১.
2x = 5 - y হলে, 4x + 2y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x = 5 - y হলে, 4x + 2y = কত?
সমাধান:
2x = 5 - y
বা, 2x + y = 5
বা, 2(2x + y) = 5 × 2
∴ 4x + 2y = 10
সমাধান:
2x = 5 - y
বা, 2x + y = 5
বা, 2(2x + y) = 5 × 2
∴ 4x + 2y = 10
Math Master
মোট প্রশ্ন১৫
সিলেবাস
পরীক্ষা – ৫
সরল সমীকরণ, সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ, সরল ও দ্বিপদী অসমতা
[Live Class – 6(part-2) & 7]
Math Master
Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ১৫ প্রশ্ন
২.
(x - 2)(x - 3) < 0 এর সমাধান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 2)(x - 3) < 0 এর সমাধান কত?
সমাধান:
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন,
x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
বা, x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার,
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন, x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
বা, x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
∴ নির্ণেয় সমাধান: 2 < x < 3
সমাধান:
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন,
x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
বা, x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার,
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন, x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
বা, x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
∴ নির্ণেয় সমাধান: 2 < x < 3
৩.
x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে x ও y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে x ও y এর মান কত?
সমাধান:
x + 2y = 7
বা, x = 7 - 2y ---------- (1)
আবার,
2x - 3y = 0
বা, 2(7 - 2y) - 3y = 0
বা, 14 - 4y - 3y = 0
বা, - 7y = - 14
∴ y = 2
y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
∴ x = 7 - (2 × 2) = 7 - 4 = 3
∴ নির্ণেয় মান 3 ও 2
সমাধান:
x + 2y = 7
বা, x = 7 - 2y ---------- (1)
আবার,
2x - 3y = 0
বা, 2(7 - 2y) - 3y = 0
বা, 14 - 4y - 3y = 0
বা, - 7y = - 14
∴ y = 2
y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
∴ x = 7 - (2 × 2) = 7 - 4 = 3
∴ নির্ণেয় মান 3 ও 2
৪.
দুটি সংখ্যার বিয়োগফল 11 এবং তাদের যোগফলের এক পঞ্চমাংশ 9 হলে সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বিয়োগফল 11 এবং তাদের যোগফলের এক পঞ্চমাংশ 9 হলে সংখ্যা দুটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় x ও y
১ম শর্তমতে,
x - y = 11 -------------(1)
২য় শর্তমতে,
(x + y)/5 = 9
x + y = 45 --------------- (2)
(1) + (2) হতে পাই,
x - y = 11
x + y = 45
2x = 56
বা, x = 56/2
∴ x = 28
(2) নং হতে পাই,
y = 45 - x
বা, y = 45 - 28
∴ y = 17
∴ (x, y) = (28, 17)
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় x ও y
১ম শর্তমতে,
x - y = 11 -------------(1)
২য় শর্তমতে,
(x + y)/5 = 9
x + y = 45 --------------- (2)
(1) + (2) হতে পাই,
x - y = 11
x + y = 45
2x = 56
বা, x = 56/2
∴ x = 28
(2) নং হতে পাই,
y = 45 - x
বা, y = 45 - 28
∴ y = 17
∴ (x, y) = (28, 17)
৫.
x + 5y = 16 এবং x = - 3y হয়, তবে y = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 5y = 16 এবং x = - 3y হয়, তবে y = ?
সমাধান:
এখানে,
x = - 3y
∴ x + 5y = 16
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 16/2
∴ y = 8
সমাধান:
এখানে,
x = - 3y
∴ x + 5y = 16
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 16/2
∴ y = 8
৬.
যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
|x - 1|2 = (2x)2
বা, (x - 1)2 = (2x)2
বা, x2 - 2.x.1 + 12 = 4x2
বা, 4x2 - x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 3x - x - 1 = 0
বা, 3x(x + 1) - 1(x + 1) = 0
বা, (x + 1)(3x - 1) = 0
∴ x = - 1, 1/3
সমাধান:
এখানে,
|x - 1|2 = (2x)2
বা, (x - 1)2 = (2x)2
বা, x2 - 2.x.1 + 12 = 4x2
বা, 4x2 - x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 2x - 1 = 0
বা, 3x2 + 3x - x - 1 = 0
বা, 3x(x + 1) - 1(x + 1) = 0
বা, (x + 1)(3x - 1) = 0
∴ x = - 1, 1/3
৭.
সমীকরণ দুটি থেকে (x, y) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমীকরণ দুটি থেকে (x, y) এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
x/2 + y/3 = 1
বা, (3x + 2y)/6 = 1
3x + 2y = 6 ---------------- (1)
আবার,
x/3 + y/2 = 1
বা, (2x + 3y)/6 = 1
2x + 3y = 6 ---------------- (2)
(1) × 2 ও (2) × 3 করে বিয়োগ করি,
6x + 4y = 12
6x + 9y = 18
- 5y = - 6
∴ y = 6/5
y এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
3x + 2 . (6/5) = 6
বা, 15x + 12 = 30
বা, 15x = 30 - 12
বা, 15x = 18
বা, x = 18/15
∴ x = 6/5
∴ (x, y) = (6/5, 6/5)
৮.
2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?
সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
৯.
6x2 - 6x - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x2 - 6x - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
6x2 - 6x - 3 = 0
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= ( - 6)2 - 4 × 6 × (- 3)
= 36 + 72
= 108 > 0
যেহেতু, b2 - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
6x2 - 6x - 3 = 0
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= ( - 6)2 - 4 × 6 × (- 3)
= 36 + 72
= 108 > 0
যেহেতু, b2 - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১০.
হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
(x/a) + a = (x/b) + b
বা, (x/a) - (x/b) = b - a
বা, (bx - ax)/ab = b - a
বা, bx - ax = ab(b - a)
বা, x(b - a) = ab(b - a)
বা, x = ab(b - a)/(b - a)
∴ x = ab
সমাধান:
(x/a) + a = (x/b) + b
বা, (x/a) - (x/b) = b - a
বা, (bx - ax)/ab = b - a
বা, bx - ax = ab(b - a)
বা, x(b - a) = ab(b - a)
বা, x = ab(b - a)/(b - a)
∴ x = ab
১১.
|x - 5| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 5| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9
x এর সর্বনিম্ন মান 1
সমাধান:
|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9
x এর সর্বনিম্ন মান 1
১২.
x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?
সমাধান:
x - y = z
বা, x = y + z
∴ x + y + z = 16
বা, x + x =16
বা, 2x = 16
∴ x = 8
১৩.
|3x - 2| < 11 হলে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |3x - 2| < 11 হলে -
সমাধান:
|3x - 2| < 11
(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3
আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3
∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3
সমাধান:
|3x - 2| < 11
(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3
আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3
∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3
১৪.
অসমতাটির সমাধান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?
সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ 1 < x < 4
সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ 1 < x < 4
১৫.
6x - y = 1 এবং - 6x + 5y = 7 সমীকরণে (x, y) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x - y = 1 এবং - 6x + 5y = 7 সমীকরণে (x, y) এর মান কত?
সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)
(1) + (2) হতে পাই,
6x - y = 1
- 6x + 5y = 7
4y = 8
∴ y = 2
y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6x - 2 = 1
বা, 6x = 3
বা, x = 3/6
∴ x = 1/2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1/2, 2)
সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)
(1) + (2) হতে পাই,
6x - y = 1
- 6x + 5y = 7
4y = 8
∴ y = 2
y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6x - 2 = 1
বা, 6x = 3
বা, x = 3/6
∴ x = 1/2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1/2, 2)