বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি x + y = 15 এবং xy = 45, তবে (x/y) + (y/x) এর মান কত?

সমাধান:

7x – 2 – 3x² = 0
x = [-7 ± √{(7)² - 4.3.1}]/2.(-3)
x = (-7 ± √25)/-6
x = - (7 ± 5)/-6
x = 1/3, 2

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (3)² - 4
= 9 - 4
= 5

∴ ‍x - 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3 . √5 
= 3√5

প্রশ্ন:  নিচের কোনটি a³ - 7a² + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 7a² + 14a - 8
= a³ - a² - 6a² + 6a + 8a - 8
= a²(a - 1) - 6a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(a² - 6a + 8)
= (a - 1)(a² - 4a - 2a + 8)
= (a - 1){a(a - 4) - 2(a - 4)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 4)

∴ (a + 4) উৎপাদক নয়।

প্রশ্ন: log₃(√27) + log₃√(1/3) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn) হয়।
সুতরাং, log₃(√27) + log₃(√(1/3)
= log₃√(27 × 1/3)
= log₃(√9)
= log₃(3)
= 1

সমাধান:

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে x² + 5x + 3 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x + 2) হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে, f(x) = x² + 5x + 3 + k = 0।
যদি (x + 2) f(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে f(- 2) = 0 হবে।

এখন, f(- 2) = 0 
⇒ (- 2)² + 5(- 2) + 3 + k = 0
⇒ 4 - 10 + 3 + k = 0
⇒ - 3 + k = 0
∴ k = 3

x² - x - 6 < 0
বা, x² - 3x + 2x - 6 < 0
বা, x(x-3) + 2(x-3) < 0
(x-3)(x+2) < 0
সংখ্যা রেখা অনুসারে, -2 < x < 3

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: log₇(7²/49) এর মান কত?

সমাধান:
log₇(49/49)
= log₇(1)
= 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৫ এবং ৪র্থ পদ ৪৫ হলে ১০ম পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাধারণ অন্তর d = ৫
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
৪র্থ পদ = a + (৪ - ১)d = a + ৩d 

শর্তমতে, 
a + ৩d = ৪৫
⇒ a + (৩ × ৫) = ৪৫
⇒ a + ১৫ = ৪৫
∴ a = ৩০

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d 
= ৩০ + ৯ × ৫
= ৩০ + ৪৫
= ৭৫                                             

x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2 = 34

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯টি কালো বল, ৭টি সাদা বল এবং ৪টি লাল বল আছে। একটি বল দৈবভাবে নেওয়া হলে বলটি কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৯ + ৭ + ৪ = ২০টি
কালো বা লাল বলের সংখ্যা = ৯ + ৪ = ১৩টি
কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / মোট ফলাফল
= ১৩/২০

সুতরাং, কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/২০

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2(ab + bc + ca)
11² = a² + b² +c² + 2 × 42
121 = a² + b² +c² + 84
121 - 84 = a² + b² + c² 
a² + b² + c² = 37 

প্রশ্ন:

সমাধান:

a =৫, d = ৪
শেষ পদ = ১০১
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(১০১ - ৫)/৪} + ১
= (৯৬/৪) + ১
= ২৪ + ১
= ২৫
সুতরাং, সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= ১/২ × ২৫ × (১০১ + ৫)
= (২৫ × ১০৬)/২
= ২৫ × ৫৩
= ১৩২৫ 

প্রশ্ন: ৭ + ১০ + ১৩ + ১৬ + .............. ধারাটির কোন পদ ৪০৬?

সমাধান:
ধরি, n তম পদ = ৪০৬
এখানে, ১ম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = (১০ - ৭) = ৩

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = ৪০৬
⇒ ৭ + (n - ১) × ৩ = ৪০৬
⇒ ৭ + ৩n - ৩ = ৪০৬
⇒ ৩n + ৪ = ৪০৬
⇒ ৩n = ৪০৬ - ৪
⇒ ৩n = ৪০২
⇒ n = ৪০২/৩
∴ n = ১৩৪ 

∴ ধারাটির ১৩৪ তম পদ হলো ৪০৬।

প্রশ্ন: 81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 81
সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3​ 

আমরা জানি, 
গুনোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
⇒ a₇ =  a × r^{7 - 1}
⇒ a₇ = 81 × (1/3)⁶
⇒ a₇ = 81 × (1/729)
⇒ a₇ = 81/729
∴ a₇ = 1/9

∴ সপ্তম পদ = 1/9

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁵P₄
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

সূত্রঃ
ax³ + bx² + cx + d = 0, সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a

এখন বর্তমান প্রশ্নঃ
2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণের ক্ষেত্রে,
মূলগুলোর সমষ্টি = -(-5/2) = 5/2
∴ সঠিক উত্তর = 5/2

আবার, প্রশ্নটি 2x³ - 5x + 4 = 0 হলে,
সেক্ষেত্রে, 2x³ + 0.x² - 5x + 4 = 0
∴ সমষ্টি = - 0/2 = 0

প্রশ্ন: যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b - 3a - 4c
z = c - 2b + a

∴  x + y + z = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)

প্রশ্ন: (x² + 1)² = 3x² হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 3x² 
বা, x² + 1 = √3.x 
বা, (x² + 1)/x = √3 
∴ x + (1/x) = √3 

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³) 
= {x + (1/x)}³ - 3 . x. 1/x {x + (1/x)} 
= (√3)³ - 3. √3 
= 3√3 - 3√3 
= 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা তার অংকদ্বয়ের যোগফলের ছয়গুণ। সংখ্যাটির থেকে 9 বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, দশকের অঙ্ক = x এবং এককের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10x + y
এবং স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি = 10y + x

1ম শর্তমতে,
⇒ 10x + y = 6(x + y)
⇒ 10x + y = 6x + 6y
⇒ 10x - 6x = 6y - y
⇒ 4x = 5y
⇒ x = 5y/4 ......(1)

2য় শর্তমতে, 9 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে,
10x + y - 9 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 9
⇒ 9x - 9y = 9
⇒ x - y = 1 ......(2)

(2) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
(5y / 4) - y = 1
⇒ (5y - 4y)/4 = 1
⇒ y/4 = 1
⇒ y = 4

y = 4 নং মান (2) নং সমীকরণে বসালে,
x - 4 = 1
⇒ x = 5

∴ সংখ্যাটি = 10x + y = 10×5 + 4 = 54
∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = 54 × 2 = 108

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৩ জন

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৩টি।

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৫ জন।

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
16 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁶C₁ = 16

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 16 - 1 = 15  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁵C₁ = 15

∴ মোট উপায় = 16 × 15 = 240

সুতরাং, 240 ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)