৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

উক্তি:
- বক্তার কথা উপস্থাপনের ধরনকে উক্তি বলে।
- উক্তি দুই প্রকার: প্রত্যক্ষ উক্তি ও পরোক্ষ উক্তি।
যেমন:
- প্রত্যক্ষ উক্তি: ছেলেটি বলেছিল, "আজ আমি অনেক পড়েছি।"
- পরোক্ষ উক্তি: ছেলেটি বলেছিল যে, সেদিন সে অনেক পড়েছে।

- যে উক্তিতে বক্তার কথা সরাসরি উদ্ধৃত করা হয়, তাকে বলে প্রত্যক্ষ উক্তি।
- আর যে উক্তিতে বক্তার কথা অন্যের দ্বারা বর্ণিত হয়, তাকে বলে পরোক্ষ উক্তি।
- প্রত্যক্ষ উক্তি লেখার সময়ে উদ্ধারচিহ্ন ব্যবহৃত হয়।
যেমন:
- রফিক হেসে বললো, "আমি আপনাকে লক্ষ করিনি।"
- কালো চুলের মানুষটি বলল, "দশ পর্যন্ত গুনতে পারি। যোগ কী আমার ধারণা আছে। কিন্তু বিয়োগ করতে পারি না।”

• প্রত্যক্ষ উক্তিকে পরোক্ষ উক্তিতে পরিবর্তন করার সময়ে কালবাচক ও স্থানবাচক শব্দের পরিবর্তন হয়।
যেমন:
- প্রত্যক্ষ উক্তি: লোকটি বললেন, "আমি আগামীকাল এখানে আবার আসব।"
- পরোক্ষ উক্তি: লোকটি বললেন যে, তিনি পরদিন সেখানে আবার যাবেন।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

ক্রিয়াবিশেষণ:
- যে শব্দ ক্রিয়াকে বিশেষিত করে, তাকে ক্রিয়াবিশেষণ বলে। নিচের বাক্য তিনটির নিম্নরেখ শব্দগুলো ক্রিয়াবিশেষণের উদাহরণ:
যেমন:
- ছেলেটি দ্রুত দৌড়ায়।
- লোকটি ধীরে হাঁটে।
- মেয়েটি গুনগুনিয়ে গান করছে।

• গঠন বিবেচেনায় ক্রিয়াবিশেষণকে একপদী ও বহুপদী - এই দুই ভাগে ভাগ করা যায়:
একপদী ক্রিয়াবিশেষণ: আস্তে, জোরে, চেঁচিয়ে, সহজে, ভালোভাবে, গুনগুনিয়ে ইত্যাদি।

অন্যদিকে,
বহুপদী ক্রিয়াবিশেষণ: ভয়ে ভয়ে, চুপি চুপি, মরতে মরতে, যায় যায় ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

ভাববাচ্য:
- যে বাক্যে কর্ম থাকে না এবং বাক্যে ক্রিয়ার অর্থই বিশেষভাবে ব্যক্ত হয় তাকে ভাববাচ্য বলে।
যেমন: 
- আমার খাওায়া হলো না।
- আমাকে এখন যেতে হবে।
- তোমার দ্বারা এই কাজ হবে না।
- কোথায় থাকা হয়।

অন্যদিকে,
কর্তৃবাচ্য:
- যে বাক্যে কর্তার অর্থ-প্রধান্য রক্ষিত হয় এবং ক্রিয়াপদ কর্তার অনুসারী হয়, তাকে কর্তৃবাচ্য বলে।
 যেমন:
- ছাত্ররা অঙ্ক করছে।
- কর্তৃবাচ্যে ক্রিয়াপদ সর্বদাই কর্তার অনুসারী হয়।
- কর্তৃবাচ্যে কর্তায় প্রথমা বা শূন্য বিভক্তি এবং কর্মে দ্বিতীয়া, ষষ্ঠী বা শূন্য বিভক্তি হয়।
যেমন:
- শিক্ষক ছাত্রদের পড়ান।
- রোগী পথ্য সেবন করে।

কর্মবাচ্য:
- যে বাক্যে কর্মের সাথে ক্রিয়ার সম্বন্ধ প্রধানভাবে প্রকাশিত হয়, তাকে কর্মবাচ্য বলে।
 যেমন:
- আলেকজান্ডার কর্তৃক পারস্য দেশ বিজিত হয়।
- চোরটা ধরা পড়েছে।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ)।

খাঁটি বাংলা উপসর্গ:
- বাংলা ভাষায় ব্যবহৃত নিজেস্ব উপসর্গকে খাঁটি বাংলা উপসর্গ বলা হয়।
- খাঁটি বাংলা উপসর্গ ২১ টি।
যথা: অ, অঘা, অজ, অনা, আ, আড়, আন, আব, ইতি, ঊন (ঊনা), কদ, কু, নি, পাতি, বি, ভর, রাম, স, সা, সু, হা।

অন্যদিকে,
- অপি, সম - সংস্কৃত বা তৎসম উপসর্গ।
- 'কম' ফারসি উপসর্গ।

উৎস: ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

অপাদান কারক:
- যে কারকে ক্রিয়ার উৎস নির্দেশ করা হয়, তাকে অপাদান কারক বলে।
- এই কারকে সাধারণত ‘হতে’, ‘থেকে’ ইত্যাদি অনুসর্গ শব্দেরে পরে বসে।
যেমন: 
- জমি থেকে ফসল পাই।
- কাপটা উঁচু টেবিল থেকে পড়ে ভেঙে গেল।
- কুকর্মে বিরত হও।

অন্যদিকে:
অধিকরণ কারক:
- যে কারকে স্থান, কাল, বিষয় ও ভাব নির্দেশিত হয়, তাকে অধিকরণ কারক বলে।
- এই কারকে সাধারণত -'এ', –'য়', -'য়ে', -তে ইত্যাদি বিভক্তি শব্দের সঙ্গে যুক্ত হয়।
যেমন -
- বাবা বাড়িতে আছেন।

করণ কারক:
- যার দ্বারা বা যে উপায়ে কর্তা ক্রিয়া সম্পাদন করে, তাকে করণ কারক বলে।
- এই কারকে সাধারণত ‘দ্বারা’, ‘দিয়ে’, ‘কর্তৃক’ ইত্যাদি  অনুসর্গ যুক্ত হয়।
যেমন:
- ভেড়া দিয়ে চাষ করা সম্ভব নয়।

কর্মকারক: 
- যাকে আশ্রয় করে কর্তা ক্রিয়া সম্পন্ন করে, তাকে কর্মকারক বলে।
- ক্রিয়ার সঙ্গে 'কী' বা 'কাকে' যোগ করে প্রশ্ন করলে কর্মকারক পাওয়া যায়।

উৎস: 
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ ও ২০২১ সংস্করণ)।
২) বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• কর্মবাচ্য থেকে কর্তৃবাচ্য পরিবর্তনের নিয়ম:
কর্মবাচ্যের বাক্যকে কর্তৃবাচ্যে পরিবর্তিত করতে হলে -
(১) কর্তায় প্রথমা, কর্মে দ্বিতীয়া বা শূন্য বিভক্তি প্রযুক্ত হয় এবং
(২) ক্রিয়া কর্তা অনুযায়ী হয়।

যেমন:
• কর্মবাচ্য: দস্যুদল কর্তৃক গৃহটি লুণ্ঠিত হয়েছে।
• কর্তৃবাচ্য: দস্যুদল গৃহটি লুণ্ঠন করেছে।

• কর্মবাচ্য: হালাকু খাঁ কর্তৃক বাগদাদ বিধ্বস্ত হয়।
• কর্তৃবাচ্য: হালাকু খাঁ বাগদাদ ধ্বংস করেন।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ)।

কর্তৃকারক:
- বাক্যস্থিত যে বিশেষ্য বা সর্বনাম পদ ক্রিয়া সম্পন্ন করে তা ক্রিয়ার কর্তা বা কর্তৃকারক।
- ক্রিয়ার সঙ্গে 'কে' বা 'কারা' যোগ করে প্রশ্ন করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, তা-ই কর্তৃকারক।

কর্তৃকারকে বিভিন্ন বিভক্তির ব্যবহার
প্রথমা শূন্য বা অ বিভক্তি: হামিদ বই পড়ে।

দ্বিতীয়া বা কে বিভক্তি: বশিরকে যেতে হবে।

তৃতীয়া বা দ্বারা বিভক্তি: ফেরদৌসী কর্তৃক শাহনামা রচিত হয়েছে।

ষষ্ঠী বা র বিভক্তি:  আমার যাওয়া হয়নি।

সপ্তমী বিভক্তি: চোরে না শুনে ধর্মের কাহিনি।

উৎস:
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ ও ২০২১ সংস্করণ)।
২) বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

সিদ্ধান্ত আবেগ:
এ জাতীয় শব্দের সাহায্যে অনুমোদন, সম্মতি, সমর্থন ইত্যাদি ভাব প্রকাশ করা হয় ।
যেমন -
- হ্যাঁ, আমাদের জিততেই হবে।
- বেশ, তবে যাওয়াই যাক ।

অন্যদিকে, 
বিরক্তি আবেগ:
এ ধরনের শব্দ অবজ্ঞা, ঘৃণা, বিরক্তি ইত্যাদি মনোভাব প্রকাশে ব্যবহৃত হয়।
যেমন –
- ছি ছি! এরকম কথা তার মুখে মানায় না।
- জ্বালা! তোমাকে নিয়ে আর পারি না!

আতঙ্ক আবেগ:
এ ধরনের আবেগ-শব্দ আতঙ্ক, যন্ত্রণা, কাতরতা ইত্যাদি প্রকাশ করে।
যেমন –
- উহ্, কী বিপদে পড়া গেল ৷
- বাপরে বাপ! কী ভয়ঙ্কর ছিল রাক্ষসটা।

বিস্ময় আবেগ:
এ ধরনের শব্দ বিস্মিত বা আশ্চর্য হওয়ার ভাব প্রকাশ করে।
যেমন –
- আরে! তুমি আবার কখন এলে?
- আহ্, কী চমৎকার দৃশ্য।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

- 'অনুশীলন' শব্দের 'অনু' উপসর্গটি 'পৌনঃপুন অর্থে' ব্যবহৃত হয়েছে।
- 'অনুশীলন' শব্দের 'অনু' উপসর্গটি একটি তৎসম উপসর্গ।

তৎসম বা সংস্কৃত উপসর্গ:
- যেসব উপসর্গ সরাসরি সংস্কৃত ভাষা থেকে এসে বাংলা ভাষায় ব্যবহৃত হচ্ছে সেসব উপসর্গকে বলা হয় তৎসম বা সংস্কৃত উপসর্গ।
- তৎসম বা সংস্কৃত উপসর্গ ২০ টি।
 যেমন:
- প্র, পরা, অপ, সম, নি, অব, অনু, নির, দুর, বি, অধি, সু, উদ, পরি, প্রতি, অভি, অতি, অপি, উপ, আ। 

• 'অনু' উপসর্গ টির ব্যব্যহার:
- পশ্চাত অর্থে = অনুশোচনা, অনুগামী, অনুজ, অনুচর, অনুতাপ, অনুকরণ।
- সাদৃশ্য অর্থে = অনুবাদ, অনুরুপ, অনুকার।
- পৌনঃপুন অর্থে = অনুক্ষণ, অনুদিন, অনুশীলন।
- সঙ্গে অর্থে = অনুকূল, অনুকম্পা।

উৎস: 
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ)।
২) ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

অব্যয়ীভাব সমাস:
- পূর্বপদে অব্যয়যোগে নিষ্পন্ন সমাসে যদি অব্যয়েরই অর্থের প্রাধান্য থাকে তবে তাকে অব্যয়ীভাব সমাস বলে।
- অব্যয়ীভাব সমাসে কেবল অব্যয়ের অর্থযোগে ব্যাসবাক্যটি রচিত হয়।
যেমন:
- অতিক্রান্ত (উৎ) অর্থে: বেলাকে অতিক্রান্ত = উদ্বেল,
- শৃঙ্খলাকে অতিক্রান্ত =  উচ্ছৃঙ্খল।
- অনতিক্রম্যতা (যথা) অর্থে:  রীতিকে অতিক্রম না করে = যথারীতি,
- সাধ্যকে অতিক্রম না করে = যথাসাধ্য,
- ভিক্ষার অভাব = দুর্ভিক্ষ ইত্যাদি। 

উৎস: 
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ ও ২০১৯ সংস্করণ)।
২) ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

দ্বন্দ্ব সমাস:
- যে সমাসে প্রত্যেক সমস্যমান পদের অর্থ প্রাধান্য থাকে, তাকে দ্বন্দ্ব সমাস বলে।

প্রায় সমার্থক ও সহচর শব্দযোগে দ্বন্দ্ব সমাস:
 যেমন:
• দয়া-মায়া,
• কাপড়-চোপড়,
• পোকা-মাকড়,
• দয়া-মায়া,
• ধূতি-চাদর ইত্যাদি। 

অন্যদিকে, 
• 'চলা-ফেরা' দুটি ক্রিয়াযোগে গঠিত দ্বন্দ্ব সমাস। 
• 'স্বর্গ-নরক' বিরোধার্থক শব্দযোগে গঠিত দ্বন্দ্ব সমাস। 
• 'মাসি-পিসি' মিলনার্থক' শব্দযোগে গঠিত দ্বন্দ্ব সমাস। 

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি  (২০১৯ সংস্করণ)।

সাধারণ অনুসর্গ:
- যেসব অনুসর্গ ক্রিয়া ছাড়া অন্য শব্দ থেকে তৈরি হয়, সেগুলোকে সাধারণ অনুসর্গ বলে।
যেমন: 
• উপরে: মাথার উপরে নিল আকাশ।
• কাছে: কার কাছে গেলে জানা যাবে?
• দ্বারা: এমন কাজ তোমার দ্বারা হবে না।

অন্যদিকে,
ক্রিয়াজাত অনুসর্গ:
- যেসব অনুসর্গ ক্রিয়াপদ থেকে তৈরি হয়েছে, সেগুলোকে ক্রিয়াজাত অনুসর্গ বলে।
যেমন:
• করে: ভালো করে খেয়ে নাও।
• ধরে: বহুদিন ধরে অপেক্ষা করে আছি।
• দিয়ে: মন দিয়ে লেখাপড়া করা দরকার।
• বলে: তুমি আসবে বলে আমি দাঁড়িয়ে আছি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

করণ কারক:
- 'করণ' শব্দটির অর্থ যন্ত্র, সহায়ক বা উপায়।
- ক্রিয়া সম্পাদনের যন্ত্র, উপকরণ বা সহায়ককেই করণ কারক বলে।
- বাক্যস্থিত ক্রিয়াপদের সঙ্গে 'কীসের দ্বারা' বা কী উপায়ে' প্রশ্ন করলে যে উত্তরটি পাওয়া যায়, তা- ই করণ কারক।
যেমন:
- নীরা কলম দিয়ে লেখে।
- জগতে কীর্তিমান হও সাধনায়।
- এ সাবানে কাপড় কাচা চলবে না।
- মহাতেজে পৃথিবী কম্পিত হইতেছে। (করণে ৭মী)। 

উৎস:
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ ও ২০২১ সংস্করণ)।
২) বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

উপমান কর্মধারয় সমাস:
- যার সঙ্গে তুলনা করা হয়, তা উপমান।
- কিছু কর্মধারয় সমাসে উপমানের সঙ্গে গুণবাচক শব্দের সমাস হয়। এগুলােকে উপমান কর্মধারয় বলে।
- এই সমাসে পরপদ সাধারণত বিশেষণ হয়।
যেমন: 
- কাজলের মতাে কালাে = কাজলকালাে,
- শশের মতাে ব্যস্ত = শশব্যস্ত,
- মিশির মত কালো = মিশকালো ইত্যাদি।

অন্যদিকে, 
উপমিত কর্মধারয় সমাস:
- পূর্বপদে উপমেয় পদের সঙ্গে পরপদে উপমান পদের যে সমাস হয় তাকে, উপমিত কর্মধারয় সমাস বলে।
যেমন:
- মুখ চন্দ্রের ন্যায় = মুখচন্দ্র,
- চরণ কমলের ন্যায় = চরণকমল।

বহুব্রীহি সমাস:
- যে সমাসে পূর্বপদ বা পরপদ কোনােটির অর্থ না বুঝিয়ে অন্য কিছু বােঝায়, তাকে বহুব্রীহি সমাস বলে।
 যেমন:
- বউ ভাত পরিবেশন করে যে অনুষ্ঠানে = বউভাত,
- লাঠিতে লাঠিতে যে যুদ্ধ = লাঠালাঠি,
- স্থির নয় যে = অস্থির,
- অল্প প্রাণ যার = অল্পপ্রাণ ইত্যাদি।

তৎপুরুষ সমাস:
- পূর্বপদের বিভক্তির লোপে যে সমাস হয় এবং যে সমাসে পরপদের অর্থ প্রধানভাবে বোঝায় তাকে তৎপুরুষ সমাস বলে।
যেমন:
- ছাত্রের সমাজ = ছাত্রসমাজ।

উৎস: 
১) বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ ও ২০১৯ সংস্করণ)।
২) ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

প্রশ্ন: a² + b² = 25 এবং ab = 12 হলে (a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
 (a - b)² = a² - 2ab + b²
⇒ (a - b)² = a² - 2ab + b²
⇒ (a - b)² = 25 - (2 × 12)
∴ (a - b)² = 1

প্রশ্ন: |3a - 15| = 18 হলে a এর মানগুলোর গুণফল = কত?

সমাধান:
|3a - 15| = 18

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
3a - 15 = 18
⇒ 3a = 18 + 15
⇒ a = 33/3
∴ a = 11

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- 3a + 15 = 18
⇒ - 3a = 18 - 15
⇒ - 3a = 3
⇒ a = 3/ - 3
∴ a = - 1

a এর মানগুলোর গুণফল = 11 × (- 1) = - 11

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান:
a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - a² - 5a² + 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² - 5a + 6)
= (a - 1) (a² - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

প্রশ্ন: 3x - 2y = 16 এবং 2x + 5y = - 21 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
3x - 2y = 16 ........ (1)
2x + 5y = - 21 ....... (2)

(1) নং × 5 + (2) নং × 2 ⇒
15x - 10y + 4x + 10y = 80 - 42
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

(2) নং হতে ⇒
5y = - 21 - 2 ⋅ 2
⇒ y = - 25/5
∴ y = - 5

∴ সরলরেখা দুটি (2, -5) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: a² - √5a = - 1 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
a² - √5a = - 1
a² + 1 = √5a
⇒ (a²/a) + (1/a) = √5a/a
⇒ a + (1/a) = √5

এখন,
a² + (1/a²) = {a + (1/a)}²- 2 ⋅ a ⋅ (1/a) 
= (√5)² - 2
= 5 - 2
= 3

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: a⁴ - 5a³ + 7a² - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
 বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে p(a) = 0 হয়
∴ a - 2 = 0
⇒ a = 2

ধরি,
p(a) = a⁴ - 5a³ + 7a² - x
∴ p(2) = 2⁴ - 5 ⋅ 2³ + 7 ⋅ 2² - x
⇒ 0 = 16 - 40 + 28 - x
⇒ 0 = 4 - x
∴ x = 4

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
⇒ - 7 < 2x + 5 < 7
⇒ - 7 - 5 < 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2 
⇒ (- 12/2) < (2x/2) < (2/2)
⇒ - 6 < x < 1

প্রশ্ন: (3x - 7y, y - 2x) = (- 10, 3) হলে  (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x - 7y = - 10 ...... (1)
y - 2x = 3 ...... (2)

(1) নং + (2) নং × 7 ⇒
3x - 7y + 7y - 14x = - 10 + 21
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1

(1) নং থেকে ⇒
y - 2 ⋅ (-1) = 3
⇒ y = 3 - 2
∴ y = 1

∴ (x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: x³ + (1/x³) = 18√3, a + (1/a) = 2√3 হলে, x³ + 3a + 3a^{- 1} + x^{- 3} এর মান কত?

সমাধান:
x³ + 3a + 3a^{- 1} + x^{- 3}
= x³ + (1/x³) + 3x + (3/a)
= 18√3 + 3{a + (1/a)}
= 18√3 + 3 ⋅ 2√3
= 18√3 + 6√3
= 24√3

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী কত?

সমাধান:
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫০ - ক জন
ডেকের ভাড়া = ১৫ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা

প্রশ্নমতে,
১৫(৫০ - ক) + ৩০ক = ১২০০
⇒ ৭৫০ - ১৫ক + ৩০ক = ১২০০
⇒ ১৫ক = ৪৫০
∴ ক = ৩০
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৩০ জন।

প্রশ্ন: 2a + a^-1 = √6 হলে, 8a³ + a^-3 এর মান কত?

সমাধান:
2a + a^-1 = √6
⇒ 2a + (1/a) = √6

এখন,
8a³ + a^-3 = 8a³ + (1/a³)
= (2a)³ + (1/a)³
= {2a + (1/a)}³ - 3 ⋅ 2a ⋅ (1/a){2a + (1/a)}
= (√6)³ - 6√6
= 6√6 - 6√6
= 0

প্রশ্ন: 3x - 4y = 10 এবং 6x - 8y = 18 এর সমাধান সেট কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x - 4y = 10 ........ (1)
6x - 8y = 18 ....... (2)

(1) নং × 2  - (2) নং ⇒ 
⇒ 6x - 8y - (6x - 8y) = 20 - 18 
⇒ 6x - 8y - 6x + 8y = 2
⇒ 0 = 2 ;যা সম্ভব নয়।
অর্থাৎ সমীকরণ দুটির কোন সমাধান সেট নেই।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
∴ f(1) = 2 ⋅ 1⁴ - 5 ⋅ 1³ + 6 ⋅ 1² - 5 ⋅ 1 + 2 = 0
অতএব (a - 1), 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2 এর একটি উৎপাদক।

2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
= 2a⁴ - 2a³ - 3a³ + 3a² + 3a² - 3a - 2a + 2
= 2a³(a - 1) - 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) - 2(a - 1)
=(a - 1)(2a³ - 3a² + 3a - 2)

প্রশ্ন: x + y = √3, x - y = √2 হলে, 3xy(x² + y²) = ?

সমাধান:
3xy(x² + y²) 
= 3 ⋅ (8/8) ⋅ xy(x² + y²) 
= (3/8) ⋅ 4xy ⋅ 2(x² + y²) 
= (3/8) ⋅ {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (3/8) ⋅ {(√3)² - (√2)²}{(√3)² + (√2)²}
= (3/8) ⋅ 1 ⋅ 5
= 15/8

প্রশ্ন:

সমাধান;

প্রশ্ন: ax² + (a² + 1)x + a এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
ax² + (a² + 1)x + a
= ax² + a²x + x + a
= ax(x + a) + 1(x + a)
= (ax + 1)(x + a) 

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1. লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 3/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x 
ভগ্নাংশের হর =  x + 1 

ভগ্নাংশটি = x /(x + 1)

প্রশ্নমতে,
 (x - 1)/(x + 1 + 2) = 3/5
⇒ 5x - 5 =3x + 9
⇒ 5x - 3x = 9 + 5
⇒ 2x = 14
∴ x = 7

∴ ভগ্নাংশটি = 7/8

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
6q2 - q - 15
= 6q2 + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

প্রশ্ন: p + (1/p) = √2 হলে, (p⁸ + 1)/p⁴ = কত?

সমাধান:
p + (1/p) = √2
⇒ p² + (1/p²) = {p + (1/p)}² - 2 ⋅ p ⋅ (1/p)
= (√2)² - 2
= 0

এখন,
(p⁸ + 1)/p⁴ = (p⁸/p⁴) + (1/p⁴)
= p⁴ + (1/p⁴)
= (p²)² + (1/p²)²
= {p² + (1/p²)}² - 2 ⋅ p² ⋅ (1/p²)
= 0² - 2
= - 2

প্রশ্ন: 8 < x < 10হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 10)/2
= 18/2
= 9

এখন,
8 < x < 10
⇒ 8 - 9 < x - 9 < 10 - 9 [উভয় পক্ষ থেকে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 1 < x - 9 < 1
⇒ |x - 9| < 1

প্রশ্ন: x ≤ y এবং x ≥ y হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ≤ y
x ≥ y

x < y সম্ভব নয়, কারণ y, x এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x > y সম্ভব নয়, কারণ x, y এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x ≠ y সম্ভব নয়, কারণ x ≤ y, x ≥ y
∴ x = y সত্য হবে, কারণ x ≤ y এবং x ≥ y

প্রশ্ন: একটি থলেতে ২৫ পয়সা, ১০ পয়সা ও ৫ পয়সার মুদ্রা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে আছে। যদি সবগুলো মিলিয়ে ২৮ টাকা হয়, তাহলে ২৫ পয়সার মুদ্রা কতটি?

সমাধান:
ধরি,
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৪ক টি
৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি

প্রশ্নমতে,
৩ক × .২৫ + ৪ক × .১০ + ৫ক × .০৫ = ২৮
⇒ .৭৫ক + .৪০ক + .২৫ক = ২৮
⇒ ১.৪ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/১.৪
= ২৮০/১৪
= ২০

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা = ৩ × ২০ = ৬০ টি।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - a - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - a - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0

∴ (a - 3) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।
এখন,
a³ - a - 24
= a³ - 3a² + 3a² - 9a + 8a - 24
= a²(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a² + 3a + 8)

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 9 এবং a² + b² + c² = 19 হয়, তবে 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

সমাধান:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 9² = 19 +  2(ab + bc + ca)
⇒ 81 = 19 +  2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 81 - 19
 2(ab + bc + ca) = 62

প্রশ্ন: 5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t) এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t)
বা, 15 - 10t ≤ 12 - 9t
বা, 15 - 10t + 9t ≤ 12 - 9t + 9t [উভয়পক্ষে 9t যোগ করে]
বা, 15 - t ≤ 12
বা, 15 - t - 15 ≤ 12 - 15 [উভয়পক্ষ হতে 15 বিয়োগ করে] 
বা, - t ≤ - 3
বা, t ≥ 3 [উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে] 

∴ 5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t) এর সমাধান সেট {t ∈ R: t ≥ 3}