লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

Math Master

পরীক্ষাMath Masterতারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়01 hr 00 mins
মোট প্রশ্ন৪৪
সিলেবাস
পরীক্ষা – ১৭: গাণিতিক যুক্তি – রিভিশন [Live Interactive Class: 1 - 17]
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

Math Master

Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ৪৪ প্রশ্ন

১.
4 - x2 + 2xy - y2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (2 - x + y)(2 - x + y)
  2. খ
    খ) (2 - x - y)(2 - x + y)
  3. গ
    গ) (2 + x - y)(2 + x + y)
  4. ঘ
    ঘ) (2 + x - y)(2 - x + y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 4 - x2 + 2xy - y2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
সমাধান :
   4 - x2 + 2xy - y2
বা, 4 - (x2 - 2xy + y2)
বা, 22 - (x - y)2
বা, {2 + (x - y)}{2 - (x - y)}
বা, (2 + x - y)(2 - x + y)
২.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে ১২, ১৪ ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    ক) ১৭২
  2. খ
    খ) ১৬৬
  3. গ
    গ) ১৭০
  4. ঘ
    ঘ) ১৬৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে ১২, ১৪ ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান : 
লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ১২, ১৪ এবং ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। 
১২, ১৪ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ১৬৮

নির্ণেয় সংখ্যা = ১৬৮ - ২ = ১৬৬
৩.
একটি বই ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত?
  1. ক
    ক) ১০০০ টাকা
  2. খ
    খ) ১৪০০ টাকা
  3. গ
    গ) ১৫০০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ১২০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি বই ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান : 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৫ - ৯০ = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য (১০০/১৫) × ২১০
                                                                  = ১৪০০ টাকা
৪.
x + 2y = 16, 2x + y = 14 সমীকরণের সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) (8, 4)
  2. খ
    খ) (2, 3)
  3. গ
    গ) (4, 6)
  4. ঘ
    ঘ) (12, 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 16, 2x + y = 14 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
এখানে 
x + 2y = 16............. (1)
2x + y = 14.............(2)

(2)নং × 2 - (1)নং  ⇒
4x + 2y - x - 2y = 28 - 16
3x = 12
x= 4

(1)নং সমীকরণ থেকে পাই 
4 + 2y = 16
2y = 16 - 4
2y = 12
y = 6

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (4, 6)
৫.
৪/৫, ৮/৯, ১২/১৩ এর গ .সা.গু কত?
  1. ক
    ক) ৪/৫২৫
  2. খ
    খ) ৪/৫৮৫
  3. গ
    গ) ১/৯৬
  4. ঘ
    ঘ) ৯৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৪/৫, ৮/৯, ১২/১৩ এর গ .সা.গু কত? 

সমাধান : 
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু

এখানে,
৪, ৮, ১২ লবগুলোর গ. সা. গু = ৪ এবং
৫, ৯, ১৩ হরগুলোর ল .সা.গু = ৫৮৫

৩/৫,১/৪,৫/৮ এর গ .সা.গু = ৪/৫৮৫
৬.
যদি a + b + c = 13, ab + bc + ca = 72 হয়, তবে (a2 + b2 + c2 )2 = কত?
  1. ক
    ক) 144
  2. খ
    খ) 784
  3. গ
    গ) 625
  4. ঘ
    ঘ) 225
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি a + b + c = 13, ab + bc + ca = 72 হয়, তবে (a2 + b2 + c2 )2= কত?
সমাধান : 
দেয়া আছে,
a + b + c = 13
ab + bc + ca = 72


আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
                      = 132 - 2 × 72
                       = 169 - 144
                        = 25
 
অতএব, (a2 + b2 + c2 )2 = (25)2 = 625
৭.
একটি বিশ্ববিদ্যালয়ের ৮০% শিক্ষার্থী ছাত্রাবাসে অবস্থান করে। ছাত্রাবাসের সৌভাগ্যবান ৬০% শিক্ষার্থী একক কক্ষ পায়। যদি সৌভাগ্যবান শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১৮০০ হয়, তবে বিশ্ববিদ্যালয়ের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ২৫০০ জন
  2. খ
    খ) ৩৬৫০ জন
  3. গ
    গ) ৩২৫০ জন
  4. ঘ
    ঘ) ৩৭৫০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি বিশ্ববিদ্যালয়ের ৮০% শিক্ষার্থী ছাত্রাবাসে অবস্থান করে। ছাত্রাবাসের সৌভাগ্যবান ৬০% শিক্ষার্থী একক কক্ষ পায়। যদি সৌভাগ্যবান শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১৮০০ হয়, তবে বিশ্ববিদ্যালয়ের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান : 
প্রশ্নমতে,
৬০% শিক্ষার্থী = ১৮০০ জন।
∴ ১০০% শিক্ষার্থী = ১৮০০ × ১০০ / ৬০
= ৩০০০ জন।
সুতরাং ছাত্রাবাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩০০০ জন।

আবার প্রশ্নমতে,
৮০% শিক্ষার্থী = ৩০০০ জন।
∴ ১০০% শিক্ষার্থী = ৩০০০ × ১০০ / ৮০ জন।
                          = ৩৭৫০ জন।
সুতরাং বিশ্ববিদ্যালয়ের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩৭৫০ জন।
৮.
৫ এর কত শতাংশ ৭.৫ হবে?
  1. ক
    ক) ১৪২
  2. খ
    খ) ১৪০
  3. গ
    গ) ১৫০
  4. ঘ
    ঘ) ১৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৫ এর কত শতাংশ ৭.৫ হবে?
সমাধান :
ধরি,
৫ এর ক% = ৭.৫
বা, ৫ এর ক/১০০ = ৭.৫
বা, ক/২০ = ৭.৫
বা, ক = ১৫০
৯.
একটি সোনার গয়নার ওজন ১২৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৭ : ২ হবে?
  1. ক
    ক) ১০ গ্রাম
  2. খ
    খ) ১২ গ্রাম
  3. গ
    গ) ৯ গ্রাম
  4. ঘ
    ঘ) ১৬ গ্রাম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি সোনার গয়নার ওজন ১২৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৭ : ২ হবে?

সমাধান :
গয়নার ওজন = ১২৮ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১২৮ × ৩)/৪ = ৯৬ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১২৮ × ১)/৪ = ৩২ গ্রাম

ধরি 
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে
৯৬ + ক : ৩২ = ৭ : ২
(৯৬ + ক)/৩২ = ৭ / ২
১৯২ + ২ক = ২২৪
২ক = ২২৪ - ১৯২
২ক = ৩২ গ্রাম 
ক = ১৬ গ্রাম 
∴ সোনা মেশাতে হবে = ১৬ গ্রাম।
১০.
০.০০৬ × ০.০৯ × ০.০৩ = ?
  1. ক
    ক) ০.০০০০০১৬২
  2. খ
    খ) ০.০০০০১৬২
  3. গ
    গ) ০.০০১৬২০
  4. ঘ
    ঘ) ০.০০০১৬২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ০.০০৬ × ০.০৯ × ০.০৩ = ?
সমাধান : 
০.০০৬ × ০.০৯ × ০.০৩ = ০.০০০০১৬২
৬, ৯ ও ৩ গুণ করলে হয় ১৬২ আর ৩+২+২ = ৭ ঘর আগে দশমিক বসালে ০.০০০০১৬২ হয়।
১১.
কোন ভগ্নাংশটি ৩/৪ থেকে বড়?
  1. ক
    ক) ১/২
  2. খ
    খ) ৪/৫
  3. গ
    গ) ৮/১১
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন ভগ্নাংশটি ৩/৪ থেকে বড়?
 
১/২ = ০.৫
৪/৫ = ০.৮
৮/১১ = ০.৭২

৩/৪ = .৭৫

সুতরাং, ৪/৫এর মান ৩/৪ এর মানের চেয়ে বড়।
১২.
x2 - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 3 < x < 4
  2. খ
    খ) 2 < x < 5
  3. গ
    গ) 2 < x < 3
  4. ঘ
    ঘ) 3 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?
সমাধান : 
    x2 - 8x + 15 < 0
বা, x2 - 5x - 3x + 15 < 0
বা, x(x - 5) - 3 (x - 5) < 0
∴ (x - 3)(x - 5) < 0

x2 - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 3 এবং x > 5
3 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 3 এবং x < 5
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 5
১৩.
কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৬ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৮ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৩০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
  1. ক
    ক) ২,৪০,০০০ টাকা
  2. খ
    খ) ১,৪৪,০০০ টাকা
  3. গ
    গ) ১,২০,০০০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ১,৬০,০০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৬ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৮ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৩০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত? 
সমাধান : 
মোট দান করলেন = (১/৬) + (১/২) + (১/৮) অংশ 
                            = (৪ + ১২ + ৩)/২৪ অংশ
                             = ১৯/২৪ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (১৯/২৪)অংশ 
                       = (২৪ - ১৯)/২৪ অংশ 
                       = ৫/২৪ অংশ 


৫/২৪ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ৩০,০০০ টাকা
১ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (৩০,০০০ × ২৪/৫) টাকা
                                  = ১,৪৪,০০০ টাকা
১৪.
যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -
  1. ক
    ক) 135°/2
  2. খ
    খ) 105°/2
  3. গ
    গ) 125°/2
  4. ঘ
    ঘ) 115°/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়,  sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান  -

সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)

tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)

(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2
১৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) ১৫ সেমি
  2. খ
    খ) ২৪ সেমি
  3. গ
    গ) ২৭ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ১২ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
সমাধান :
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)২
বা, বাহু২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি
 
সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৮ + ৮ = ২৪ সেমি
১৬.
P = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 15} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 31
  4. ঘ
    ঘ) 32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  P  = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 15} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
 
সমাধান : 
দেওয়া আছে,
P  = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং  x ≤ 15}
P ={3, 6, 9, 12, 15}
P এর উপাদান সংখ্যা n = 5
 P এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 25 - 1 
                                           = 25 - 1
                                           = 32 - 1 
                                           = 31
১৭.
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৫৬?
  1. ক
    ক) ১২৪
  2. খ
    খ) ১১৮
  3. গ
    গ) ১১৯
  4. ঘ
    ঘ) ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৫৬?

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d =৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৫৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n -1)d

 প্রশ্নমতে,
৫ + (n-1)৩ = ৩৫৬
⇒ ৫ + ৩n  - ৩ = ৩৫৬
⇒৩n + ২ = ৩৫৬
⇒ ৩n = ৩৫৬ - ২
⇒ ৩n = ৩৫৪
⇒ n = ১১৮
১৮.
x2 - 9, x2 + 7x + 12, x2 + 5x + 6 রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) x + 4
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) x + 3
  4. ঘ
    ঘ) x - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 - 9, x2 + 7x + 12, x2 + 5x + 6 রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?
 
১ম রাশি = x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
২য় রাশি = x2 + 7x + 12
             = x2 + 3x + 4x + 12 
              = x(x + 3) + 4(x + 3)
               = (x + 3)(x + 4)

৩য় রাশি = x2 + 5x +6
              = x2 + 2x + 3x + 6
              = x(x + 2) + 3(x + 2)
              =(x + 2)(x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 3)

১৯.
।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    ক) - 2 < x < 3
  2. খ
    খ) - 6 < x < 28
  3. গ
    গ) - 4 < x < 16
  4. ঘ
    ঘ) - 2 < x < 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত? 
সমাধান :
।x - 11। < 17
বা, - 17 < x - 11 < 17 
বা, - 17  + 11 < x - 11 + 11< 17 + 11
বা, - 6 < x < 28
২০.
'BASIC' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 80
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 20
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 'BASIC' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়? 
সমাধান : 
'BASIC' শব্দটিতে 5টি বর্ণ। 
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60
২১.
x2 - √5x + 1 = 0 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 - √5x + 1 = 0 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
সমাধান :
দেওয়া আছে,
     x2 - √5x + 1 = 0
বা,  x2 + 1 = √5x
বা, x2/x + 1/x = √5x/x
বা, x + 1/x = √5

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2x(1/x)
               =(√5)2 - 2
               = 5 - 2
               = 3
২২.
7log102  + log102 + log103 = ?
  1. ক
    ক) log10384
  2. খ
    খ) log10768
  3. গ
    গ) log10120
  4. ঘ
    ঘ) log101536
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 7log102  + log102 + log103 = ?
সমাধান : 
⇒ log1027  + log102 + log103 
⇒ log10128 + log102 + log103 
⇒ log10(128 × 2 × 3)
⇒ log10768
২৩.
কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-
  1. ক
    ক) স্থূলকোণ
  2. খ
    খ) সমকোণ
  3. গ
    গ) সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    ঘ) ক ও গ
ব্যাখ্যা
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ ।
২৪.
37° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) 53°
  2. খ
    খ) 54°
  3. গ
    গ) 143°
  4. ঘ
    ঘ) 144°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 37° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান : 
যদি দুইটি কোণের মান ১৮০ ডিগ্রি হয়, তবে কোণদ্বয় পরস্পরের সম্পূরক কোণ হয়।
50° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 37° = 143°
২৫.
8x2 + 12x - 8 = 0 হলে x এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) - 2 এবং - 2/3
  2. খ
    খ) - 2 এবং - 1/2
  3. গ
    গ) - 2 এবং 2/3
  4. ঘ
    ঘ) - 2 এবং 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 8x2 + 12x - 8 = 0 হলে x এর মান কত হবে?
 
সমাধান : 
 8x2 + 12x - 8 = 0
বা, 2x2 + 3x - 2 = 0 
বা, 2x2 + 4x - x - 2 = 0
বা, 2x(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x + 2)(2x - 1) = 0
হয়                    অথবা 
x + 2 = 0               2x - 1 = 0  
x = - 2                    x = 1/2
২৬.
কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি?
  1. ক
    ক) 10 ইঞ্চি
  2. খ
    খ) 6 ইঞ্চি
  3. গ
    গ) 5 ইঞ্চি
  4. ঘ
    ঘ) 12 ইঞ্চি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি? 
সমাধান :


বৃত্তটির জ্যা AB = 8 ইঞ্চি; বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 3 ইঞ্চি; বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?

বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 8/2 = 4 ইঞ্চি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC2 + BC2)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
= √25
= 5 ইঞ্চি 
 
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = ২× ৫ = ১০ ইঞ্চি 
২৭.
পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি সংখ্যগুলোর গড় অপেক্ষা 280 বেশি। সংখ্যাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 61
  2. খ
    খ) 66
  3. গ
    গ) 68
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি সংখ্যগুলোর গড় অপেক্ষা 280 বেশি। সংখ্যাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
সমাধান :
ধরি,
সংখ্যা গুলো যথাক্রমে x, x+2, x+4, x+6, x+8
সংখ্যা গুলোর গড় = (x+x+2+x+4+x+6+x+8)/5
= (5x +20)/5

প্রশ্নমতে,
5x +20 = (5x +20)/5+ 280
বা, 5x +20 - (5x +20)/5 = 280
বা, 25x + 100 - 5x - 20 = 280 × 5
বা, 20x + 80 = 1400
বা, 20x = 1320
∴ x = 66
সুতরাং সংখ্যাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 66
 
প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে ক্ষুদ্রতম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা। কিন্তু সমাধান করলে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ৬৬ বের হয়। 
তাই প্রশ্নের সঠিক উত্তর হবে কোনটি নয়। 
 
২৮.
যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং cos θ =15/17 হয়, তাহলে tanθ এর মান -
  1. ক
    ক) 3/5
  2. খ
    খ) 8/15
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 9/17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং cos θ =15/17 হয়, তাহলে tanθ এর মান -
সমাধান : 
দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
২৯.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি ও ৪ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) ১২ সেমি
  2. খ
    খ) ৮ সেমি
  3. গ
    গ) ৬ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ১০ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি ও ৪ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান : 
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ৬০/(৮+৪)
= ২ × ৬০/১২
= ১০ সেমি
৩০.
একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 9 টি হলুদ বল এবং 13 টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি হলুদ না হবার সম্ভবনা কত?
  1. ক
    ক) 12/19
  2. খ
    খ) 9/28
  3. গ
    গ) 19/28
  4. ঘ
    ঘ) 11/14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 9 টি হলুদ বল এবং 13 টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি হলুদ না হবার সম্ভবনা কত?
সমাধান : 
নীল বল আছে 6টি। 
হলুদ বল আছে 9টি। 
সবুজ বল আছে 13টি। 

হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = 9/(6+9+13) = 9/28
হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 9/28 = 19/28
৩১.
log10(3m/n) + log10(n/9m) = log10(m + n) হলে কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) 8m + 8n = 6
  2. খ
    খ) 3m + 3n = 1
  3. গ
    গ) 4m + 4n = 2
  4. ঘ
    ঘ) 2m + 2n = 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : log10(3m/n) + log10(n/9m) = log10(m + n) হলে কোনটি সত্য?
সমাধান : 
log10(3m/n) + log10(n/9m) = log10(m + n) 
⇒ log10{(3m/n) × (n/9m)} = log10(m + n) 
⇒ log10(m + n) = log10(1/3)
⇒ m + n = 1/3
 ∴ 3m + 3n = 1
৩২.
একটি টেবিল ৩৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে যে ক্ষতি হয়, ৪৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে তত টাকা লাভ হয়, টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?
  1. ক
    ক) ৪,০০০ টাকা
  2. খ
    খ) ৩,২০০ টাকা
  3. গ
    গ) ৪,৫০০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ৩,৮০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি টেবিল ৩৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে যে ক্ষতি হয়, ৪৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে তত টাকা লাভ হয়, টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত? 
সমাধান :
মনে করি,
৩৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ক টাকা
ক্রয়মূল্য  = (৩৫০০ + ক ) টাকা
৪৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় ক টাকা 
ক্রয়মূল্য  = (৪৫০০ -  ক ) টাকা

প্রশ্নমতে,
৩৫০০ + ক = ৪৫০০ - ক 
বা, ক + ক = ৪৫০০ - ৩৫০০
বা, ২ক = ১০০০
বা, ক = ৫০০
∴ ক্রয়মূল্য  = (৩৫০০ + ৫০০) টাকা
                   = ৪০০০ টাকা 
৩৩.
8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 1176
  2. খ
    খ) 3360
  3. গ
    গ) 2276
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
সমাধান :
3 জন বালক বাছাই করা যায় = 8c3 = 56
2 জন বালিকা বাছাই করা যায় = 7c2 = 21
∴ বেছে নেওয়ার মোট উপায় =  56 × 21 = 1176
৩৪.
x3 + x - 30 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) x + 3
  2. খ
    খ) x + 4
  3. গ
    গ) x - 3
  4. ঘ
    ঘ) x - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x3 + x - 30 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
ধরি,
f(x) = x3 + x - 30 
f(3) = 33 + 3 - 30 
f(3) = 30 - 30 
      = 0
(x - 3) হলো x3 + x - 30 এর একটি উৎপাদক। 
৩৫.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ২৭° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ১৩.৫°
  2. খ
    খ) ১৯°
  3. গ
    গ) ৭৬°
  4. ঘ
    ঘ) ৫৪°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ২৭° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
সমাধান : 
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ২৭° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে ৫৪°।
৩৬.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। এর ভিতরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 344 বর্গফুট
  2. খ
    খ) 364 বর্গফুট
  3. গ
    গ) 384 বর্গফুট
  4. ঘ
    ঘ) 394 বর্গফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। এর ভিতরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট 
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 50 - (2 × 2) = 46 ফুট 
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 40 - (2 × 2) = 36 ফুট 

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (46  × 36) বর্গফুট 
                                                 = 1656 বর্গফুট 
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2000 - 1656) বর্গফুট 
                             = 344 বর্গফুট 
৩৭.
যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3/2
  2. খ
    খ) 1/√3
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) 2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?
সমাধান : 
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1 - sin2θ) = 4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ = 4
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30º
⇒ θ = 30º

∴ tanθ = tan30º = 1/√3
৩৮.
৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ক) ১৪টি
  2. খ
    খ) ১০ টি
  3. গ
    গ) ১৫টি
  4. ঘ
    ঘ) ১২টি
ব্যাখ্যা
৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি। 
১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ = ৪টি।
১০ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৪টি।
২০ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯ = ২টি।
৩০ - ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭ = ২টি।
৪০ - ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৩টি।
৫০ - ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯ = ২টি।
৬০ - ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৬১, ৬৭ = ২টি।
৭০ - ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৭১, ৭৩, ৭৯ = ৩টি।
৮০ - ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮৩, ৮৯ = ২টি।
৯০ - ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ = ১টি।

∴ ১ - ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।
৩৯.
1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 2/3
  3. গ
    গ) 3/20
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?
সমাধান : 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/8)/(1/4) = - 1/2 < 0
সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S∞ = a/(1 - r)
      = (1/4)/{1 - (-1/2)}
      = (1/4) / (1 + 1/2)
      = (1/4) / (3/2)
      = 1/6
৪০.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩১, ৪৪ ও ৬৯ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ৮, ৯ ভাগশেষ থাকবে?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ১৩
  4. ঘ
    ঘ) ১৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩১, ৪৪ ও ৬৯ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ৮, ৯ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান : 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩১ - ৭ = ২৪, ৪৪ - ৮ = ৩৬ এবং  ৬৯ - ৯ = ৬০
এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে = ১২
৪১.
১০০০টাকায় ২৫০টি লিচু ক্রয় করে ১০০ টাকায় ২০টি লিচু বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
  1. ক
    ক) ১৫%
  2. খ
    খ) ১২%
  3. গ
    গ) ২৫%
  4. ঘ
    ঘ) ২০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ১০০০ টাকায় ২৫০টি লিচু ক্রয় করে ১০০ টাকায় ২০টি লিচু বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 
সমাধান : 
২৫০টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০০ টাকা 
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০০/২৫০ = ৪ টাকা

২০ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০/২০ = ৫ টাকা

লাভ = (৫ - ৪)টাকা = ১ টাকা 

৪ টাকায় লাভ করেন ১ টাকা
১ টাকায় লাভ করেন ১/৪ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ করেন = (১ × ১০০)/৪ টাকা 
                                       = ২৫ টাকা
৪২.
(x2/3)/27 = 8/(x1/3) হলে x = কত?
  1. ক
    ক) 216
  2. খ
    খ) 105
  3. গ
    গ) 208
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : (x2/3)/27 = 8/(x1/3) হলে x = কত?
সমাধান : 
(x2/3)/27 = 8/(x1/3) 
বা, x2/3.x1/3 = 8× 27
বা, x(2/3) + (1/3) = 216
বা, x(2 + 1)/3 = 216
বা, x = 216
৪৩.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B = কত?
  1. ক
    ক) {3, 5, 7, 9, 10}
  2. খ
    খ) {5, 7, 9}
  3. গ
    গ) {3, 5, 7, 9}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B = কত?
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}
   = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 10}
   = {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, 10, 11, 12} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
                      = {3, 5, 7, 9}
৪৪.
a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 22
  3. গ
    গ) 28
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
সমাধান :
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5 
এখন,
8ab(a2 + b2) = 4ab. 2(a2 + b2)
                  = {(a+b)2 - (a - b)2 }.{(a + b)2 + (a - b)2 }
                  = {(√8)2 - (√6)2}.{(√8)2 + (√6)2}
                  = (8 - 6) .( 8+ 6)
                  = 2.14
                  = 28