে বেঞ্চসংখ্যা x টি
১ম শর্তে ছাত্র সংখ্যা = ৫(x-৫) = ৫x-২৫
২য় শর্তে ছাত্র সংখ্যা = (৩x+৭)
প্রশ্নমতে,
(৫x-২৫) = (৩x+৭)
২x = ৩২
∴ x = ১৬
ছাত্র সংখ্যা = (৩×১৬+৭) = ৫৫ জন।

প্রশ্ন: 27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
​27 × 27 × 27 = 3^x
⇒ 3³ × 3³ × 3³ = 3^x
⇒ 3^{(3 + 3 + 3)} = 3^x
⇒ 3⁹ = 3^x
∴ x = 9 

দেওয়া আছে, পরপর 10টি সংখ্যার প্রথম 5টির যোগফল 330
সুতরাং গড় = 330 ÷ 5 = 66
সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো 64, 65, 66, 67, 68, (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
অতএব, পরবর্তী 5টি সংখ্যার যোগফল = 69 + 70 + 71 + 72 + 73 = 355।

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
COMPUTER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8 টি 
স্বরবর্ণ O, U, E = 3 টি
ব্যঞ্জনবর্ণ C, M, P, T, R = 5 টি

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে COMPUTER শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320