বীজগণিত

42 এর গুণনীয়ক সমূহ 1,2,3,6,7,14,21,42
A ={1,2,3,6,7,14,21,42}
70 এর গুণনীয়ক সমূহ 1,2,5,7,10,14,35,70
B ={1,2,5,7,10,14,35,70}
A∩B= {1,2,3,6,7,14,21,42}∩ {1,2,5,7,10,14,35,70}
= {1, 2, 7, 14}

2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ..... + (30)³
= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ...... + (30)³ - 1³
= {(30(30 + 1))/2}² - 1
= (15² × 31²)- 1
= 216224

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 

= ( ২ⁿ - ১ ) টি।

সুতরাং, একটি সেটের উপাদান সংখ্যা ৫ হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 

= ( ২^৫ - ১ )

= ৩২ - ১

= ৩১

8x³ - 27
= (2x)³ - 3³
= (2x - 3){(2x)² + 2x.3 + 3²}
= (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

এখানে জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি = ০
এবং বিজোড়                           = a
∴ (2n + 1) বিজোড় সংখ্যা
∴ সমষ্টি = a

লোকটির রাজশাহী ট্রেনে এবং খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = (২/৯)×(২/৫) = ৪/৪৫

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 1/8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

​সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 1/8

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 - 1} = 1/8
⇒ a × (1/2)² = 1/8
⇒ a × (1/4) = 1/8
⇒ a = 4/8
∴ a = 1/2
​
​∴ ধারাটির প্রথম পদ​ 1/2.

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 343 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar, এবং ar²
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 343
⇒ a³r³ = 343
⇒ (ar)³ = 343
⇒ b³ = 343 (যেহেতু b = ar)
⇒ b³ = 7³
∴ b = 7

প্রশ্ন: A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 হলে}, P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে: 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 হলে}

A সেটের উপাদান হবে স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 5 এর সমান বা 5 থেকে ছোট [স্বাভাবিক সংখ্যা সাধারণত শুরু হয় 1 থেকে।] 
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

A-এর উপাদান সংখ্যা, n(A) = 5

আমরা জানি, 
যেকোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেট (power set)-এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
∴ P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = 2⁵ ; [এখানে n(A) = 5] 
= 32

সুতরাং, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 32.

দেওয়া আছে,
a² = ৯
⇒ a = √৭ = ৩
এবং b² = ২৫
⇒ b = √২৫ = ৫ 
∴ a + b = ৩ + ৫ = ৮

আমরা জানি,
নিশ্চয়ক D = (b² - 4ac)
∴ x² - 2x - 2 এর নিশ্চয়ক D = (-2)² - 4.1.(-2) = 12
∴ D>0 
∴ x² - 2x - 2 এর মূলের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান।

x² + 9y² + 4x - 12y + 4
= x² + 9y² + 4 + 4x - 12y
= x² + (-3y)² + 2² + 2.x.(-3y) + 2.(-3y).2 + 2.2.x + 6xy
= (x-3y+2)² + 6xy
∴ - 6xy যোগ করতে হবে।

x²+x-(a+1)(a+2)
= x²+(a+2)x-(a+1)x-(a+1)(a+2)
= x(x+a+2) - (a+1)(x+a+2)
= (x+a+2)(x-a-1)

= (a^l - ^m)ⁿ . (a^m - ⁿ)^l . (aⁿ - ^l)^m
= a^{ln - mn} .a^{ml - nl} . a^{nm - lm}
= a^{ln - mn + ml - nl + nm - lm}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9. অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = 9 - x 
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x
= 90 - 9x 

আবার,
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 9 - x
= 9x + 9 

প্রশ্নমতে, 
9x + 9 = 90 - 9x - 45 
⇒ 18x = 36 
⇒ x = 36/18
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 2)
= 72 । 

9x² - 9x - 4
= 9x² - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি p - 1/p = √5 হয়, তাহলে (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p - 1/p = √5
এখন,
(p⁶ - 1)/p³ 
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + 3 × p × (1/p){(p - (1/p)}
⇒ (√5)³ + 3 × √5
⇒ 5√5 + 3√5
∴ (p⁶ - 1)/p³ = 8√5

প্রশ্ন: যদি log₈p + log₈(1/6) = 1/3 হলে p এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
log₈p +  log₈(1/6) = 1/3
⇒ log₈(p/6) = 1/3
⇒ p/6 = 8^1/3
⇒ p/6 = (2³)^1/3
⇒ p/6 = 2
∴ p = 12

প্রশ্ন: (x + p)⁶ এর পদ সংখ্যা কয়টি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)ⁿ এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (x + p)⁶ এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 6x + 9 = 0
এখানে, a =1, b = - 6, c = 9

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
 = (- 6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: 6x - 9 < 3 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে, x এর মানের পরিসীমা কী?

সমাধান:
6x - 9 < 3
⇒ 6x < 3 + 9
⇒ 6x < 12
⇒ x < 12/6
∴ x < 2

অর্থাৎ, x ∈ (- ∞, 2)

{n(n+1)/2}²
= {20(20+1)/2}²
= 44100

দেওয়া আছে, x + y = 17 এবং xy = 60
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy = 17² - 4 × 60 = 49
∴ x - y = 7

প্রশ্ন: a - (1/a) = 5√3 হলে a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 5√3
⇒ {a - (1/a)}² = (5√3)²
⇒ a² + (1/a)² - 2.a.(1/a) = 25 × 3
⇒ a² + (1/a)² - 2 = 75
⇒ a² + (1/a)² = 75 + 2
∴ a² + (1/a²) = 77

∴  সঠিক উত্তর: গ) 77

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6
= (60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10)/60
= 37/60

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি 9 এবং তাদের গুণফল 18। সংখ্যা দুইটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে x এবং y
শর্তানুসারে,
x + y = 9
xy = 18

এখন, 
∴ (1/x) + (1/y)
= (x + y)/xy
= 9/18
= 1/2

∴ সংখ্যা দুইটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি = 1/2

প্রশ্ন: 125(√5)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
125(√5)^2x = 1
⇒ 5³.(5^1/2)^2x = 1 
⇒ 5³ . 5^x = 1 
⇒ 5^{3 + x} = 1 [a^m × aⁿ = a^{m + n]}
⇒ 5^{3 + x} = 5⁰ 
⇒ 3 + x = 0
∴ x = - 3

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³ - (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
= (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন,
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√2)³ + (3 × 2√2)
= 16√2 + 6√2 = 22√2

দেওয়া আছে, x - 1/x = 1
এখন, (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4. x. 1/x
= 1² + 4
= 1 + 4
= 5

প্রশ্ন:

সমাধান:

HAITI শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের দু'টি I;
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করার ক্ষেত্রে-
(i) 2টি I অন্য একটি ভিন্ন অক্ষর
(ii) সবগুলো অক্ষর ভিন্ন ভিন্ন।

(i) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = 1 × ³c₁ × 3!/2! = 9
(ii) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = ⁴p₃ = 24

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 9 + 24 = 33

(81)^2x+3=9^3x-6
⇒(9)^4x+6=9^3x-6
⇒4x+6=3x-6
⇔x=-12

মনে করি, সংখ্যাটি, কত এবং গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যাটি, ১/ক।
সুতরাং, ক + ১/ক = 2
বা, (ক² + 1)/ক = 2
বা, ক² + 1 = 2ক
বা, ক² - ২ক + 1 = 0
বা, (ক-1)² = 0
বা, ক-1 = 0
বা, ক = 1