বীজগণিত

প্রশ্ন: x − 1/x = 3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান: 
x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² − 2 . x². 1/x²
= {(x − 1/x)² + 2 . x . 1/x}² − 2 
= {(3)² + 2)² − 2 
= (9 + 2)² − 2 
= (11)² − 2
= 121 − 2 
= 119

প্রশ্ন: ১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}] - এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}]
= ১ - [৫ - {২ + (- ১)২}]
= ১ - [৫ - {২ - ২}]
= ১ - [৫ - ০]
= ১ - ৫ 
= - ৪ 

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ............ + 24³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 24
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24(24 + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24 × 25/2}²
⇒ S₂₄ = (12 × 25)²
⇒ S₂₄ = (300)²
∴ S₂₄ = 90000

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 90000

প্রশ্ন: যদি ∇ = {z : z স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং z < 90} হয় তবে P(∇) এর সদস্য সংখ্যা কত?

1, 2, 3 ...... ধারার n তম পদ = 1 + (n - 1)1 = n
2, 3, 4 ...... ধারার n তম পদ = 2 + (n - 1)1 = n + 1
∴ 1/2, 2/3, 3/4 ...... ধারার n তম পদ = n/(n + 1)

x² - 3x+1 = 0
∴ x + 1/x = 3
এবং x - 1/x = √5
এখন,
x² - 1/x²
= (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3√5

MONDAY শব্দটিতে ৬ টি অক্ষর আছে। প্রথমে M রেখে বিন্যাস সংখ্যা 5! = 120
এবং প্রথমে M এবং শেষে Y রেখে বিন্যাস সংখ্যা 4! = 24
প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না এমন
শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (120 - 24) বা 96

প্রশ্ন: x + y = 10 , x - y = 4 হলে, x² + y² এর মান কত?

সমধান:
দেওয়া আছে, x + y = 10 x - y = 4

আমরা জানি,
2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2(x² + y²) = 10² + 4²
⇒ 2(x² + y²) = 100 + 16
⇒ 2(x² + y²) = 116
⇒ x² + y² = 116/2
∴  x² + y² = 58

প্রশ্ন: যদি B = {x : x হলো 6, 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
x যদি 6 এবং 8 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x অবশ্যই 6 এবং 8 এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
6 এবং 8 এর লসাগু = 24

এখন, 100 এর চেয়ে ছোট যেসব সংখ্যা 24 দ্বারা বিভাজ্য:
24, 48, 72, 96

সুতরাং, B = {24, 48, 72, 96}
∴ n(B) = 4

আমরা জানি,
যদি কোনো সেটে n সংখ্যক সদস্য থাকে, তবে তার পাওয়ার সেট P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ
∴ P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴ = 16

2(a⁴ + b⁴) = 2[(a²)² + (b²)²]
= [(a²+b²)² + (a² - b²)²]
= (5² + 3²)
বা, 2(a⁴+b⁴) = (25 + 9)
বা, 2(a⁴ + b⁴) = 34
∴ a⁴ + b⁴ = 17

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N : x³ < 216} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,......}

ধরি,
Q = {x ∈ N : x³ < 216}
এখন,
x = 1 হলে, 1³ = 1 < 216
x = 2 হলে, 2³ = 8 < 216
x = 3 হলে, 3³ = 27 < 216
x = 4 হলে, 4³ = 64 < 216
x = 5 হলে, 5³ = 125 < 216
x = 6 হলে, 6³ = 216 < 216 ; ​যা সত্য নয় ।
 
নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 5

প্রশ্ন: 2q² + 5q + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2q² + 5q + 4 = 0
সমীকরণটিকে aq² + bq + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। 

প্রশ্ন: log_xy⁴ = 4a এবং log_yx³ = 3b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁴ = 4a
⇒ 4log_xy = 4a
⇒ log_xy = a ......(1)

আবার,
log_yx³ = 3b
⇒ 3log_yx = 3b
⇒ log_yx = b .......(2)

আমরা জানি,
log_xy × log_yx = 1

∴ ab = a × b
= log_xy × log_yx
= 1

মনে করি রাশিটি ক 
ক +  9x/2y = 2y/x
ক = 2y/x - 9x/2y
ক = ( 4y² - 9x² )/2xy
ক = (( 2y )² -  ( 3x )²)/2xy

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হলে, a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
a² + b² = 25
⇒ (a + b)² - 2ab = 25
⇒ 7² - 2ab = 25
⇒ - 2ab = 25 - 49
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab (a + b) 
= (7)³ - 3 × 12 × 7 
= 343 - 252 
= 91

প্রশ্ন: n সংখ্যক উপাদান রয়েছে এমন একটি সেটের মোট কতগুলো উপসেট থাকতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
উদাহরণ, যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4  হয়,
তাহলে, প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
= 2⁴
= 16

প্রশ্ন: x² + 4x - 21 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: x² + 4x - 21 > 0
⇒ x² + 7x - 3x - 21 > 0
⇒ x(x + 7) - 3(x + 7) > 0
⇒ (x + 7)(x - 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 7 এবং x = 3

(x + 7)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 7)।
অর্থাৎ, x < - 7 অথবা x > 3।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 7) ∪ (3, ∞)

প্রশ্ন: কোনো ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে।  তাহলে কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন

শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন

যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন

সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

2x + 2/x = 4
বা, 2 (x + 1/x) = 4
বা, x + (1/x) = 2
এখন,
x² + (1/x)²
= (x + 1/x)² - 2x(1/x)
= (2)² - 2
= 4 - 2
= 2

একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে
(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)
মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৮
একই পিঠ ২টি (HHH)(TTT)
নির্নেয় সম্ভাবনা ২/৮ = ১/৪

প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x - 6x = - 12
বা, 6x = - 12
বা, x = - 12/6
∴ x = - 2

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
∴ xy = 35

সমাধানের বিকল্প পদ্ধতিঃ
4xy = ( x + y)² – (x – y)² [সূত্র]
বা, xy = {(12)² – (2)²}/4
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35

এখানে মোট পত্রিকা পড়েন = ৫৫+৬০+৬৫ = ১৮০ জন।
ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়েন = ৬০ জন।
সুতরাং ঐ ব্যক্তির ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = ৬০/১৮০ = ১/৩।

প্রশ্ন: p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p² + (1/p²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + (1/p) = √3 + √2

এখন,
p² + (1/p²) = {p + (1/p)}² - 2 · p · (1/p)
= (√3 + √2)² - 2
= (√3)² + 2 · √3 · √2 + (√2)² - 2
= 3 + 2 · √3 · √2 + 2 - 2
= 3 + 2√6

প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?

সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)! 
= (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!/(n - 2)! [কারণ (n + 1)! = (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!]
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n + 1) × (n - 1)
= n × (n² - 1)
= n³ - n

প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x² - 3x + 7x - 21 + 9
= x² + 4x - 12
= x² + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)

থলেতে,
নীল বল আছে 5 টি
সাদা বল আছে 4 টি
কালো বল আছে 3 টি
মোট বল আছে = 12 টি
∴ বল দু'টি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁵c₂ + ⁴c₂ + ³c₂)/¹²c₂
= (10 + 6 + 3)/66
= 19/66

যেহেতু জুন মাস ৩০ দিন এবং জুন মাসে ২৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে।
তাহলে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ২৫/৩০
= ৫/৬
অতএব ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৬

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 20

∴  হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ²⁰C₂
= 20!/{2! × (20 - 2)!} 
= 20!/(2! × 18!)
= (20 × 19 × 18!)/(2! × 18!)
= 190

প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে,
মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি, শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা x
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা x/4 + 3
আবার, যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে বসালে 6 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 6)/3
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং x/4 + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
বা, x = 60
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60 জন।

প্রশ্ন: x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y - 

সমাধান:
x > y
⇒ 1/x < 1/y [ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়]

প্রশ্ন: 1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?

সমাধান:
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√5) = √5

ধরি, n তম পদ = 25√5

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 25√5
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 25√5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25√5 × √5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25 × 5
⇒ (√5)^{n - 1} = 125 
⇒(√5)^{n - 1} = (√5)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 7

∴ ৭ম পদ 25√5

প্রশ্ন: 9^{2a + 1} = 27 হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
9^{2a + 1} = 27
⇒ (3²)^{2a + 1} = 3³
⇒ 3^{4a + 2} = 3³
⇒ 4a + 2 = 3
⇒ 4a = 3 - 2
⇒ 4a = 1
∴ a = 1/4