প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x³ - kx² + 5x + 7 কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 9 হয়, তবে k এর মান কত? 

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ = f(2)
f(2) = 2(2)³ - k(2)² + 5(2) + 7
= 16 - 4k + 10 + 7
= 33 - 4k

প্রশ্নমতে,
33 - 4k = 9
⇒ - 4k = 9 - 33
⇒ - 4k = - 24
⇒ k = 6

প্রশ্ন: - 5 - y এর বর্গ নিচের কোনটি?

সমাধান:
- 5 - y এর বর্গ:
(- 5 - y)²
= { - (y + 5)}²
= y² + 2.y.5 + 5²
= y² + 10y + 25

প্রশ্ন: (x + 3) (x - 3) কে x² - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? 

সমাধান:
(x + 3)(x - 3)
= x² - 9

এখন, 
x² - 9 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি,
x² - 9 = (x² - 6) - 3
এখন, ভাজকের আকারে প্রকাশ করে পাই,
x² - 9 = 1. (x ² - 6) + (- 3)   ; [ভাজ্য = ভাগফল × ভাজক + ভাগশেষ]

∴ ভাগশেষ = - 3 

প্রশ্ন: 16a² + 25b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি, x যোগ করতে হবে।
16a² + 25b² + a
= (4a)² + (5b)² + 2.4a.5b
= (4a)² + (5b)² + 40ab

∴ 40ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (5/2)² - (3/2)²
= (25/4) - (9/4)
= 16/4
= 4

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 5x + 6
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তবে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2

আমরা জানি, 
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2)³ - 3 × 2
= 8 - 6
= 2

প্রশ্ন: যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + 3y = 56....(i)
এবং y = 2x
এখন y = 2x মানটি (i) নং সমীকরণে বসাই,
x + 3(2x) = 56
⇒ x + 6x = 56
⇒ 7x = 56
⇒ x = 8

এখন,
y = 2x
⇒ y = 2 × 8 = 16

প্রশ্ন: a² + ab + b² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
অর্থাৎ, a² + ab + b² কে (a - b) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর a³ - b³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: a - [a - (b + 2)]=?

সমাধান:
a - [a - (b + 2)]
= a - (a - b - 2)
= a - a + b + 2
= b + 2

প্রশ্ন: যদি a + b = 6, ab = 8 হয় তবে a এবং b এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
a + b = 6........(1)
ab = 8
আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 6² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4
∴ (a - b)² = 4
⇒ a - b = 2........(2)

এখন (1) + (2)
a + b + a - b = 6 + 2
⇒ 2a = 8
⇒ a = 4
a এর মান 1 নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + b = 6
⇒ b = 6 - 4
⇒ b = 2
a এবং b এর মান 4, 2.

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 16 হয়, তবে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং ab = 16

প্রশ্ন: 3x + 3/x​ = 6 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
3x + 3/x​ = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)³ = 2³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
⇒ x³ + 1/x³​ + 3 × (x + 1/x) = 8
⇒ x³ + 1/x³ + 3 × 2 = 8 [প্রাপ্ত (x + 1/x) = 2]
⇒ x³ + 1/x³ + 6 = 8
⇒ x³ + 1/x³ = 8 - 6
∴ x³ + 1/x³ = 2

প্রশ্ন: y = - 4 হলে, y³ + 2y² - 1 এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
y = - 4

প্রদত্ত রাশি,  
y³ + 2y² - 1
= (- 4)³ + 2(- 4)² - 1
= - 64 + 2 × 16 - 1
= - 65 + 32
= - 33

∴ y³ + 2y² - 1 = - 33

প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0

আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 20 এবং বর্গের যোগফল 41। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত? 

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেয়া আছে,
xy = 20
x² + y² = 41

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 41 + (2 × 20)
= 41 + 40
= 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

প্রশ্ন:  নিচের কোনটি a³ - 7a² + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 7a² + 14a - 8
= a³ - a² - 6a² + 6a + 8a - 8
= a²(a - 1) - 6a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(a² - 6a + 8)
= (a - 1)(a² - 4a - 2a + 8)
= (a - 1){a(a - 4) - 2(a - 4)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 4)

∴ (a + 4) উৎপাদক নয়।

প্রশ্ন: (2x + y, x - y) = (8, 4) হলে (x, y) কত? 

সমাধান:
2x + y = 8.....(i)
x - y = 4......(ii)
(i) + (ii) হতে পাই,
2x + y + x - y = 8 + 4
⇒ 3x = 12
⇒ x = 12/3
⇒ x = 4

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + y = 8
⇒ 2 × 4 + y = 8
⇒ 8 + y = 8
⇒ y = 8 - 8 
⇒ y = 0
∴ (x, y) = (4, 0)

প্রশ্ন কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ২ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ = ক + ৬
⇒ ৩ক - ক = ৬ - ২ 
⇒ ২ক = ৪
⇒ ক = ৪/২
⇒ ক = ২

∴ সংখ্যাটি ২।

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 হয়, তবে a³ - b³ - 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 5

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - b³ - 15ab
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - 15ab
= 5³ + 3ab × 5 - 15ab
= 125 + 15ab - 15ab
= 125

প্রশ্ন: একটি দলে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৩২৪ টাকা হয়। দলের সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন
তাহলে ১ জন দেয় = ক টাকা
∴ ক জন দেয় = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √১৮ 

অতএব, দলের সদস্য সংখ্যা = ১৮ জন

প্রশ্ন: {(2x - 1)/5} + 1 = (x - 1)/10 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
{(2x -1)/5} + 1 = (x - 1)/10
⇒ (2x - 1 + 5)/5 = (x - 1)/10
⇒ (2x + 4)/5 = (x - 1)/10
⇒ 10(2x + 4) = 5(x - 1)
⇒ 20x + 40 = 5x - 5
⇒ 20x - 5x = - 5 - 40 
⇒ 15x = - 45
⇒ x = - 45/15
⇒ x = - 3

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৬ গুণ। ৮ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বর্তমান বয়সের ৭ গুণ হলে পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স = ক বছর  
পিতার বয়স = ৬ক বছর
এখন,
৮ বছর পর পিতার বয়স = (৬ক + ৮) বছর 

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ = ৭ × ক
⇒ ৭ক = ৬ক + ৮
⇒ ৭ক - ৬ক = ৮
⇒ ক = ৮ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৬ × ৮) বছর = ৪৮ বছর

প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3)
⇒ 9x - 12 = 8x - 6
⇒ 9x - 8x = - 6 + 12
⇒ x = 6

প্রশ্ন: যদি p = 3/5, q = 1/4 এবং r = 2/15 হয় তাহলে 10p + 3q - 15r এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 3/5
q = 1/4
r = 2/15

এখন,
10p + 3q - 15r
= 10 × (3/5) + 3 × (1/4) - 15 × (2/15)
= 30/5 + 3/4 - 30/15
= 6 + 3/4 - 2
= (6 - 2) + 3/4
= 4 + 3/4
= 19/4

প্রশ্ন: x⁴ - 2x² + 1 = 0 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x⁴ - 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² - 2.x².1 + 1² = 0
⇒ (x² - 1)² = 0
⇒ x² - 1 = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = 1

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অংক ক
একক স্থানীয় অংক (ক + ৩)
সংখ্যাটি = ১০ক + (ক + ৩) = ১১ক + ৩

প্রশ্নমতে, 
১১ক + ৩ = ৩(ক + ক + ৩) + ৪
বা ১১ক = ৬ক + ৯ + ৪ - ৩
বা ৫ক = ১০
∴ক = ২

∴সংখ্যাটি = ১১ × ২ + ৩ = ২৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার আট গুণের সাথে 7 যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার দশ গুণ হতে 13 কম হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x × 8 + 7 = x × 10 - 13
⇒ 8x + 7 = 10x - 13
⇒ 7 + 13 = 10x - 8x 
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি = 10

প্রশ্ন: 3x + y = 13 এবং x + y = 5 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + y = 13 ...................(1)
x + y = 5 ...................(2)

(2) নং হতে পাই,
x + y = 5
⇒ x = 5 − y

এখন,
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 13
⇒ 3(5 − y) + y = 13
⇒ 15 - 3y + y = 13
⇒ 15 - 2y = 13
⇒ - 2y = 13 - 15 
⇒ - 2y = - 2 
∴ y = 1

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩/৪ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৮৪ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ৩ক/৪

প্রশ্নমতে,
ক + (৩ক/৪) = ৮৪
⇒ (৪ক + ৩ক)/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক = ৮৪ × ৪
⇒ ৭ক = ৩৩৬
⇒ ক = ৩৩৬/৭
⇒ ক = ৪৮

∴ একটি সংখ্যা = ৪৮
অপর সংখ্যাটি = (৩ × ৪৮)/৪ = ৩৬