বীজগণিত

গোলটেবিলের চারপাশের বসার ক্ষেত্রে একজনকে স্থির রাখতে হয়।
সেক্ষেত্রে অবশিষ্ট (৬ - ১) = ৫ জনকে বসানোর উপায় ৫! = ১২০

B - A = B তে আছে কিন্তু A তে নাই এমন উপাদানের সেট = {7, 9}

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ..........ধারাটির কোন পদ 383 হবে?

সমাধান: 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ 2} + 1
= {(383 - 1)/ 2} + 1
= (382/ 2) + 1
= 191 + 1
= 192

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 [এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই]

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁶ - 1)/2 - 1
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = 63 ।

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ + .............. + ১১৯ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১১ - ৫ = ৬
১৭ - ১১ = ৬
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬
শেষপদ = ১১৯

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে, a + (n - ১) × d = ১১৯
বা, ৫ + (n - ১) × ৬ = ১১৯
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৯ - ৫
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৪
বা, n - ১ = ১১৪/৬
বা, n - ১ = ১৯
বা, n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২০টি।

প্রশ্ন: ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক বা গুণোত্তর গড় (GM) = (x_১ . x_২ . x_৩.........x_n)^১/n

সুতরাং, ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় = (৮ × ২৭ × ৬৪)^১/৩
= (২^৩ × ৩^৩ × ৪^৩)^১/৩
= (২ × ৩ × ৪)^{৩ × ১/৩}
= ২৪

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 4x + 5y = 12 এবং 8x - ay = 20 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 4x + 5y = 12
⇒ 5y = - 4x + 12
⇒ y = (- 4/5)x + (12/5)
∴ ঢাল m₁ = - 4/5  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 8x - ay = 20
⇒ ay = 8x - 20 
⇒ y = (8/a)x - 20/a ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = 8/a ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 4/5 = 8/a
⇒ 4a = - 40
⇒ a = - 40/4
∴ a = - 10

সুতরাং, a এর মান - 10 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

প্রশ্ন: (2a^-1 + 3b^-1)^-1 এর মান কত?

সমাধান:
(2a^-1 + 3b^-1)^-1
= {2(1/a) + 3(1/b)}^-1 [যেহেতু a^-n = (1/aⁿ)]
= {(2/a) + (3/b)}^-1
= {(2b + 3a)/ab}^-1
= ab/(2b + 3a)

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36 এর মান কত?

সমাধান:
= 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36
= 2log₅(5²) + 3log₇(7³) + 4log₆(6²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₇7 + 4 × 2log₆6
= 4log₅5 + 9log₇7 + 8log₆6
= 4 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1   [ log_aa = 1]
= 4 + 9 + 8
= 21

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
মোট ১০ টি সংখ্যা
∴ মধ্যক = ১০/২ এবং (১০/২ + ১) তম পদের গড়
= ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের গড়
= (১৫ + ১৮)/২
= ৩৩/২
= ১৬.৫

প্রশ্ন: 3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x + 6y = 12
⇒ 3(x + 2y) = 12
⇒ x + 2y = 12/3
⇒ x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - x
∴ y = (4 - x)/2

এখন, সমীকরণটিতে x ও y দুইটি চলক। x চলকের বিভিন্ন বাস্তব মানের জন্য y চলকের বিভিন্ন বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান অসীম। 
যেমন,
যদি x = 2 হয়, তবে, y = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
যদি x = 4 হয়, তবে, y = (4 - 4)/2 = 0/2 = 0
যদি x = - 2 হয়, তবে, y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
অর্থাৎ, এভাবে অসংখ্য জোড়া মান পাওয়া যায়।

প্রশ্ন:

সমাধান:
​
​

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী 90 জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণের চেয়ে 10 টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 5200 টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী = (90 - x) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (40 × 2 + 10) টাকা
= 80 + 10 = 90 টাকা

প্রশ্নমতে,
40x + 90(90 - x) = 5200
⇒ 40x + 8100 - 90x = 5200
⇒ 8100 - 50x = 5200
⇒ 50x = 8100 - 5200
⇒ 50x = 2900
⇒ x = 2900/50
∴ x = 58

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 90 - 58 = 32 জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x এবং y

প্রশ্নমতে,
x - y = ১০ ...........(1)

এবং,
x + y = ৪(x - y)
⇒ x + y = ৪(১০) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৪০ ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = ১০ + ৪০
⇒ ২x = ৫০
⇒ x = ৫০/২
⇒ x = ২৫

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
২৫ + y = ৪০
⇒ y = ৪০ - ২৫
⇒ y = ১৫

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ২৫ এবং ১৫

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 157

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
7 + (n - 1) × 6 = 157
⇒ 6(n - 1) = 157 - 7
⇒ 6(n - 1) = 150
⇒ n - 1 = 150 / 6
⇒ n - 1 = 25
⇒ n = 25 + 1
∴ n = 26

∴ ধারাটির 26 তম পদ = 157

a + a^-1 = 2
বা, a + 1/a = 2
বা, a² + 1 = 2a
বা, a² - a + 1 = a
বা, 1/(a² - a + 1) = 1/a
বা, 2a/(a² - a + 1) = 2a/a
∴ 2a/(a² - a + 1) = 2

প্রশ্ন: 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)^২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
∴ n পদের সমষ্টি, s = a . {(১-rⁿ)/(১-r)}
= ০.১২ × {(১-(০.০১)ⁿ)/(১-০.০১)}
= ০.১২ × {(১-(১/১০০)ⁿ)/০.৯৯)}
= (০.১২/০.৯৯) × {১-(১/১০^২)ⁿ}
= (১২/৯৯) × {১-(১/১০^২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১-(১/১০^∞)}
= (৪/৩৩)(১-০)
= ৪/৩৩

মনে করি, দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'ক' টি।
তাহলে পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - ক) টি।
প্রশ্নমতে, ক × 2 + (100 - ক) × 5 = 440
বা, 2ক + 500 - 5ক = 440
বা, - 3ক = 440 - 500
বা, - 3ক = - 60
সুতরাং ক = 20
সুতরাং দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 20টি এবং পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - 20) বা, 80 টি।

‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 10!/2!2!
‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার (10!/2!2!)/(7!/2!) গুণ বা 360 গুণ।

প্রশ্ন: যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20

প্রদত্ত রাশি, 
20p - 15q + 40r
= 20 × (7/10) - 15 × (4/5) + 40 × (11/20)
= (2 × 7) - (3 × 4) + (2 × 11)
= 14 - 12 + 22
= 2 + 22
= 24

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1) 
=  (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: যদি (x - y)² = 14, xy = 2, তবে  x ² + y ² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y)² = 14 
xy = 2

আমরা জানি, 
x² + y² = (x - y)² + 2xy 
= 14 + (2 × 2)  
= 14 + 4 
= 18 

প্রশ্ন: 2x² + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x² + kx - 10
x - 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(5) = 0 হবে।

∴ f(5) = 2(5)² + k(5) - 10
= 50 + 5k - 10
= 5k + 40

শর্তমতে,
5k + 40
⇒ 5k = - 40
⇒ k = - 40/5
∴ k = - 8

এখানে, Fibonacci সংখ্যা 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13................
এখানে, 8³ = 512
∴ {0, 1, 1, 2, 3, 5}
= {0, 1, 2, 3, 5}, n(A) = 5
∴ n{P(A)} = 2⁵ = 32

প্রশ্ন: a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 5 + 3 - 6 + 2
= 4

এখানে, 
।x - 3। ≤ 5 
বা,- 5 ≤ x - 3 ≤ 5
বা,- 5 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
∴, - 2 ≤ x ≤ 8 

3/x + 4/(x+1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/{x(x + 1)} = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x -3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1 (x - 3) = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3, - 1/2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি।

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
⇒ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ = ১২ × ৪ = ৪৮ জন

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর 1 হলে ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান: 
ধরি, ভগাংশটি x/y (যেখানে, y > x) 

শর্তানুযায়ী, 
y - 1 = x
∴ y = x + 1

অতএব, ভগ্নাংশ = x/(x + 1)

প্রশ্ন: 1 + x²p² = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে, 
1 + x²p² = 0
⇒ x²p² = -1
⇒ p² = -1
⇒ p² = -(1/x²)
⇒ p = ± √[-(1/x²)]
⇒ p = ± (1/x) . √(-1)
∴ p = ± (i/x)

প্রশ্ন: যদি M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8}
M = {2, 4, 6, 8}
M এর উপাদান সংখ্যা, n = 4

M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 
= 2⁴ - 1
= 16 - 1 
= 15

প্রথম পদ a = ১,
সাধারন অনুপাত d = ০.১/১ = ১/১০ < ১
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/1-r
= ১/১-(১/১০)
= ১০/৯